Нова українська школа: методика навчання математики у 1-2 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2019

2.2.5. Додавання і віднімання чисел у межах 100 з переходом через розряд
2.2. Числа 11-100
Розділ 2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами

До вивчення усного додавання і віднімання з переходом че­рез розряд можливі два підходи: згідно з першим, випадки дода­вання і віднімання вивчаються паралельно, а за другим — послі­довно: спочатку вивчається додавання, а потім віднімання. Також існують відмінності в опрацюванні випадків додавання і відніман­ня в межах 100 з переходом через розряд: спочатку вивчаються часткові випадки і лише потім — загальний або спочатку роз­глядається загальний випадок і лише потім — часткові випадки.

Розглянемо паралельне вивчення арифметичних дій додаван­ня та віднімання в межах 100 з переходом через розряд, починаючи з часткових випадків.

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ У ВИПАДКУ, КОЛИ СУМА ОДИНИЦЬ ДОРІВНЮЄ 10 АБО ЯКЩО ЗМЕНШУВАНЕ КРУГЛЕ ЧИСЛО

Випадки виду: 52 + 8, 70 - 8

Теоретичною основою прийому додавання є правило дода­вання числа до суми.

Щоб додати число до суми, до­статньо це число додати до одного з доданків і до одержаного резуль­тату додати інший доданок.

Теоретичною основою віднімання є правило віднімання чис­ла від суми.

Щоб відняти число від суми, до­статньо це число відняти від одно­го з доданків і до одержаного ре­зультату додати інший доданок.

На підставі цих правил додаємо другий доданок до оди­ниць двоцифрового числа, яке подається у вигляді суми десят­ків та одиниць, і одержуємо 10; відняти аналогічно неможливо, тому що від одиниць зменшуваного не можна відняти одноцифровий від’ємник, тому зменшуване подають у вигляді суми зруч­них доданків, один із яких число 10, і вже з десяти віднімають від’ємник. Це обумовлює зміст підготовчої роботи до введення да­них випадків обчислення:

1) доповнення числа до 10: 7 + [ ] = 10;

2) подання числа у вигляді суми розрядних доданків: 34 = 30 + 4;

3) табличне додавання і віднімання в межах 10: 4 + 6 = 10, 10 - 7 = 3;

4) додавання на підставі розрядного складу числа: 60 + 2 = 62. Прийом, який застосовується при додаванні одноцифрово­го числа з переходом через розряд, не є для учнів новим, вони познайомились з ним, додаючи одноцифрове число до двоциф­рового без переходу через розряд. Тому актуалізуємо відомий учням спосіб додавання одноцифрового числа до двоцифрового без переходу через розряд і переносимо його на випадок додаван­ня одноцифрового числа до двоцифрового, якщо сума одиниць становить 10.

Як слід міркувати, щоб до 76 додати 3? Чи можна в такий спосіб до 76 додати 4?

Порівняйте суми. Що змінилося? Як зміна другого доданка впли­нула на розв'язання?

Первинне закріплення здійснюється під час розв’язування аналогічних завдань на картці з друкованою основою:

Знайдіть значення виразів.

Діти мають усвідомити відмінність нового випадку обчис­лення від вже відомого. З цією метою пропонується завдання.

На які дві групи можна розбити вирази? За якою ознакою? Знай­діть значення лише тих сум, які ви навчилися розв'язувати на цьо­му уроці.

При відніманні одноцифрового числа від двоцифрового з пе­реходом через розряд відомий учням спосіб міркування потребує удосконалення, оскільки ми не можемо від одиниць зменшувано­го відняти від’ємник.

З метою «розширення горизонтів» і підведення дітей до ви­падку, який розглядатиметься в подальшому, доцільне завдання.

На які дві групи можна розбити вирази? За якою ознакою? Знай­діть значення лише тих сум, які ви навчилися розв'язувати на цьо­му уроці.

Перед введенням нового випадку віднімання доцільно опра­цювати подання круглого числа у вигляді суми зручних доданків, де один із доданків число 10: 60 = 50 + 10.

Ознайомлення із даним випадком віднімання відбувається аналогічно.

Як можна міркувати, щоб від 39 відняти 8?

Як треба міркувати, щоб від 12 відняти 8? Чим відрізняється цей випадок обчислення від попереднього?

Коментар. У цьому випадку від одиниць зменшуваного не можна відняти одноцифровий від’ємник, тому зменшуване замі­нюють не сумою розрядних доданків, а сумою зручних доданків. Якщо від одиниць зменшуваного не можна відняти від’ємник, то зменшуване замінюють сумою зручних доданків, один із яких чис­ло 10.

Чи можна так само міркувати, щоб від 40 відняти 8? Чому?

Що змінилося? Як ця зміна вплинула на розв’язання?

Що спільне в обох випадках віднімання? Що спільне в роз­в’язанні?

Слід наголосити, що в обох випадках віднімання від оди­ниць зменшуваного не можна відняти одноцифровий від’ємник, тому зменшуване подають у вигляді суми зручних доданків, один із яких число 10, і від 10 віднімають одноцифровий від’ємник. Обидва випадки віднімання ґрунтуються на правилі віднімання числа від суми.

ПАМ’ЯТКА

Віднімання одноцифрового числа від круглого

Прийом віднімання числа від суми

1. Замінюю кругле число сумою зручних доданків, один із яких число 10.

2. Віднімаю від 10 одноцифровий від’ємник.

3. Додаю отриману різницю до десятків, що залишилися.

4. Записую (читаю) відповідь.

Первинне закріплення здійснюється під час роботи на карт­ках з друкованою основою:

З метою диференціювання нового випадку віднімання від вже вивчених пропонуємо учням завдання.

На які дві групи можна розбити вирази? За якою ознакою? З різ­ниць виключіть зайві, ті, що відрізняються способом обчислення. Знайдіть значення різниць, що залишилися.

На наступному етапі дія скорочується, міркування згорта­ються.

1. Як треба міркувати при додаванні? при відніманні? Виконайте розгорнений запис та поясніть вголос виконувані дії.

2. Знайдіть значення виразів, міркуючи скорочено.

Для формування обчислювальних навичок треба пропонува­ти дітям достатню кількість завдань на знаходження значень ви­разів. Спочатку завдання мають бути не однотипні, щоб дитина зверталася до розгорнених міркувань:

А потім можна пропонувати й однотипні завдання:

ВИПАДКИ ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ОДНОЦИФРОВОГО ЧИСЛА З ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ РОЗРЯД

Випадки виду: 54 + 8, 73 - 8.

Теоретичною основою даного випадку додавання є правило додавання числа до суми, а віднімання — правило віднімання чис­ла від суми.

На етапі підготовки слід актуалізувати:

1) подання двоцифрового числа у вигляді суми розрядних до­данків: 56 = 50 + 6;

2) табличне додавання одноцифрових чисел із переходом через розряд: 7 + 4 = 11;

3) додавання до круглого числа двоцифрового числа без пере­ходу через розряд: 40 + 14 = 54;

4) табличне віднімання з переходом через розряд: 14 - 5 = 9;

5) додавання на підставі розрядного складу числа: 50 + 5 = 45.

Ознайомлення із випадком додавання одноцифрового числа з переходом через розряд можна провести двома способами:

1) зіставлення нового випадку з розглянутим вище: 76 + 4 та 76 + 5;

2) зіставлення нового випадку з випадком додавання одноциф­рового числа без переходу через розряд: 76 + 3, 76 + 5.

Розглянемо першій підхід.

Знайдіть значення сум: 76 + 4 та 76 + 5. Як будемо міркувати при обчисленні першої суми? Чи можна так само міркувати при обчисленні другої суми? Прокоментуйте розв'язання.

Випадки додавання, коли сума одиниць першого та другого доданків більша за 10, вважаються випадками додавання з пере­ходом через розряд.

Порівняйте суми. Чим вони відрізняються? Що змінилося? Як ця зміна вплинула на розв’язання? Що спільне в розв’язаннях? Чи можна при додаванні з переходом через розряд міркувати так само, як і у випадках додавання без переходу через розряд?

Розглянемо другий підхід.

Знайдіть значення сум.

Як будемо міркувати при знаходженні значення першої суми? Чи можна так само міркувати при знаходженні значення другої суми? [Так, число 76 треба подати у вигляді суми десятків та одиниць. До одиниць додати другий доданок і отриманий ре­зультат додати до десятків.] Порівняйте розв’язання. Чим вони відрізняються? [У другому випадку сума одиниць першого і дру­гого доданків дорівнює 11, і до 70 треба вже додавати не 9, а 11, що трохи важче. У результаті ми отримали число наступного роз­ряду.]

У цьому випадку ми перейшли через розряд. Отже, випадки додавання, коли сума одиниць першого доданка і другого доданка більша або дорівнює 10, називають випадками з переходом через розряд.

Спосіб міркування для знаходження значення обох сум од­наковий: двоцифровий доданок подають у вигляді суми десятків та одиниць, другий доданок додають до одиниць і отриманий ре­зультат додають до десятків.

Перед введенням нового випадку віднімання треба опрацю­вати подання двоцифрового числа у вигляді суми зручних додан­ків, у якій один із доданків — десятки, але на один десяток мен­ше, а другий — одиниці та ще один десяток: 73 = 60 + 13.

Ознайомлення із випадком віднімання одноцифрового числа від двоцифрового з переходом через розряд також можна провести двома способами:

1) зіставлення нового випадку з розглянутим вище: 50 - 8 та 53 - 8;

2) зіставлення нового випадку з випадком віднімання одно­цифрового числа без переходу через розряд: 76 - 3, 76 - 9. Розглянемо першій підхід.

Знайдіть значення різниць: 50 - 8 та 53 - 8. Порівняйте різниці. Чим відрізняються зменшувані? Як міркували в першому випад­ку? Чи можна так само міркувати в другому випадку? Чи можна в другому випадку зменшуване подати у вигляді суми зручних доданків? Яких? Від якого числа зручно відняти 8? Як будемо мір­кувати?

Випадки віднімання, коли від одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від’ємника, вважають випадками відні­мання з переходом через розряд.

Учні порівнюють міркування в обох випадках, визначають спільне й формулюють ООД.

ПАМ’ЯТКА

Віднімання одноцифрового числа від двоцифрового з переходом через розряд

Прийом на основі правила віднімання числа від суми

1. Подаю зменшуване у вигляді суми зручних доданків, де перший доданок десятки, а другий — одиниці + 10.

2. Віднімаю від’ємник від другого доданка.

3. Додаю до першого доданка отриманий результат.

4. Записую (читаю) відповідь.

Первинне закріплення здійснюється під час роботи на карт­ках з друкованою основою.

На наступному етапі міркування скорочуються.

У подальшому навчанні розглянуті випадки додаван­ня і віднімання одноцифрового числа з переходом через розряд розв’язуються іншим способом — частинами. Теоретичною осно­вою цього прийому обчислення є правило додавання (віднімання) суми до числа.

На етапі актуалізації повторюємо випадки табличного дода­вання і віднімання з переходом через розряд, застосовуючи спосіб додавання і віднімання частинами.

Повторюємо склад одноцифрових чисел: 1) доповнюємо число до 10: 6 + [ ] = 10; 2) доповнюємо число до найближчого круглого числа: 67 + [ ] = 70; 3) зменшуємо число до найближчого круглого числа: 82 — [ ] = 80.

Актуалізуємо випадки додавання, коли сума одиниць дорів­нює 10, та випадки віднімання, якщо зменшуване — кругле чис­ло: 54 + 6 та 60-8; додавання та віднімання на підставі розрядного складу числа: 30 + 5, 45 - 5.

Ознайомлення здійснюється через зіставлення випадків та­бличного додавання з переходом через розряд та випадків дода­вання одноцифрового числа до двоцифрового з переходом через розряд способом додавання частинами; випадків табличного відні­мання з переходом через розряд та випадків віднімання одноциф­рового числа від двоцифрового з переходом через розряд способом віднімання частинами:

Порівняйте вирази в кожному рядку. Що змінилося? Порів­няйте розв’язання. Що спільне в розв’язаннях? Як зміна першого доданка або зменшуваного вплинула на розв’язання?

Діти доходять висновку, що додавання одноцифрового числа до двоцифрового з переходом через розряд можна здійснити части­нами, причому міркують так само, як і при додаванні одноцифрових чисел із переходом через розряд. Аналогічного висновку учні доходять й про віднімання частинами.

Первинне закріплення здійснюється при виконанні завдань на картці з друкованою основою.

Оскільки спосіб дії дітям добре знайомий, можна скоротити запис:

Наступним кроком є обчислення двома способами:

Коментар.

1-й спосіб — на підставі правила додавання числа до суми.

1) Перший доданок 75 подаємо у вигляді суми десятків та оди­ниць: 70 + 5.

2) До суми 70 та 5 додаватимемо 6; 6 додаватимемо до 5, одер­жимо 11.

3) До 70 додамо одержаний результат 11, буде 81.

2-й спосіб — частинами. Теоретичною основою є правило до­давання суми до числа.

1) Другий доданок 6 подаємо у вигляді суми зручних доданків так, щоб 75 доповнити до круглого: 6 = 5 + 1.

2) До 75 спочатку додаємо 5, а потім 1. До 75 додаємо 5, буде 80.

3) До 80 додаємо решту одиниць: 80 + 1 = 81.

Аналогічно виконується віднімання.

1-й спосіб — віднімання на підставі правила віднімання чис­ла від суми.

1) Зменшуване 82 подаємо у вигляді суми зручних доданків, де перший доданок десятки, але на один десяток менше, а дру­гий — одиниці та ще один десяток: 82 = 70 + 12.

2) Від 12 відніматимемо 7: 12 - 7 = 5.

3) До 70 додамо одержаний результат: 70 + 5 = 75.

2-й спосіб — частинами. Теоретичною основою є правило віднімання суми від числа.

1) Від’ємник 7 подаємо у вигляді суми зручних доданків так, щоб зменшуване 82 зменшити до найближчого круглого числа 80: 7 = 2 + 5.

2) Від 82 віднімемо спочатку 2, а потім ще 5. 82 - 2 = 80.

3) Від 80 віднімемо ще 5, одержимо 75.

З методикою перенесення прийому округлення в ситуацію додавання та віднімання одноцифрового числа до/від двоцифрового з переходом через розряд, а також з алгоритмами обчислення різними способами, можна ознайомитися на сайті interactive.ranok.com.ua.

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДВОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ З ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ РОЗРЯД ЧАСТИНАМИ

Існує два способи додавання двоцифрових чисел із перехо­дом через розряд частинами:

1) один із доданків замінюється сумою десятків та одиниць;

2) один із доданків замінюється сумою зручних доданків.

Що стосується першого способу, то він виконується так само, як і для випадків без переходу через розряд. Спочатку до­цільно познайомити учнів з другим способом на підставі аналогії із додаванням частинами в межах 20.

На етапі актуалізації опорних знань учні:

1) доповнюють двоцифрові числа до круглих (37 + 3 = 40, 42 + 8 = 50);

2) додають до круглого числа двоцифрове число (60 + 12), від­німають від круглого числа одноцифрове число (40 - 7);

3) подають двоцифрове число у вигляді суми двоцифрового та одноцифрового числа: 27 = 4 + [ ];

4) доповнюють двоцифрове число до найближчого круглого числа: 62 + [ ] = [ ].

Пригадуємо, як можна міркувати при обчисленні суми чи­сел 7 та 6. Учитель записує на дошці спосіб обчислення части­нами.

На етапі ознайомлення перед учнями ставиться проблемне запитання: «Чи можна застосувати цей спосіб обчислення для зна­ходження значення суми чисел 37 і 6? 37 та 26?».

Порівняйте суми. Що змінюється? Як кожна зміна впли­нула на розв’язання? Що спільне в розв’язаннях? Як міркували в усіх цих випадках? [В усіх розв’язаннях ми подавали другий до­данок у вигляді зручних доданків; доповнювали перший доданок до круглого числа і додавали до круглого числа іншу частину дру­гого доданка.]

ПАМ’ЯТКА

Додавання двоцифрових чисел із переходом через розряд

Прийом обчислення частинами

1. Подаю другий доданок у вигляді суми зручних доданків.

2. Доповнюю перший доданок до круглого числа.

3. Додаю до круглого числа іншу частину другого доданка.

4. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад:

З метою підготовки учнів до введення віднімання двоцифро­вих чисел частинами доцільно опрацювати зменшення двоцифро­вого числа до круглого. Наприклад: 62 — 4[ ] = 20.

Ознайомлення проводимо аналогічно, зіставляючи відомий випадок табличного віднімання з переходом через розряд з новим випадком — віднімання двоцифрового числа від двоцифрового

з переходом через розряд частинами:

Як можна міркувати при віднімання від 12 числа 5? А як знайти різницю чисел 42 та 5 частинами? Чи можна так само мір­кувати при зменшенні 42 на 25?

Що змінилося? Як кожна зміна вплинула на розв’язання?

Що спільне в розв’язаннях? Як слід міркувати при відні­манні частинами?

ПАМ’ЯТКА

Віднімання двоцифрового числа від двоцифрового

Спосіб віднімання частинами

1. Подаю від’ємник у вигляді суми зручних доданків.

2. Зменшую двоцифрове число до круглого.

3. Віднімаю від круглого числа решту одиниць.

4. Записую (читаю) відповідь.

Наприклад:

Первинне закріплення додавання і віднімання двоцифрових чисел із переходом через розряд частинами відбувається за допо­могою завдань на картках із друкованою основою.

Треба запропонувати учням достатню кількість завдань на обчислення. Поступово дія почне скорочуватися. Учень усі кроки промовлятиме про себе, а писатиме лише відповідь. Кульмінацією є миттєве виконання дії у розумовому плані.

При додаванні і відніманні двоцифрових чисел без перехо­ду через розряд учні виконували додавання і віднімання частина­ми, замінюючи другий доданок або від’ємник сумою розрядних доданків. Цей спосіб міркування слід перенести й на випадки об­числення з переходом через розряд.

На етапі актуалізації слід повторити:

1) подання числа у вигляді суми розрядних доданків: 67 = 60 + 7;

2) додавання і віднімання частинами двоцифрових чисел без переходу через розряд.

Ознайомлення відбувається через перенесення способу обчис­лення для випадків без переходу через розряд на випадки з переходом.

Порівняйте вирази в кожному стовпчику. Що змінилося? Як ця зміна вплинула на розв’язання? Що спільне в розв’язаннях? Як треба міркувати при додаванні або відніманні частинами?

ПАМ’ЯТКА

Додавання і віднімання двоцифрових чисел

Спосіб додавання і віднімання частинами

1. Замінюю другий доданок (від’ємник) сумою десятків та одиниць.

2. Віднімаю десятки.

3. Віднімаю від отриманого результату одиниці.

4. Записую (читаю) відповідь.

Відтепер учні додають та віднімають двоцифрові числа з пере­ходом через розряд частинами двома способами: замінюючи другий доданок або від’ємник сумою зручних або сумою розрядних доданків.

ПОРОЗРЯДНЕ ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ

До цього моменту учні навчилися додавати і віднімати двоцифрові числа частинами, замінюючи другий доданок або від’ємник сумою розрядних доданків, і вміють порозрядно обчис­лювати суму та різницю двоцифрових чисел без переходу через розряд. Таким чином, існує необхідне підґрунтя для перенесення способу порозрядного додавання і віднімання на обчислення з дво­цифровими числами з переходом через розряд.

Зміст підготовчої роботи має включати такі запитання:

1) порозрядне додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через розряд;

2) додавання у випадку чотирьох доданків зручним способом: 20 + 6 + 30 + 8;

3) подання двоцифрового числа у вигляді суми розрядних до­данків: 67 = 60 + 7;

4) подання двоцифрового числа у вигляді суми зручних додан­ків: 42 = 30 + 12.

Основною ідеєю методики ознайомлення є зіставлення ви­падків обчислення без переходу через розряд і нових випадків додавання або віднімання двоцифрових чисел із переходом через розряд.

Порівняйте доданки в сумах. Що змінилося? Як ця зміна впливає на розв'язання?

З’ясовуємо, що спільне в розв’язаннях. Діти доходять ви­сновку, що порозрядне додавання виконується так само, як і у ви­падках без переходу через розряд, і формулюють пам’ятку.

ПАМ’ЯТКА

Додавання двоцифрових чисел із переходом через розряд

Прийом поразрядного додавання

1. Подаю перший доданок у вигляді суми десятків і оди­ниць.

2. Подаю другий доданок у вигляді суми десятків і оди­ниць.

3. Додаю десятки до десятків.

4. Додаю одиниці до одиниць.

5. Додаю отримані суми.

6. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад:

Треба зазначити, що існує й інший спосіб введення пороз- рядного додавання двоцифрових чисел без переходу через розряд. Порівнюємо такі випадки:

У цих сумах однакові перші доданки; суми відрізняють­ся другими доданками: у першій — одноцифрове число, а в дру­гій — двоцифрове. Ця відмінність вплинула на розв’язання таким чином. Спільне: в обох випадках одиниці додаються до одиниць. Відмінне: у другому випадку обидва доданки подаються у вигля­ді суми десятків та одиниць; у першому випадку — лише перший доданок, тому що другий доданок — одиниці; у другому випадку десятки додають до десятків, а в першому — другий доданок не містить десятків; у другому випадку додаються отримані резуль­тати, а в першому — число, отримане після додавання одиниць, додається до десятків.

Як від 56 відняти 24 способом порозрядного віднімання? Порів­няйте другу різницю з першою. Що змінилося? Як ця зміна впли­не на розв'язання?

Учні з’ясовують, що у другому випадку від одиниць змен­шуваного не можна відняти одиниці від’ємника, тому зменшуване треба подати не у вигляді суми розрядних доданків, а замінити су­мою зручних доданків.

Треба зазначити, що можливий інший методичний підхід через зіставлення випадку віднімання одноцифрового числа із пе­реходом через розряд і віднімання двоцифрового числа.

Як від 56 відняти 7? Порівняйте другу різницю з першою. Що змі­нилося? Як ця зміна вплине на розв'язання?

Аналізуючи виконувані дії, учні формулюють ООД.

ПАМ’ЯТКА

Віднімання двоцифрових чисел із переходом через розряд

Прийом поразрядного віднімання

1. Подаю зменшуване у вигляді суми зручних доданків (другий доданок: 10 +одиниці зменшуваного).

2. Подаю від’ємник у вигляді суми десятків і одиниць.

3. Віднімаю десятки.

4. Віднімаю одиниці.

5. Додаю отримані різниці.

6. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад:

Зіставляючи порозрядне віднімання двоцифрових чисел без переходу та з переходом через розряд, учні доходять висновку, що коли від одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від’ємника, то зменшуване подають у вигляді суми зручних до­данків, а далі міркують так само, як і у випадках віднімання без переходу через розряд. Узагальнюємо виконувані дії і формулює­мо пам’ятку.

ПАМ’ЯТКА

Прийом порозрядного віднімання

1. Перевіряю, чи можна від одиниць зменшуваного відняти одиниці від’ємника.

2.

3. Подаю від’ємник у вигляді суми десятків та одиниць.

4. Віднімаю десятки.

5. Віднімаю одиниці.

6. Додаю отримані різниці.

7. Читаю (записую) результат.

Наприклад:

Первинне закріплення здійснюється за допомогою завдань на картках з друкованою основою.

У міру того як учні засвоюють матеріал, дія поступово ско­рочується, і можна пропонувати учням дещо інші картки з друко­ваною основою.

З метою формування обчислювальних навичок слід пропону­вати учням достатню кількість завдань на порозрядне додавання і віднімання з переходом через розряд.

Пропонуємо учням здійснювати обчислення кількома спосо­бами:

Про перенесення прийому округлення в нову навчальну ситуацію можна прочитати на сайті interactive.ranok.com.ua.