Нова українська школа: методика навчання математики у 1-2 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2019

2.2.6. Табличне множення та ділення
2.2. Числа 11-100
Розділ 2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами

Очікувані результати навчання здобувачів осві­ти див. на сайті interactive.ranok.com.ua.

Конкретний зміст арифметичних дій множення і ділення розкривається на прикладі задач, тому зміст підготовчої роботи до введення арифметичних дій множення і ділення нами розгляну­то в контексті підготовчої роботи до введення задач на розкриття суті арифметичних дій множення і ділення.

П. М. Ерднієвим і М. П. Ерднієвим та багатьма десятиліт­тями шкільної практики доведена ефективність одночасного роз­гляду арифметичних дій множення та ділення, розгляду цих дій у співставленні. Тому розглянемо методику навчання арифметич­них дій множення і ділення на основі теорії укрупнення дидак­тичних одиниць П. М. Ерднієва [37].

ЗМІСТ ТА МЕТОДИКА ПІДГОТОВЧОГО ЕТАПУ

З метою реалізації принципу укрупнення дидактичних оди­ниць підготовча робота й ознайомлення з конкретним змістом ариф­метичних дій множення та ділення відбуваються за двома циклами:

1) конкретний зміст дії множення і ділення на вміщення;

2) конкретний зміст дії ділення на рівні частини та ділення на вміщення.

Під час вивчення нумерації чисел у межах 100 діти впев­нилися в користі групування предметів при лічбі: вони лічили двійками, трійками... десятками. На етапі підготовчої роботи до введення арифметичної дії множення продовжуємо лічити група­ми. Для полегшення лічби групами можна використовувати стріч­ку чисел від 1 до 100. Стрічка може бути виготовлена зі смужки картонного паперу завдовжки 1 м і завширшки 1 см. Уся стрічка ділиться на 100 клітинок, у кожну клітинку записуються числа по порядку від 1 до 100. За допомогою стрічки учні можуть легко виконувати лічбу шістками, сімками і т. д. Наприклад, для ви­конання лічби шістками шукаємо на стрічці число 6, перегинаємо на смужці по 6 кліток, читаємо числа: 6, 12, 18, 24...

Практичне значення групової лічби показується на прикла­дах із життя: лічба вишень по 3 (3 + 3 + 3 = 9), лічба паличок, із яких складено чотирикутники (4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20) тощо.

З метою демонстрації необхідності знаходження суми одна­кових доданків учням пропонуються також задачі.

Розв'яжіть задачу.

Мама купила три пучки моркви, у кожному пучку по 4 морквини. Скільки всього морквин купила мама?

Діти розв’язують цю задачу як задачу на знаходження суми трьох доданків.

Розв’язання

4 + 4 + 4 = 12 (шт.)

Відповідь: 12 морквин усього купила мама.

Усього морквин стільки, скільки буде, якщо по 4 морквини взяти 3 рази. Далі вчитель звертає увагу учнів на короткий запис задачі і показує учням, що його можна виконати інакше, викорис­товуючи слова з умови задачі «по ... взяти ... разів»:

Таким чином, можна вже на етапі підготовчої роботи позна­йомити дітей з опорною схемою задач на знаходження суми одна­кових доданків — на конкретний зміст дії множення; але такі за­дачі поки що розв’язуються дією додавання.

Наступним кроком можна запропонувати завдання на скла­дання виразу — суми однакових доданків — за малюнком, а далі — сюжетної задачі за виразом, який є її розв’язком.

Запис розв’язання задач аналізується і звертається увага ді­тей на те, що в сумі доданки однакові. Можна запропонувати таку форму запису:

 По 7 взяти 4 рази одержимо 28.

У процесі такої роботи учні усвідомлюють роль групової ліч­би, засвоюють цю техніку; розв’язують вирази на знаходження суми однакових доданків.

Наприклад, знайти значення суми: 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

Увага при виконанні таких завдань звертається на те, що доданки однакові й визначається число однакових доданків. Розв’язання записуємо таким чином (і обов’язково коментуємо):

По 4 взяти 5 разів одержимо 20

Щоб дізнатися, скільки всього, якщо по [ ] взяти [ ] разів — виконуємо дію додавання.

Під час підготовчої роботи до ознайомлення з дією ділення на вміщення учні виконують практичні завдання.

Розв'яжіть задачу.

12 зошитів роздали учням, по 4 зошити кожному. Скільки учнів отримали зошити?

По скільки зошитів повинні отримати учні? [По 4 зошити.] Візьміть 4 зошити і дайте першому учню. Якщо ми віддаємо зо­шити, то зошитів лишається більше чи менше? Якою арифметич­ною дією ми дізнаємось, скільки зошитів залишилося? [Дією від­німання.] Запишемо це: 12-4.

Чи всі зошити ми роздали?

Візьміть ще 4 зошити і дайте другому учневі. Продовжимо записувати вираз: 12 - 4 - 4.

Чи всі зошити роздали? [Ні, не всі.] Візьміть ще 4 зошити і дайте ще одному учневі. Запишемо: 12 - 4 - 4 - 4.

Чи всі зошити ми роздали? Запишемо це: 12 - 4 - 4 - 4 = 0.

Скільки учнів отримали зошити? [3 учні отримали зошити.] Учнів буде стільки, скільки у 12 зошитах вміщується по 4 зоши­ти. Запишемо це:

Коментуємо запис: у 12 міститься по 4 три рази.

Скільки разів у [ ] міститься по [ ] знаходимо дією віднімання.

На наступному етапі пропонуємо учням розв’язати задачі виду:

У бабусі 6 яблук, вона ними пригостила онуків. Кожному онуко­ві вона дала по 3 яблука. Скільки онуків одержали яблука?

Можна кожне з 6 яблук позначити кружком і дужкою відділити яблука, що дали кожному онукові. А можна викона­ти схематичний рисунок, позначивши кожне яблуко відрізком завдовжки 1 клітинка.

Стільки онуків одержали яблука, скільки в 6 яблуках вмі­щується по 3 яблука. Тому короткий запис:

У 6 ябл. вміщується по 3 ябл. — ?

Розв’язання:

Відповідь: 2 онуки одержали яблука.

Далі пропонуємо завдання на складання задач, розв’язком яких буде вираз: 8 - 2 - 2 - 2 - 2.

Також корисні завдання на знаходження значення різниці, у якій декілька однакових від’ємників: 15 - 5 - 5 - 5. Коментуємо: у 15 вміщується по 5 три рази.

З метою запам’ятовування мовленнєвих конструкцій доціль­но пропонувати математичні диктанти. Наприклад:

1) Скільки одержимо, якщо по 8 взяти 6 разів?

2) Скільки разів в 36 міститься по 9?

3) По 12 взяти 5 разів. Скільки буде?

4) Скільки разів у 45 міститься по 5?

Корисними є завдання на визначення закономірності та про­довження ряду чисел:

5, 10, 15, ...    81, 72, 63, ...

2, 4, 6, ...     40, 36, 32, ...

ОЗНАЙОМЛЕННЯ З АРИФМЕТИЧНИМИ ДІЯМИ МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Учні мають засвоїти те, що суму однакових доданків мож­на замінити множенням, а віднімання однакових чисел, доки не одержимо нуль, — діленням; навчитися виконувати відповідні за­писи та розуміти, що означає кожне число в записі.

Пропонуємо дітям задачі.

Розв'яжіть задачу.

За партою сидять по два учні. Скільки учнів сидять за восьма пар­тами?

Школярі розповідають, про що йдеться в задачі; пояснюють числа і запитання задачі: «Усього учнів стільки, скільки буде, якщо по 2 учні взяти 8 разів»; записують задачу коротко та вико­нують схематичний рисунок. Далі школярі визначають, що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі, та з’ясовують, якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі.

Якою дією відповімо на запитання задачі? [Дією додавання.] Запишемо розв’язання: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16 (уч.). Запишемо відповідь: 16 учнів сидять за 8 партами. Чим цікава ця сума? [Тут всі доданки однакові.] У математиці додавання однако­вих доданків називають множенням. Множення — це нова ариф­метична дія.

Які арифметичні дії ми знаємо? [Додавання, віднімання.] У кожної дії є свій знак: у додаванні «+» — плюс, у відніман­ні «-» — мінус. Множення записується знаком «•» — крапка. Суму однакових доданків замінимо множенням; за допомогою но­вого знака записуємо вираз так: 2 • 8 = 16.

На першому місці пишемо однаковий доданок 2, а на друго­му — кількість рівних доданків — 8. Цю рівність читаємо так: два помножити на вісім дорівнює шістнадцять; або по два взяти вісім разів отримаємо шістнадцять.

Запишемо розв’язання задачі за допомогою дії множення: 2 • 8 = 16 (уч.).

Таким чином, ми розглянули інший спосіб розв’язання цієї задачі.

Відповідаємо на запитання задачі: 16 учнів сидять за 8 пар­тами.

Складаємо і розв’язуємо обернену задачу:

У класі 16 учнів, їх слід розмістити за партами, по 2 учні за кожну парту. Скільки має бути парт у класі?

Школярі розповідають, про що йдеться в задачі; пояснюють числа і запитання задачі; складають схематичний рисунок. Парт буде стільки, скільки разів у 16 вміщується по 2 учні. Діти запи­сують задачу коротко; визначають, що треба знати, щоб відпові­сти на запитання задачі, та з’ясовують, якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі.

Якою дією відповімо на запитання задачі? [Дією віднімання.]

Запишемо розв язання:

У 16 вміщується по 2 вісім разів, тому 8 парт потрібно, щоб розмістити 16 учнів, по 2 учні за кожною партою.

Запишемо відповідь: 8 парт потрібно.

Чим цікавий цей вираз? [Тут ми декілька разів віднімаємо одне й те саме число, доки не отримаємо нуль.]

У математиці віднімання однакових чисел, доки не отрима­ємо нуль, можна замінити діленням. Ділення — це нова арифме­тична дія.

Які арифметичні дії ми знаємо? [Додавання, віднімання, множення.] У кожної дії є свій знак: у додаванні «+» — плюс, у відніманні «-» — мінус, у множенні «•» — крапка. Ділення за­писується знаком «:» — двокрапка.

Різницю однакових від’ємників, результатом якої є число 0, замінимо діленням; запишемо вираз за допомогою нового знака: 16 : 2 = 8.

На першому місці пишемо зменшуване, на другому — од­наковий від’ємник, а після знака рівності пишемо, скільки разів вміщується в зменшуваному однаковий від’ємник. Цю рівність читаємо так: 16 поділити по 2 отримаємо 8, або у 16 вміщується по 2 вісім разів.

Запишемо розв’язання задачі за допомогою дії ділення: 16 : 2 = 8 — у дужках нічого не пишемо, тому що ми отримали, що 8 разів вміщується у 16 по 2, і лише після цього зробили висновок про кількість парт, які необхідні для розміщення учнів. Таким чином, ми розглянули інший спосіб розв’язування цієї задачі.

Далі діти розв’язують задачі на конкретний зміст дії мно­ження двома способами (додаванням та множенням) і на конкрет­ний зміст дії ділення на вміщення (відніманням та діленням). Причому на цьому етапі результат дії множення учні знаходять, замінюючи множення додаванням однакових доданків, а резуль­тат дії ділення — відніманням однакових чисел, у результаті яко­го одержують нуль. Корисно також розв’язати пари обернених за­дач: на конкретний зміст множення та ділення на вміщення.

Доцільно дійти висновку:

Щоб отримати більше число, треба додати або помножити, а для того щоб отримати менше число, треба відняти або поділити.

Щоб визначати, коли слід множити або ділити, учні повин­ні засвоїти мовні конструкції: «взяли, склали по...» — слід вико­нувати дію множення; «розділили, розклали, розсипали по...» — дію ділення. Таким чином, якщо треба знайти більше число і при цьому об’єднувати по, то виконуємо множення; якщо щось змен­шилося і при цьому вилучали по, то виконуємо дію ділення. Ви­ходячи з цього можна зробити узагальнений висновок:

Якщо треба знайти більше число на підставі об’єднання/об’єднання по, то слід обрати дію додавання/множення.

Якщо треба знайти менше число на підставі вилучення/вилучення по, то слід обрати дію віднімання/ділення.

Конкретний зміст дії множення закріплюється під час вико­нання завдань.

1. Замініть суми однакових доданків добутками за зразком.

17 + 17 + 17 + 17  5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

2. Замініть добутки сумами однакових доданків і знайдіть значен­ня виразів.

3. Прочитайте рівності на множення і перевірте відповіді дода­ванням.

4. Знайдіть суми, які можна замінити множенням.

Як можна спростити другий вираз? Що в ньому ціка­ве? [У ньому є два однакові доданки, їх можна замінити добутком.]

9 + 9 + 6 = 9 • 2 + 6

Конкретний зміст дії ділення на вміщення закріплюється під час виконання завдань.

1. Замініть віднімання однакових чисел дією ділення за зразком.

2. Замініть ділення відніманням і знайдіть значення часток.

3. Знайдіть значення рівностей на ділення і перевірте отримані результати відніманням.

4. Знайдіть вирази, які можна замінити діленням.

На цьому етапі при виконанні математичних диктантів діти записують вирази, використовуючи дії множення та ділення, а знаходячи їх значення, замінюють множення — додаванням, ді­лення — відніманням.

НАЗВИ КОМПОНЕНТІВ І РЕЗУЛЬТАТІВ АРИФМЕТИЧНИХ ДІЙ МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Познайомити з назвою компонентів і результатів дій мно­ження та ділення можна на підставі аналогії між діями множен­ня і додавання, ділення і віднімання. Доцільно підкреслити, що множення визначається через додавання, а ділення — через відні­мання; виходячи з цього, у дій додавання і множення, віднімання і ділення має бути багато спільного. Спільне можна побачити в на­звах компонентів цих дій: при додаванні і множенні компонен­ти, з якими виконують ці дії, називають за характером дії (дода­ють — доданок, множать — множник) однаково, лише кажуть про порядок — перший доданок/множник, другий доданок/множник; а при відніманні і діленні — по-різному: більше число, яке зменшується або ділиться в результаті віднімання і ділення, називають зменшуване/ділене, а число, яке віднімають або на яке ділять, називають відповідно до тієї дії, що виконують, — від’ємник/дільник.

У результаті додавання і множення отримаємо більше число (у загальному випадку, не враховуючи додавання з 0 та множення з 1), воно називається значенням суми/добутку, а в результаті віднімання і ділення отримаємо менше число (у загальному випадку, не враховуючи віднімання 0 та ділення на 1), порівняно з даним, і воно називається значенням різниці/частки.

Числа, які множать, називають множниками. Число, яке діс­таємо при множенні, називають значенням добутку.

Виходячи з конкретного змісту арифметичної дії множення (множення можна замінити сумою однакових доданків), перший множник показує, яке число є однаковим доданком, а другий — скільки разів його слід додати.

Якщо два числа поєднані знаком множення, то записаний математичний вираз — добуток. Щоб записати добуток двох чи­сел, треба поєднати їх знаком множення.

Закріплюються назви компонентів і результату дії множен­ня на вправах.

1. Підкресліть у рівностях перший множник однією рискою, дру­гий множник — двома. Що показує перший множник? Другий множник?

2. У рівностях підкресліть значення добутків.

3. Прочитайте рівність, називаючи кожне число:

4 • 6 = 24

Перший множник — число 4, другий множник — число 6, значення добутку — число 24.

Число, яке ділять, називають діленим; число, на яке ді­лять, — дільником. Число, яке дістаємо при діленні, називають значенням частки.

Якщо два числа поєднані знаком ділення, то записаний ма­тематичний вираз — частка. Щоб записати частку двох чисел, тре­ба поєднати їх знаком ділення.

Для закріплення назв чисел при діленні учням пропонують­ся вправи.

1. У рівностях підкресліть ділене однією рискою, а дільник — двома.

2. У рівностях підкресліть значення частки.

3. Прочитайте рівності на ділення з назвою компонентів і резуль­татів арифметичних дій.

21 : 3 = 7    64 : 16 = 4

На цьому етапі завдання для математичного диктанту мож­на урізноманітнити таким чином:

1) Скільки разів в 24 міститься по 4?

2) Скільки одержимо, якщо по 18 взяти 3 рази?

3) 8 помножити на 6.

4) 36 розділити на 9.

5) Запишіть частку чисел 60 та 12 і знайдіть її значення.

6) Запишіть добуток чисел 19 та 4. Знайдіть його значення.

7) Перший множник 7, другий множник 5, знайдіть значення до­бутку.

8) Ділене 56, дільник 7, знайдіть значення частки.

Зазначимо, що значення часток та добутків діти знаходять, замінюючи ділення відніманням, а множення — додаванням.

ПЕРЕСТАВНИЙ ЗАКОН ДІЇ МНОЖЕННЯ

Серед знань, які складають теоретичну основу побудови та­блиць множення, виділяється переставний закон дії множення. Використання цього закону полегшує складання таблиць і змен­шує число табличних випадків для запам’ятовування. Тому до­цільно познайомити учнів із переставним законом відразу, після засвоєння конкретного змісту дії множення.

Переставний закон дії множення можна ввести двома шля­хами: І — через виконання практичних дій із математичними ма­теріалами, II — на підставі аналогії з переставним законом дії до­давання.

Розглянемо другий шлях.

Як називають числа при додаванні? [Доданок, доданок, зна­чення суми.] Цікаво, що компоненти дії додавання називають од­наково — доданки.

У результаті додавання отримаємо більше чи менше число? [У результаті додавання отримаємо більше число, сума більша за доданки, якщо доданки відмінні від 0.]

Сформулюйте і запишіть переставний закон додавання. [Від переставляння доданків значення суми не змінюється. Числа можна додавати в будь-якому порядку: а + в = в + а.]

Якою арифметичною дією можна замінити додавання одна­кових доданків? [Множення — це додавання однакових доданків.]

Як називають числа при множенні? [Множник, множник і значення добутку.] Цікаво, що компоненти дії множення назива­ють однаково. Це в них є спільним!

У результаті множення отримаємо більше чи менше число? [Більше, значення добутку більше за кожний множник, якщо множники відмінні від нуля або одиниці.]

Згадайте, чи виконували ми раніше таку арифметичну дію, у якій компоненти називають однаково, а в результаті отримуємо більше число? [Так, це дія додавання, якій притаманне все вище сказане.]

Що ми знаємо про дію додавання, а ще не знаємо про дію множення? [Дії додавання притаманний переставний закон.]

Може, такий закон існує і для дії множення? Який вигляд він мав би? Що треба змінити в записі переставного закону дода­вання, щоб отримати переставний закон множення? [Треба зміни­ти знак «+» на знак «•». Отримаємо: а • в = в • а.]

Це треба перевірити. Наведіть свій приклад на застосуван­ня переставного закону множення. [5 • 3 повинно дорівнювати 3 • 5. Перевіримо це: 5 • 3 = 5 + 5 + 5 = 15, 3 • 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, 15 = 15 — це правильна (істинна) рівність.]

Який висновок можна зробити? [Дії множення притаманний переставний закон.]

Сформулюйте переставний закон множення. Що треба змі­нити у формулюванні переставного закону додавання? [Від пере­становки множників значення добутку не змінюється. Числа мож­на множити в будь-якому порядку.]

Можна поєднати формулювання переставного закону дода­вання та множення.

Переставний закон додавання —► а + в = в + а/множення —► а • в = в • а

Від перестановки доданків/множників значення суми/добутку не зміню­ється.

З метою засвоєння переставного закону учням пропонуються завдання.

1. Порівняйте добутки в кожному стовпчику. Чи можна для зна­ходження значення другого добутку скористатися значенням першого?

2. Знайдіть значення добутків у першому рядку на підставі кон­кретного змісту дії множення. Як, не застосовуючи поперед­ній спосіб, дізнатися про значення добутків у другому рядку?

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ

Введення взаємозв’язку арифметичних дій може відбуватися двома шляхами: І — через виконання практичних вправ з матема­тичними матеріалами, наприклад, із набором геометричних фігур, та II — шляхом аналогії між арифметичними діями множення і до­давання, ділення і віднімання.

Розглянемо другий шлях.

Учні можуть дійти висновку про взаємозв’язок цих дій за аналогією до взаємозв’язку арифметичних дій додавання та відні­мання: слід порівняти між собою дії додавання і віднімання; мно­ження і ділення як взаємно обернені арифметичні дії. Додавання і віднімання — взаємно обернені дії, вони пов’язані між собою так: якщо від суми двох доданків відняти один доданок, то залишиться інший доданок, тому додавання перевіряється відніманням.

Якщо взяти до уваги, що множення — це додавання одна­кових доданків (а ділення — це віднімання однакових чисел, доки не отримаємо нуль), то, замінивши додавання на множення, а від­німання — на ділення, отримаємо взаємозв’язок між діями мно­ження і ділення.

Можна виготовити плакат із рухомими рисками, на яких за­писані знаки арифметичних дій: одним рухом знак «+» заміню­ється знаком «•», знак «-» — знаком «:».

Отже, множення і ділення — також взаємно обернені дії, вони пов’язані аналогічно: якщо добуток двох множників поді­лити на один із множників, то отримаємо інший множник, тому множення перевіряється діленням. Таким чином, на підставі по­рівняння взаємозв’язків додавання і віднімання, множення і ді­лення можна зробити узагальнений висновок.

Якщо від суми/добуток двох чисел відняти/поділити на одне число, то залишиться інше число.

Для закріплення взаємозв’язку арифметичних дій множен­ня та ділення пропонуємо дітям із кожної рівності на множення скласти по дві рівності на ділення.

На підставі взаємозв’язку арифметичних дій додавання і від­німання на попередньому етапі навчання було дано означення дії віднімання.

Від числа а відняти число в — це означає знайти таке чис­ло с, яке в сумі з від’ємником в дає зменшуване а. Тому віднімання перевіряється додаванням. Аналогічно, на підставі взаємозв’язку арифметичних дій множення і ділення можна дати означення арифметичної дії ділення.

Число а поділити на число в — це означає знайти таке число с, яке в добутку із дільником в дає ділене а.

ВЛАСТИВОСТІ МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ З 0 ТА 1

Перед складанням таблиць множення і ділення доцільно по­знайомити учнів із множенням та діленням з числами 0 та 1.

На етапі актуалізації повторюємо взаємозв’язок дій мно­ження та ділення: учні з однієї рівності на множення складають по дві рівності на ділення; а також переставний закон множення: до кожної рівності на множення складають ще одну рівність, зна­чення добутку якої відоме на підставі переставного закону.

Ознайомлення з властивостями множення з 0 та 1 відбува­ється за допомогою індуктивних узагальнень. На підставі кон­кретного змісту дії множення діти знаходять значення добутків: 1 та 6, 1 та 4, 1 та 10.

Порівнюючи значення добутку і другий множник, діти впев­нюються, що вони рівні. Постає проблемне запитання: «Чи завжди при множенні одержуємо число, що дорівнює другому множни­ку?». [Звичайно, не завжди!] А у якому ж випадку? [У випадку множення числа 1 на будь-яке число одержуємо те саме число.]

Спираючись на переставний закон множення, школярі знаходять значення добутків 6 та 1, 4 та 1, 10 та 1 і доходять висновку:

a • 1 = 1 • a = a При множенні числа 1 на будь-яке число або числа на 1 одержимо те саме число.

Аналогічно будується методика ознайомлення молодших школярів із правилом множення нуля на будь-яке число або числа на нуль. Учні доходять висновку:

a • 0 = 0 • а = 0 При множенні нуля на будь-яке число або числа на нуль одержимо нуль!

Закріпленням цих правил є виконання завдань типу:

Знайдіть значення виразів.

Корисним буде порівняння пар виразів: на множення та до­давання числа 1; на множення та додавання числа 0. Учні дохо­дять висновку: при множенні на 1 одержимо те саме число, а при додаванні 1 — наступне число; при множенні на 0 одержимо чис­ло 0, а при додаванні числа 0 — те саме число.

Також має сенс знаходити значення пар виразів: один з яких на множення з числом 1, а інший — на додавання з чис­лом 0. При множенні значення добутку дорівнює одному з множ­ників у випадку, коли інший множник число 1. При додаванні значення суми дорівнює одному з доданків у випадку, коли інший доданок — число 0.

При ознайомленні з властивостями множення з 0 та 1 роз­глядаємо рівності, у яких перший множник число 1 або число 0. На підставі взаємозв’язку арифметичних дій множення та ділен­ня учні складають з рівності на множення дві рівності на ділення.

Учні самостійно формулюють відповідні правила:

1) при діленні числа саме на себе в результаті одержуємо 1: а : а = 1;

2) при діленні будь-якого числа на 1 в результаті одержуємо те саме число: а : 1 = а;

3) при діленні нуля на будь-яке число в результаті одержуємо нуль: 0 : п = 0;

4) ділити на нуль не можна, тому що не існує такого числа, яке при множенні на нуль дає чис­ло, відмінне від нуля.

З метою засвоєння цих правил пропонуємо дітям навести власні приклади на кожне з цих правил, а також виконати зав­дання.

Знайдіть значення виразів.

Доцільно порівняти пари виразів, перший з яких є часткою однакових чисел, а другий — різницею однакових чисел; пер­ший — частка числа та 1, а другий — різниця числа та 1. Доходи­мо висновку, що при діленні однакових чисел одержуємо 1, а при відніманні однакових чисел одержуємо нуль; при діленні на 1 одержуємо те саме число, а при відніманні 1 — попереднє число.

Також корисним є порівняння таких пар виразів: перший — частка нуля та числа, а другий — різниця однакових чисел; перший — частка числа та 1, а другий — різниця числа та нуля. Учні доходять висновку: значення частки дорівнює нулю в тому ви­падку, коли ділене нуль, а значення різниці дорівнює нулю, коли зменшуване та від’ємник рівні числа; значення частки дорівнює ді­леному в тому випадку, коли дільник — число 1, значення різниці дорівнює зменшуваному в тому випадку, коли від’ємник — число 0.

МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ НА 10

З метою створення можливості застосовувати в подальшому навчанні при складанні таблиць множення ще один спосіб від­творення табличних результатів — на підставі наступного зна­чення — необхідно познайомити учнів із правилами множення та ділення на 10. Саме виходячи з результату множення будь-якого числа на 10 учні легко можуть перейти до результату множення цього числа на 9 (від наступного результату а -10 відняти це чис­ло). А як відомо, найгірше засвоюється «нижня» частина таблиці множення.

На підставі конкретного змісту арифметичної дії множення школярі знаходять значення добутку числа 10 та іншого одноциф­рового числа. Наприклад, одержуємо наступні рівності:

Порівнюючи запис значення добутку та другий множник, встановлюємо, що в записі значення добутку спочатку записана така сама цифра, яка використана для запису другого множника, і ще цифра 0. З’ясовуємо, чому саме приписане число 0. Звертає­мо увагу на запис першого множника — це число 10, у записі яко­го є один 0. Формулюємо висновок: щоб помножити 10 на будь- яке число, достатньо до цього числа приписати праворуч один 0.

Застосовуючи переставний закон множення, діти записують значення добутків:

Формулюємо відповідне правило:

Щоб число помножити на 10, достатньо до нього праворуч приписати один 0.

Звертаємо увагу дітей на те, що при множенні на 10 припи­суємо праворуч один нуль, тому що в записі числа 10 є один 0. Пропонуємо учням здогадатися, скільки нулів слід приписати до числа при множенні на 100; на 1000. Чому?

10, 100, 1000 — це розрядні одиниці. При множенні на роз­рядну одиницю до числа слід праворуч приписати стільки нулів, скільки їх у розрядній одиниці!

Ділення на 10 вводиться через застосування взаємозв’язку між діями множення та ділення до добутків, у яких один із множ­ників — число 10:

Учні підкреслюють рівності, у яких дільник число 10. Порів­нюючи запис значення частки та запис діленого, вони помічають: щоб одержати частку, треба в записі діленого прикрити (забрати) один 0. Чому один 0? Тому що в записі дільника — числа 10 — є один 0. Формулюємо правило:

Для того щоб розділити число на 10, достатньо в його записі праворуч прибрати один 0.

Аналогічно, з метою випереджувального навчання діти ви­сувають припущення щодо результату при діленні на 100 та на 1000. При діленні на розрядну одиницю треба в записі числа прикрити (забрати) стільки нулів, скільки їх у розрядній одиниці.

На етапі закріплення пропонуємо школярам знайти значен­ня виразів на всі вивчені правила.

ДІЛЕННЯ НА РІВНІ ЧАСТИНИ

Ділення на рівні частини вводиться на підставі розв’язування пари взаємно обернених задач, перша з яких відомого дітям виду — ділення на вміщення, а друга нового — ділення на рівні частини.

Розв'яжіть задачі.

1) У Наталки 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки подругам, по З цукерки кожній. Скільки подруг одержали цукерки?

Діти виконують схематичний рисунок, позначаючи кожну цукерку відрізком завдовжки 1 клітинка; роблять висновок, що подруг, які одержать цукерки, стільки, скільки в 12 цукерках міститься по 3 цукерки. Виконуємо відповідний короткий запис. З’ясовуємо, що задачу можна розв’язати двома способами: відні­манням від 12 по 3, доки не одержимо 0, з наступним висновком або діленням (зазначимо, що на даному етапі навчання діти зна­ходять значення часток лише за допомогою конкретного змісту, замінюючи ділення відніманням однакових чисел). Оформлюємо розв’язання та записуємо відповідь.

2) У Наталки 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки чотирьом по­другам, порівну кожній. По скільки цукерок одержала кожна подруга?

Дію виконуємо практично або за допомогою рисунка:

Скільки потрібно взяти цукерок, щоб роздати кожній по­друзі по одній цукерці? [Стільки, скільки подруг, тобто 4.] Беремо 4 цукерки, роздаємо кожній подрузі по 1 цукерці...

Чи всі цукерки ми роздали? [Ні.] Візьміть ще стільки цуке­рок, щоб роздати кожній подрузі по 1 цукерці.

Чи всі цукерки ми роздали? [Ні.] Візьміть ще стільки цуке­рок, щоб роздати кожній подрузі по 1 цукерці.

Чи всі цукерки ми роздали? [Так.] Скільки цукерок одержа­ла перша подруга? [3] Скільки друга? [3] ... Скільки четверта? [3] Що можна сказати про кількість цукерок, що одержала кожна по­друга? [Кожна подруга одержала цукерок порівну — по 3.]

Скільки всього було цукерок? [12] Скільки подруг одержали цукерки? [4 подруги.] Що можна сказати про кількість цукерок у кожної подруги? [У кожної подруги цукерок порівну.] По скіль­ки цукерок одержала кожна подруга? [По 3.]

Як записати розв’язання цієї задачі? Ми, як і в попередній задачі, роздавали цукерки... Роздали — поділили. Але як ми ді­лили цукерки в цій задачі? [Ми ділили порівну.] У цій задачі ми ділили не на вміщення, а на рівні частини.

Запишемо розв’язання: 12 : 4 = 3. Ми 12 цукерок ділили по­рівну на 4 частини і отримали по 3 цукерки в кожній частині.

Порівняйте ці задачі. Чим вони схожі? Чим відрізняються? [Схожі тим, що в обох задачах ділили 12 цукерок, але в задачі 1 ділили по 3 цукерки — на вміщення, а в задачі 2 — ділили порів­ну на 4 частини — на рівні частини. Обидві задачі на ділення, але вони відрізняються процесом ділення.]

Після цього пропонуємо учням порівняти опорні схеми за­дач на ділення на рівні частини і ділення на вміщення:

Якщо в задачі йдеться про те, що щось розклали, розсипали, роздали, розрізали по/порівну, тоді слід виконати дію ділення на вмішення/на рівні частини.

Відтепер діти розв’язують трійки взаємно обернених задач: на конкретний зміст дії множення, на ділення на вміщення та на ділення на рівні частини.

МЕТОДИКА СКЛАДАННЯ ТАБЛИЦЬ МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Таблиці множення можуть бути складеними за сталим пер­шим чи сталим другим множником. При складанні таблиць за сталим першим множником в усіх випадках добуток замінюється сумою однакових доданків, кількість яких змінюється, а за ста­лим другим множником сума містить одне й те саме число двійок, трійок, або четвірок...

Традиційно таблиці множення складаються за сталим пер­шим множником; таблиці починаються з множення певного числа на 2 і закінчуються множенням на 9. Але доцільніше розпочинати таблиці множення із добутку однакових чисел.

У 2 класі вивчаються всі таблиці множення та відповідні таблиці ділення; учні мають вільно використовувати знання та­блиць множення і ділення на 2 і 3, а рештою таблиць можна ко­ристуватися в обчисленнях. А в 3 класі учні повинні вже володіти обчислювальною навичкою табличного множення та ділення.

Розглянемо можливі способи обчислення табличних резуль­татів:

1) на підставі конкретного змісту дії множення:

2 • 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8;

2) на підставі переставного закону дії множення:

8 • 2 = 2 • 8 = 16;

3) на підставі попереднього значення:

2 • 7 = 2 • 6 + 2 = 12 + 2 = 14;

4) на підставі наступного значення:

2 • 7 = 2 • 8 - 2 = 16 - 2 = 14;

5) групування: 2 • 8 = 2 • 4 + 2 • 4 = 8 + 8 = 16;

6) послідовного множення: 3 • 4 = 3 • 2 • 2 = 6 • 2 = 12.

Розглянемо 1-5 способи складання таблиць на прикладі та­блиці множення числа 3. Складаємо таблицю множення числа З на підставі конкретного змісту арифметичної дії множення:

3 • 2 = 3 + 3 = 6

3 • 3 = 3 + 3 + 3 = 9

3 • 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

3 • 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

3 • 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

3 • 7 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21

3 • 8 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24

3 • 9 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27

Звертаємо увагу учнів на відмінність послідовних резуль­татів: кожний наступний результат на 3 більший за попередній. Визначаємо причину: у кожному наступному добутку другий множник, що позначає кількість однакових доданків, на 1 біль­ше попереднього; тому кожного разу додають на 3 більше, отже, і кожний наступний результат на 3 більший за попередній.

Тому можна не перераховувати кожний раз усю суму, а лише додавати цей доданок. Крім того, значення першого виразу можна не обчислювати, тому що ми його знаємо з таблиці множення чис­ла 2, треба лише переставити множники.

Переставний закон множення у наступних таблицях засто­совується для значно більшої кількості випадків — так, напри­клад, майже всі результати таблиці множення числа 9 можна ви­значити, переставивши множники; а лише один (9 • 9) обчислити іншим способом.

Якщо в таблиці множення числа 3 кожний наступний ре­зультат більший за попередній на 3, то й навпаки, кожний попе­редній результат менший від наступного так само на 3. Можна відтворити результати таблиці множення числа 3, застосову­ючи наступний результат. І тут допоможе випадок множення чисел 3 і 10, тому що це наступний результат за результатом добутку 3 та 9.

Найбільш складною для запам’ятовування є нижня частина таблиці, але існує спосіб, який полегшує знаходження значень до­бутків нижньої частини таблиці — це спосіб групування.

Повертаємося до першого способу — на підставі конкретного змісту дії множення. Учні помічають, що однакові доданки можна по-різному групувати:

У цьому випадку в неявному вигляді застосовується розпо­дільний закон множення відносно додавання. Між тим можна за­стосувати й спосіб, теоретичною основою якого є сполучний закон множення. Наприклад, у добутку 3 та 6, якщо його замінити су­мою однакових доданків, бачимо дві пари трійок:

Справа в тому, що число 6 можна замінити добутком чисел 3 та 2: 3 • 6 = 3 • (3 • 2). Але числа можна множити у будь-якому порядку, тому маємо: 3 • 3 • 2 = 9 • 2 = 18.

Треба зазначити, що цей спосіб може бути застосований для обмеженої кількості випадків, тому що призводить до більш складних обчислень.

Учні мають не лише зрозуміти, як одержати результати та­блиць множення, а й добре їх запам’ятати. Тому слід застосовувати спеціальну систему навчальних завдань, яка спрямована на ак­туалізацію способів запам’ятовування табличних результатів.

1. Прочитайте результати таблиці множення по порядку. Що ці­каве ви помітили? На скільки кожний наступний результат біль­ший за попередній? Чому? Назвіть результати таблиці напам'ять по порядку від найменшого до найбільшого.

2. Розкажіть таблицю множення по порядку. Використовуючи пе­реставний закон множення, назвіть, результати яких випадків множення вам ще відомі.

3. На скільки кожний наступний результат більший за попередній? Чому? Назвіть результати таблиці напам'ять від найбільшого до найменшого.

4. Розкажіть напам'ять таблицю множення від випадку множення на 9 до випадку множення на 2.

5. Які результати ви краще запам'яталися? Назвіть співзвучні. (Виділяємо опорні випадки.)

6. Використовуючи знання наступного та попереднього значень, відтворіть певний табличний результат. Наприклад, якщо ви за­були результат множення 6 • 7, то як ви це з'ясуєте? Назвіть різноманітні способи.

7. Установіть, яке число зайве: 6, 9, 12, 14, 15, 18, 21, 24, 27.

8. Продовжте ряд чисел: 8, 12, 16, ...

9. Замініть числа добутком двох чисел: 18, 16.

Також пропонуємо учням завдання на доведення того, що добуток двох чисел має певне значення. Наприклад: 3 • 6 = 18. Діти мають застосувати конкретний зміст дії множення, замінив­ши добуток сумою однакових доданків, і якщо при обчисленні цієї суми вони одержать 18, то це свідчитиме про те, що результат цього добутку знайдено правильно.

Корисними є застосування як карток із вправами на відтво­рення табличних результатів, так і «деформованих» вправ, у яких треба вписати або перший, або другий множник. Також для засво­єння табличних результатів пропонуємо завдання на порівняння математичних виразів:

На цьому етапі навчання діти вчаться знаходити значення виразів на кілька дій різного ступеня; вводяться правила порядку виконання дій (про це докладно при розгляді алгебраїчного мате­ріалу початкового курсу математики).

Таблиці ділення складаються на підставі взаємозв’язку між діями множення і ділення: якщо добуток двох чисел розділити на перший множник, то одержимо другий множник; якщо добуток двох чисел розділити на другий множник, то одержимо перший множник. Учні записують в зошитах таблицю множення на певне число, а потім їм пропонується скласти з рівностей на множення дві рівності на ділення. Для засвоєння табличного ділення про­понуємо учням для кожного окремого випадку міркувати так: 21 : 7 — це означає знайти таке число, яке в добутку з 7 дає 21; це число 3; тому 21 : 7 = 3, тому що 3 • 7 = 21.

Наприклад:

Ефективним засобом формування міцних навичок таблично­го множення та ділення є завдання на картках з друкованою осно­вою, на яких слід записати результати вивчених випадків мно­ження та ділення або один із компонентів.

Також на цьому етапі продовжуємо порівнювати матема­тичні вирази, знаходити значення числових виразів на кілька дій різного ступеня; вводимо поняття про вирази зі змінною (буквені вирази) і пропонуємо учням знайти їх значення. Усі ці вправи сприяють засвоєнню таблиць множення та ділення на тривалий час.

ЗНАХОДЖЕННЯ НЕВІДОМОГО МНОЖНИКА, ДІЛЕНОГО АБО ДІЛЬНИКА

Правило знаходження невідомого множника. Актуалізу­ємо взаємозв’язок арифметичних дій додавання та віднімання, множення та ділення; визначаємо, що невідомий доданок зна­ходимо оберненою дією — відніманням, аналогічно, невідомий множник — дією ділення. Щоб одержати перший доданок, треба від суми відняти другий доданок; аналогічно, щоб одержати пер­ший множник, треба добуток поділити на другий множник. Так само робимо висновок щодо знаходження другого множника. Уза­гальнюємо ці правила.

ттт е.    • « _Л

Щоб знайти невідомий доданок/множник, треба від суми/добуток відняти/розділити на відомий доданок/множник

Правила знаходження невідомого діленого або дільника виводяться на підставі аналогії з правилами знаходження невідо­мого зменшуваного або від’ємника. Учні порівнюють арифметич­ні дії віднімання та ділення; визначають у них спільне (ділення можна замінити відніманням однакових чисел, доки не одержи­мо нуль; і при відніманні, і при діленні в результаті одержуємо менше число; і при відніманні, і при діленні компоненти назива­ють по-різному — за характером дій, що відбуваються з числами: зменшуване/ділене, від’ємник/дільник, причому зменшуване та ділене мають бути не меншими/більшими або дорівнювати відповідно від’ємнику та дільнику).

Отже, зменшуване та ділене — «велике» число. Учні згаду­ють, що велике число на першому ступені знаходять додаванням (тому зменшуване знаходить додаванням), а на другому ступені — множенням (тому ділене знаходять множенням). Формулюємо правило знаходження невідомого зменшуваного і за аналогією від­творюємо правило знаходження невідомого діленого.

Щоб знайти невідоме зменшуване/ділене, треба до від’ємника/дільник додати/помножити різницю/на частку.

З’ясовуємо, що від’ємник має бути менший або дорівнювати зменшуваному; так само дільник має бути меншим або дорівню­вати діленому. Менше число на першому ступені знаходять дією віднімання, тому від’ємник знаходять відніманням; а на другому ступені менше число знаходять дією ділення, тому дільник зна­ходять діленням. За аналогією до правила знаходження невідомо­го від’ємника учні формулюють правило знаходження невідомого дільника.

Щоб знайти невідомий від’ємник/дільник, треба від зменшуваного/ділене відняти/поділити різницю/на частку.

ЦІ правила школярі мають формулювати та застосовува­ти при виконанні вправ на знаходження невідомого компонента арифметичних дій.

ЗБІЛЬШЕННЯ АБО ЗМЕНШЕННЯ ЧИСЛА В КІЛЬКА РАЗІВ. КРАТНЕ ПОРІВНЯННЯ

Відношення кратного порівняння вводиться на задачах від­повідного виду. Для його засвоєння корисне паралельне порівнян­ня різницевого та кратного відношень. Розглянемо зміст підготов­чих завдань.

Пропонуємо учням покласти в рядок 3 квадрати, а нижче покласти стільки квадратів, щоб їх було на 2 більше, ніж у верх­ньому рядку. Учні визначають, що в нижньому рядку квадратів на 2 більше — стільки, скільки й у верхньому, та ще 2, стільки ж та ще 2 знаходять дією додавання; у верхньому рядку на 2 квадра­ти менше — стільки ж, але без 2; стільки ж, але без 2 знаходять дією віднімання.

Далі учні викладають у верхньому рядку 3 квадрати, а нижче під ними — два рази по 3 квадрати. З’ясовуємо, що в ниж­ньому рядку квадратів більше, тому що по­клали два рази по стільки, скільки й у верхньому рядку. Вчитель повідомляє, що в цьому випадку кажуть, що в нижньому рядку в 2 рази більше квадратів, ніж у верхньому. Визначаємо, де ква­дратів менше. У верхньому рядку лише один раз по 3 квадрати, а в нижньому — два рази по 3 квадрати, тому у верхньому рядку у 2 рази менше квадратів, ніж у нижньому. Учні доходять висно­вку: для того щоб стало у 2 рази більше, ніж 3, треба по 3 взяти 2 рази; для того щоб стало у 2 рази менше, ніж 6, треба 6 розді­лити на дві рівні частини.

Виконуємо практичні вправи типу: покладіть ліворуч 2 ква­драти, а праворуч — у 4 рази більше. Що треба зробити, щоб по­класти в 4 рази більше квадратів? [По 2 квадрати взяти 4 рази.] Якою дією можна обчислити, скільки квадратів треба покласти? [Скільки буде, якщо по 2 взяти 4 рази, можна дізнатися множен­ням.] Учні обчислюють і перевіряють перерахунком.

Покладіть у верхньому рядку 15 трикутників, а в нижньо­му — у 3 рази менше. Що слід зробити, щоб покласти в 3 рази менше, ніж 15 трикутників? [Треба 15 розділити порівну на 3.] Якою арифметичною дією можна обчислити, скільки трикутників треба покласти в нижньому рядку? [Дією ділення.] Обчислюємо та перевіряємо перерахунком.

Результати зіставлення збільшення або зменшення числа на кілька одиниць та в кілька разів можна подати у вигляді опорного конспекту.

Більше число знаходять або дією дода­вання, або дією множення. Додаван­ням знаходимо число, яке на кілька одиниць більше за дане, а множенням знаходимо число, яке в кілька разів більше даного числа.

Менше число знаходимо або відніман­ням, або діленням. Віднімаємо тоді, коли шукане число на кілька одиниць менше за дане, а ділимо тоді, коли шукане число в кілька разів менше певного числа.

На наступному етапі діти знаходять числа, які більші або менші за дане число в кілька разів. Причому для попередження вузьких узагальнень ці вправи пропонуються разом із вправами на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць.

Правило кратного порівняння так само, як і збільшення або зменшення числа в кілька разів, вводиться на підставі пара­лельного порівняння із різницевим порівнянням. Актуалізуємо правило різницевого порівняння (щоб дізнатися, на скільки одне число більше чи менше за інше число, треба від більшого числа відняти менше число), збільшення числа на кілька одиниць або в кілька разів, зменшення числа на кілька одиниць або в кілька разів.

Пропонуємо учням накреслити відрізок АВ завдовжки 2 см. Під ним накреслити відрізок МК завдовжки 10 см. З’ясовуємо, який відрізок довший. У скільки разів відрізок МК довший за від­різок АВ? Щоб про це дізнатися, треба підрахувати, скільки разів у довжині відрізка МК міститься по 2 см, що знайдемо арифме­тичною дією ділення. Отже, щоб дізнатися, у скільки разів одне число більше за інше, треба розділити більше число на менше.

Визначаємо, який відрізок має меншу довжину і в скільки разів. Довжина відрізка АВ у стільки разів менша за довжину відрізка МК, у скільки разів довжина відрізка МК більша за до­вжину відрізка АВ. Таким чином, щоб дізнатися, у скільки разів одне число менше за інше, треба більше число поділити на менше.

Зіставляємо правила різницевого та кратного порівняння і формулюємо узагальнене правило.

Щоб дізнатися, на/у скільки /разів одне число більше чи менше за інше, треба від/ більш ого/е числа/о відняти/розділити на менше число.

На цьому етапі корисні вправи, у яких треба дізнатися, на скільки одне число більше чи менше за інше та в скільки разів, тобто для однієї й тієї самої пари чисел (у тому числі й величин) ставляться два запитання.

Також діти розв’язують задачі, що містять відношення кратного порівняння: на збільшення або зменшення числа в кіль­ка разів та на кратне порівняння; складають і розв’язують оберне­ні задачі.

Право для безоплатного розміщення підручника в мережі Інтернет має

Міністерство освіти і науки України http://mon.gov.ua/ та Інститут модернізації змісту освіти https://imzo.gov.ua