Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

5.2. Вирази зі змінною, рівняння, нерівності зі змінною в 3-4 класах
Розділ 5. Методика алгебраїчної пропедевтики в 3-4 класах

ВИРАЗИ ЗІ ЗМІННОЮ (БУКВЕНІ ВИРАЗИ)

Якщо вираз, крім чисел і знаків арифметичних дій, складається ще й із букв — це вираз зі змінною, або буквений вираз.

У процесі виконання завдань на знаходження значень виразів зі змінною в учнів формується розуміння змінної як букви у виразі, що може набувати деякої множини значень. В учнів має сформуватися чітке уявлення про те, що вираз зі змінною — буквою — не має певного значення, воно залежить від того, якого значення надають букві — змінній.

Вирази зі змінною було введено в 2 класі. Тому на початку навчального року доцільно актуалізувати знання учнів про вирази зі змінною. Докладніше див. за посиланням.

У 3 класі продовжується робота над виразами з однією змінною, а також вводяться вирази, які містять дві змінні.

Спочатку учні ознайомлюються з виразами зі змінною, які містять дві однакові змінні, і вчаться знаходити їхнє числове значення при заданому значенні змінної.

1. Знайдіть значення виразу зі змінною: a + 6 • a, якщо a = 8.

Знайти значення цього виразу можливо декількома способами.

І спосіб

Підставити значення змінної і знайти значення виразу: a + 6 • a, якщо a = 8, одержуємо: 8 + 6 • 8 = 8 + 48 = 56.

У подальшому навчанні можна використовувати ще й інший спосіб знаходження значення виразу зі змінною.

ІІ спосіб

Виконати тотожні перетворення виразу:

✵ переставити місцями доданки: 6 • a + a;

✵ переставити місцями множники: a • 6 + a;

✵ використати конкретний зміст арифметичної дії множення: a • 7;

✵ підставити значення змінної та знайти значення виразу: 8 • 7 = 56.

Зазначимо, що цей спосіб можна запропонувати дітям під час вивчення таблиці множення числа 8. Тобто можна ще раз повернутися до вже розв’язаного виразу й показати інший спосіб розв’язування.

2. Знайдіть значення виразу: a + a + a + a = a • 4, якщо a = 7.

Учні вперше стикаються з тим, що змінна може бути однаковим доданком. Суму однакових доданків можна замінити добутком. Отже, спочатку виконано тотожне перетворення виразу зі змінною, а потім пропонується знайти значення одержаного виразу зі змінною. Це означає, що в подальших завданнях на знаходження значень виразів зі змінною, якщо можливо, спочатку слід виконувати тотожні перетворення, які спрощують вираз, а тільки потім знаходити числове значення виразу зі змінною при заданому значенні змінної.

Далі пропонуються завдання на знаходження значення виразу зі змінною, який містить дві різні змінні.

При вивченні множення та ділення в межах 1000 змінні широко застосовують для узагальнення правил множення та ділення з числами 1 і 0: пропонується знайти значення виразу зі змінною при заданому значенні змінної, використовуючи попередні правила, тобто виконуючи тотожні перетворення виразів зі змінною:

1 • a, якщо a = 8 — одержуємо 1 • a = a = 8.

Загалом, у 3 класі новим є використання різних букв латинського алфавіту для позначення змінної; розгляд виразів, у яких змінна повторюється, та виразів із двома змінними.

Також учні ознайомлюються із задачами, які містять буквене дане, та вчаться складати буквений вираз до задачі. У початкових класах вміння розв’язувати ці задачі не входить до обов’язкового мінімуму, тому в тематичні роботи такі завдання не включаються. Задачі з буквеними даними за математичним змістом для учнів не нові. Такі задачі вони вже розв’язували, але з числовими даними. Однією з особливостей оформлення розв’язку задач із буквеними даними є те, що короткий запис варто поєднувати з розв’язанням задачі. Детальніше див. за посиланням.

ПРОСТІ РІВНЯННЯ

У 3 класі вводяться поняття: «рівняння», «розв’язати рівняння». Учні вчаться розв’язувати прості рівняння на знаходження невідомого компонента арифметичних дій додавання і віднімання, множення і ділення двома способами: підбором та на основі взаємозв’язку між результатом і компонентами арифметичної дії; вчаться доводити, що одержане число є розв’язком рівняння.

Ознайомлення з поняттям «рівняння» відбувається шляхом виконання системи завдань.

Знайдіть значення виразу зі змінною: x + 2 , якщо x = 4.

Учні виконують це завдання усно, а вчитель оформлює розв’язання на дошці.

Розв’язання:

Якщо x = 4, то x + 2 = 4 + 2 = 6.

Після цього вчитель запитує, при якому значенні змінної x вираз зі змінною має значення 6.

Зважаючи на попереднє завдання, багато хто з учнів вже може відповісти на це запитання. Але нас цікавить насамперед, як варто міркувати під час виконання цього завдання.

Звичайно, можна підбирати числа і підставляти їх замість змінної у вираз; знаходити значення виразу, а потім порівнювати кожне з одержаних чисел із числом 6. Якщо одержимо істинну рівність, то це шукане значення змінної, тобто розв’язок виразу зі змінною. Однак такі міркування дуже довгі. Міркуємо, як відразу одержати розв’язок.

Записуємо: x + 2 = 6. Запитуємо в учнів, що ми записали; чим відрізняється ця рівність від числових рівностей; чим відрізняється цей запис від буквеного виразу; що в них спільне.

Під час розв’язування рівняння будемо міркувати так.

Прочитайте рівність. Що невідомо? Як знайти невідомий доданок? Виконайте цю арифметичну дію. [x = 6 - 2, x = 4.] Перевіримо, чи буде рівність істинною при x = 4. Для цього у вираз зі змінною замість змінної підставляємо знайдене числове значення змінної x. [4 + 2] Значення цього виразу повинне дорівнювати числу 6. Знаходимо значення виразу зі змінною при x = 4. [4 + 2 = 6] Порівнюємо знайдене значення з числом, що стоїть праворуч від знака рівності. [6 = 6 — одержали істинну рівність.]

Робимо висновок: число 4 є розв’язком цього рівняння, тому що при підставленні одержаного значення змінної ми одержуємо істинну рівність.

Отже, ми розв’язали рівняння.

Розв’язок рівняння потрібно оформлювати так.

x + 2 = 6

x = 6 - 2

x = 4

4 + 2 = 6

6 = 6

Відповідь: x = 4

Поясніть, чому число 4 є розв’язком рівняння. Чим відрізняється це завдання від попереднього? [У попередньому завданні потрібно було знайти значення виразу при заданому значенні змінної, а в цьому завданні ми знаходили значення змінної при заданому значенні виразу.]

Скільки розв’язків може мати вираз зі змінною? [Багато, для кожного значення змінної.] Скільки розв’язків може мати рівняння? [Тільки одне, тому що тільки при єдиному значенні змінної рівність буде істинною.]

Рівняння — це рівність зі змінною — буквою.

Розв’язати рівняння — це означає знайти таке числове значення змінної, при якому рівність буде істинною.

Поняття «рівняння» має дві істотні ознаки:

1) це рівність;

2) містить змінну.

З метою закріплення одержаних учнями знань пропонуємо їм відповісти на запитання.

✵ Наведіть приклади числових виразів. Як знайти їх значення?

✵ Наведіть приклади числових рівностей. Що можна про них сказати? Вони істинні чи хибні?

✵ Наведіть приклади виразів зі змінною. Що потрібно задати, щоб знайти їх значення? Як знайти значення виразів зі змінною?

✵ Наведіть приклади рівностей, що містять змінну. Як вони називаються?

✵ Що означає розв’язати рівняння?

Перші рівняння, з якими ознайомлюються учні, називаються простими. До простих рівнянь належать рівняння на знаходження невідомого доданка, зменшуваного, від’ємника, множника, діленого та дільника.

Усі ці рівняння розв’язують способом на підставі взаємозв’язку між результатом та компонентами арифметичних дій за допомогою пам’ятки.

ПАМ’ЯТКА

Розв’язування простих рівнянь

1. Читаю рівняння з назвою компонентів арифметичної дії.

2. Визначаю, який компонент невідомий.

3. Згадую, як знайти невідомий компонент.

4. Виконую арифметичні дії та визначаю невідомий компонент.

5. Виконую перевірку: підставляю знайдене значення замість змінної; визначаю, чи буде при цьому рівність істинною.

6. Роблю висновок про корінь (розв’язок) рівняння.

7. Записую відповідь.

Але деякі рівняння пропонується учням розв’язати й способом підбору: у рівняння замість змінної почергово підставляються запропоновані значення; значення, при якому одержимо істинну числову рівність, і є розв’язком рівняння.

Додатково можна ознайомити учнів зі способом розв’язування рівнянь на основі властивостей рівностей. Розглянемо кілька прикладів.

x - 7 = 3

x - 7 = 10 - 7

x = 10

Відповідь: 10

Наводимо спосіб міркування під час розв’язування цього рівняння способом на основі властивостей рівностей.

У лівій частині рівняння записана різниця з від’ємником 7. Подамо праву частину рівняння у вигляді різниці з від’ємником 7. Від якого числа потрібно відняти 7, щоб одержати 3? [Це число 10.]

Порівнюємо дві різниці: Чим вони схожі? [У них однакові від’ємники.] Чим вони відрізняються? [Зменшуваними.] Зробіть узагальнювальний висновок. [Дві різниці з однаковими від’ємниками рівні тоді й тільки тоді, коли й зменшувані рівні.] Запишіть відповідь.

Розв’язуючи аналогічні рівняння й аналізуючи їх, учні узагальнюють спосіб розв’язування рівнянь на основі властивостей рівностей.

Запитуємо в учнів, коли можна застосовувати цей спосіб [якщо і праворуч, і ліворуч записані однакові математичні вирази, які містять однаковий компонент]; у чому він полягає [потрібно порівняти математичні вирази: якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент, стоїть знак рівності, то й другий компонент у них теж однаковий].

Розглянемо ще один приклад рівняння, яке так само можна розв’язати зазначеним способом.

40 + y = 44

40 + y = 40 + 4

y = 4

Відповідь: у = 4

Наводимо спосіб міркування під час розв’язування цього рівняння способом на основі властивостей рівностей.

Прочитайте ліву частину рівняння. Прочитайте праву частину рівняння. Що записано в лівій частині? [Сума чисел 40 та у.] Що записано в правій частині? [Число 44.] Що повинно бути в правій частині для того, щоб розв’язати це рівняння способом на основі властивостей рівностей? [Потрібно, щоб праворуч була сума.] Чи будь-яка сума нас задовольнить? [Ні. Потрібно, щоб була сума, що міститиме доданок 40.] Замініть праву частину таким самим виразом із заданим числовим компонентом. Замініть число 44 такою сумою. [44 = 40 + 4 ]

Отже, одержуємо рівняння: 40 + y = 40 + 4.

Порівняйте вирази, записані ліворуч та праворуч. Зробіть узагальнювальний висновок. [Праворуч та ліворуч записані суми, які містять такий самий доданок — число 40; між цими сумами стоїть знак рівності, тому інший доданок також однаковий. Отже, y = 4.]

Запишіть відповідь.

Узагальнюємо міркування і формулюємо пам’ятку.

ПАМ’ЯТКА

Розв’язування простих рівнянь

Спосіб на основі властивостей рівностей

1. Читаю вираз, поданий у лівій частині рівняння. Визначаю відомий компонент.

2. Замінюю число у правій частині рівняння таким самим виразом, із тим самим відомим компонентом.

3. Зіставляю математичні вирази, записані у правій і лівій частинах рівняння. Якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент, стоїть знак рівності, то й інший компонент у них також однаковий.

4. Записую відповідь.

Наприклад:

Отже, у 3 класі рівняння розв’язуються трьома способами:

1) способом підбору;

2) способом на основі взаємозв’язку між результатом та компонентами арифметичних дій;

3) способом на основі властивостей рівностей.

Наведемо приклади.

УСКЛАДНЕНІ РІВНЯННЯ

У 3-4 класах над простими рівняннями працюємо згідно з відомими алгоритмами.

Після вивчення простих рівнянь вводяться рівняння складнішої структури.

✵ І тип — рівняння, у яких праворуч записано числовий вираз: x + 5 = 42 - 7.

✵ ІІ тип — рівняння, у яких один із компонентів поданий числовим виразом: x - (12 - 7) = 37.

Ці рівняння розв’язуються за допомогою пам’ятки.

ПАМ’ЯТКА

Розв’язування ускладнених рівнянь

Рівняння, у яких один із компонентів — числовий вираз

Спосіб зведення до простого рівняння

1. З’ясовую, чим відрізняється подане рівняння від простого.

2. Замінюю числовий вираз його значенням.

3. Розв’язую одержане просте рівняння.

4. Виконую перевірку.

Зазначимо, що в 4 класі пропонуються рівняння, для розв’язування яких правило знаходження невідомого компонента застосовується двічі — це рівняння, у яких невідоме входить до складу одного з компонентів.

✵ III тип — рівняння, у яких невідоме входить до складу одного з компонентів: (x - 13) + 40 = 65.

Ці рівняння розв’язуються за допомогою пам’ятки.

ПАМ’ЯТКА

Розв’язування ускладнених рівнянь

Рівняння, у яких один із компонентів — вираз зі змінною

Спосіб зведення до простого рівняння

1. Визначаю, яка дія у виразі виконується останньою. Згадую, як називаються компоненти цієї арифметичної дії.

2. Визначаю, до складу якого компонента входить змінна, — це невідомий компонент арифметичної дії.

3. Згадую правило знаходження невідомого компонента арифметичної дії. Знаходжу невідомий компонент.

4. Розв’язую просте рівняння.

5. Виконую перевірку.

Наприклад:

(n - 13) + 40 = 65

n - 13 = 65 - 40

n - 13 = 25

n = 25 + 13

n = 38

(38 -13) + 40 = 65

25 + 40 = 65

65 = 65

Відповідь: x = 38

Розглянемо докладно методику ознайомлення учнів з ускладненими рівняннями.

Учням пропонується розв’язати рівняння 15 - x = 10.

Запитуємо учнів, як називається вираз, який записаний ліворуч [різниця]; що невідомо [від’ємник]; як знайти невідомий від’ємник [щоб знайти невідомий від’ємник, слід від зменшуваного відняти значення різниці]. Пропонуємо учням виконати цю арифметичну дію [x = 15 - 10]; записати відповідь [x = 5]; виконати перевірку. [15 - 5 = 10; 10 = 10. Відповідь: х = 5.]

Поруч із цим рівнянням пропонуємо записати інше:

15 - x = 10  (9 + 6) - x = 10.

Просимо учнів прочитати це рівняння. [Якщо від суми чисел 9 і 6 відняти x, то одержимо 10.] Запитуємо, чим схожі ці рівняння [в обох рівняннях ліворуч записана різниця, в обох рівняннях невідомим є від’ємник, в обох рівняннях праворуч одне й те саме число 10]; чим вони відрізняються [у першому рівнянні зменшуване подано числом 15, а в другому виражено сумою чисел 9 і 6]; чи можна друге рівняння звести до вигляду першого [можна, якщо знайти значення виразу, який записано в зменшуваному]. Просимо знайти значення цього виразу. [9 + 6 = 15 — одержуємо: 15 - x = 10.] Повідомляємо, що це рівняння ми вже розв’язали.

Запитуємо, який можна зробити висновок щодо розв’язування рівнянь, у яких один із компонентів поданий числовим виразом. [Це рівняння слід звести до простого рівняння, знайшовши значення виразу.] Просимо записати розв’язання.

(9 + 6) - x = 10

15 - x = 10

x = 15 - 10

x = 5

(9 + 6) - 5 = 10

15 - 5 = 10

10 = 10

Відповідь: x= 5

Після виконання цього завдання пропонуємо учням розглянути іншу пару рівнянь: a - 16 = 23, a - (30 - 14) = 23. Запитуємо, чим схожі ці рівняння; чим вони відрізняються. [Схожі: в обох рівняннях ліворуч записана різниця, в обох невідомим є зменшуване. Відрізняються: у першому рівнянні від’ємник — число, а в другому від’ємник виражений різницею чисел 30 і 14.] Запитуємо, як звести друге рівняння до вигляду першого. [Потрібно знайти різницю чисел 30 і 14, яка записана у від’ємнику.] Пропонуємо учням розв’язати друге рівняння.

a - (30 - 14) = 23

a - 16 = 23

a = 23 + 16

a = 39

39 - (30 - 14) = 23

39 - 16 = 23

23 = 23

Відповідь: a = 39

Після цього пропонуємо учням уважно розглянути подані рівняння і визначити, який компонент є невідомим у кожному з них.

(40 - 25) + x = 33  b - 76 = 90 - 76  (52 - 11) - a = 18

[Невідомо: у першому рівнянні — другий доданок, у другому — зменшуване, у третьому — від’ємник.]

Просимо прочитати перше рівняння. [Перший доданок виражено різницею чисел 40 і 25, другий доданок — невідомий, сума — число 33.] Пропонуємо розв’язати це рівняння за пам’яткою.

1. З’ясовую, чим відрізняється подане рівняння від простого.

[Один із компонентів (перший доданок) записано виразом — це різниця чисел 40 і 25.]

2. Замінюю числовий вираз його значенням. Одержую: 15 + x = 33.

3. Розв’язую одержане просте рівняння: x = 33 - 15; x = 18 .

4. Виконую перевірку.

(40 - 25) + 18 = 33

15 + 18 = 33

33 = 33

Відповідь: х = 18

Запитуємо, яке з рівнянь, що залишилися, схоже на перше рівняння; у якому рівнянні один із компонентів теж подано виразом. [Третє рівняння.] Пропонуємо учням розв’язати його, використовуючи пам’ятку.

Пропонуємо учням уважно розглянути друге рівняння; порівняти його з першим та третім рівняннями. Запитуємо, чим це рівняння від них відрізняється. [У першому та третьому рівняннях виразом поданий один із компонентів арифметичної дії, записаної у лівій частині рівняння, а в другому — у правій частині.] Запитуємо, що слід зробити в першу чергу, щоб розв’язати перше та третє рівняння [потрібно знайти значення виразу]; чи можливо так само розв’язати друге рівняння [можливо; якщо знайдемо значення виразу, який записано у правій частині, то одержимо просте рівняння]. Пропонуємо розв’язати друге рівняння.

На наступних уроках можна повернутися до другого рівняння й обговорити ще один спосіб його розв’язування. Міркуємо так. Праворуч і ліворуч записані різниці чисел: b - 76 та 90 - 76 . Порівнюємо вирази: у них однакові від’ємники; між цими різницями стоїть знак «=», тому вони рівні. Якщо різниці рівні і в них однакові від’ємники, значить, у них рівні й зменшувані, тобто b = 90.

На підставі виконання аналогічних завдань і їх аналізу учні узагальнюють логічний спосіб розв’язування рівнянь. Запитуємо, коли його можна застосовувати [якщо і праворуч, і ліворуч записані однакові математичні вирази, які містять однаковий компонент]; у чому він полягає [потрібно порівняти математичні вирази: якщо між однаковими математичними виразами, які містять однаковий компонент, стоїть знак рівності, то й другий компонент у них теж однаковий].

Зазначимо, що в 3 класі було запропоновано спосіб розв’язування простих рівнянь, який полягав у заміні правої частини рівняння таким самим виразом, який записаний у лівій частині, з однаковим одним із компонентів.

x - 5 = 90

x - 5 = 95 - 5

x = 95

Подаємо спосіб міркування під час розв’язування цього рівняння.

Що записано в лівій частині рівняння? [Різниця з від’ємником 5.] Подайте праву частину рівняння у вигляді різниці з від’ємником 5. [90 = 95 - 5] Порівняйте дві різниці. [У цих різницях однакові від’ємники; оскільки між цими різницями стоїть знак рівності й від’ємники у них однакові, то й зменшувані мають бути однаковими.] Зробіть висновок. [Дві різниці з однаковими від’ємниками рівні тоді й тільки тоді, коли зменшувані рівні.]

У цьому випадку перевірка не виконується. Відразу записуємо відповідь. Відповідь: x = 95.

Розглянемо методику введення рівнянь, у яких один із компонентів — вираз зі змінною.

Пропонуємо учням розв’язати рівняння.

(51 : 3) - y = 9

17 - y = 9

y = 17 - 9

y = 8

(51 : 3) - 8 = 9

17 - 8 = 9

9 = 9

Відповідь: y = 8

Розглянемо міркування при розв’язуванні цього рівняння. Це рівняння відрізняється від простого тим, що в ньому зменшуване подано не числом, а числовим виразом — часткою чисел 51 і 3. Щоб звести це рівняння до вигляду простого, потрібно знайти значення частки цих чисел, — буде 17. Одержали просте рівняння: 17 - y = 9 . Щоб знайти невідомий від’ємник, потрібно від зменшуваного відняти різницю, — маємо 8. Виконуємо перевірку: підставляємо значення змінної в подане рівняння. Одержуємо істинну рівність.

Запитуємо в учнів, яка дія виконувалася останньою у виразі, записаному в лівій частині. [Віднімання.] Просимо прочитати вираз, записаний у лівій частині. [Зменшуване подано часткою чисел 51 і 3, а від’ємник — число y.] Зменшуване тут подано числовим виразом, значення якого досить легко обчислити.

Пропонуємо учням порівняти це рівняння з таким: (51 : b) - 8 = 9. Запитуємо, чим відрізняється це рівняння від попереднього. [Тут зменшуване не числовий вираз, а вираз зі змінною; його значення не можна знайти, не знаючи значення змінної.]

Повідомляємо, що в цьому рівнянні зменшуване — це невідомий компонент! Запитуємо, як знайти невідоме зменшуване. [Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до значення різниці додати від’ємник.] Знаходимо число, якому дорівнює невідоме зменшуване, і одержуємо просте рівняння.

Отже, під час розв’язування рівнянь, у яких один із компонентів є виразом зі змінною, слід визначити, яка арифметична дія виконується останньою; згадати назви компонентів і визначити, до складу якого з компонентів входить змінна. Це невідомий компонент! Застосовуючи правило знаходження невідомого компонента, знаходимо його числове значення і одержуємо просте рівняння. Розв’язавши просте рівняння, знаходимо значення змінної. Якщо, підставивши значення змінної в подане рівняння, одержуємо істинну числову рівність, то знайдене значення змінної є розв’язком, або коренем, рівняння.

Методику розв’язування задач способом складання та розв’язування рівняння див. за посиланням.

НЕРІВНОСТІ ЗІ ЗМІННОЮ

Ознайомлення з нерівностями зі змінною відбувається в 3 класі.

Під час введення поняття про нерівності зі змінною пропонується бесіда.

✵ Як називаються записи 37 - 29, 14 : 2 + 4? [Це вирази.]

✵ Як називаються записи a + 25, 12 : b + 7? [Це буквені вирази, вирази зі змінною.]

✵ Чим відрізняється перша група виразів від другої? [Перша група виразів — це числові вирази, вони містять лише числа, які з’єднані знаками арифметичних дій; а друга група — це вирази зі змінною, вони містять, крім чисел, ще й букву — змінну.]

✵ Як називаються записи: 12 < 16; 25 - 6 > 17? [Це нерівності. Два числа або вирази, які поєднані знаками: >, <, =, — називаються нерівностями.]

✵ Як би ви назвали запис: 25 - c > 17? [Це нерівність, яка містить букву — нерівність зі змінною.]

Ця буквена нерівність, або нерівність зі змінною, є істинною, якщо c набуває значень 1, або 2, або 3, або 4, або 5, або 6, або 7. Буквені нерівності, або нерівності зі змінною, ми будемо розв’язувати способом добору і способом випробовування обраних чисел — кожне з поданих чисел підставляється в нерівність замість змінної: якщо одержуємо істинну числову нерівність, то подане число є розв’язком; якщо одержуємо хибну числову нерівність, то це число не є розв’язком нерівності зі змінною.

1. І з чисел 6, 7, 8, 9, 10 випишіть ті, за яких нерівність k + 2 > 10 є істинною.

Працювати над цим завданням ми будемо за пам’яткою.

ПАМ’ЯТКА

Розв’язування нерівностей зі змінною

Спосіб добору

1. Знаходжу значення виразу зі змінною при заданому значенні змінної.

2. Порівнюю числа.

3. Якщо числова нерівність є істинною, тоді це значення змінної є її коренем (розв’язком).

Розв’язання

k + 2 > 10

1) Якщо k = 6:

6 + 2 > 10 — хибно.

Число 6 не є розв’язком нерівності.

2) Якщо k =7:

7 + 2 > 10 — хибно.

Число 7 не є розв’язком нерівності.

3) Якщо k = 8:

8 + 2 > 10 — хибно.

Число 8 не є розв’язком нерівності.

4) Якщо k = 9:

9 + 2 > 10 — істинно.

Число 9 є розв’язком нерівності.

5) Якщо k = 10:

10 + 2 > 10 — істинно.

Число 10 є розв’язком нерівності.

З цього випливає, що при k > 8 нерівність k + 2 > 10 буде істинною.

Відповідь: k = 9, 10, ... .

На перших етапах засвоєння вміння розв’язувати нерівності зі змінною слід запропонувати учням для розв’язування певну кількість завдань, причому кожний етап розв’язання згідно з пам’яткою записуємо в зошит; далі міркуємо усно, записуючи лише відповідь.

2. Знайдіть два таких значення k, за яких нерівність k • 7 > 40 буде істинною.

Виконуючи це завдання, учні самостійно повинні підібрати числа, які слід випробувати, користуючись пам’яткою. Підбір значень змінної k здійснюється на підставі знання таблиці множення числа 7. Учням пропонується назвати добутки з таблиці множення числа 7, які більші за число 40 (це 42, 49, 56, 63, 70); встановити, множенням яких чисел на 7 вони одержані (6, 7, 8, 9, 10 відповідно); перевірити і довести, що ці числа є розв’язками поданої нерівності (за пам’яткою).

Якщо k > 5, то нерівність k - 7 > 40 є істинною.

Відповідь: k = 6, 7, 8, 9, . .

3. Для кожної нерівності доберіть два таких значення змінної a, за яких нерівності будуть істинними: 20 - a > 15 ; a • 4 < 36; a : 8 > 4.

Під час розв’язування цих нерівностей можна запропонувати учням раціональний спосіб добору змінної в нерівності (спосіб зведення до рівняння).

ПАМ’ЯТКА

Розв’язування нерівностей зі змінною

Раціональний спосіб добору розв’язків нерівностей зі змінною (спосіб зведення до рівняння)

1. Перетворюю нерівність на рівняння; розв’язую рівняння.

2. Записую визначене число — розв’язок рівняння — та записую його «сусідів».

3. Підставляю в нерівність число, попереднє/наступне — до визначеного. Якщо одержую істинну нерівність, то розв’язками є числа, розташовані до/після визначеного числа. Якщо одержую хибну нерівність, то розв’язками є числа, розташовані після/до визначеного числа.

Наприклад:

20 - a > 15

1) 20 - a = 15

a = 20 - 15

a = 5;

2)

3) 20 - 4 > 15

16 > 15 — істинно, тому число 4 є розв’язком;

4) 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: a = 4, 3, 2, 1, 0.

a • 4 < 36

1) a • 4 = 36

a = 36 : 4

a = 9;

2)

3) 8 • 4 < 36

32 < 36 — істинно, тому число 8 є розв’язком;

4) 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: a = 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

a : 8 > 4

1) a : 8 = 4

a = 4 • 8

a = 32;

2) виписуємо з таблиці ділення на 8 ділені, що менші від 32 і більші за

3) 40 : 8 > 4

5 > 4 — істинно, тому число 40 є розв’язком;

4) виписую з таблиці ділення на 8 усі ділені, починаючи з 40: 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Відповідь: а = 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Третій спосіб розв’язування нерівностей зі змінною полягає в залежності між результатом і компонентами арифметичних дій.

4. Розв’яжіть нерівності.

25 - b > 20

x • 70 < 280

x + 40 < 45

120 : x > 24

Наводимо міркування під час розв’язування першої нерівності способом на основі залежності між результатом і компонентами арифметичних дій.

Прочитайте ліву частину нерівності. Прочитайте праву частину нерівності. Подайте праву частину у вигляді різниці. Що істотного повинно бути в цій різниці? [Зменшуване — число 25.] Замінюємо праву частину нерівності різницею зі зменшуваним 25. [20 = 25 - 5] У такий спосіб одержуємо: 25 - b > 25 - 5. Порівняйте дві різниці з однаковими зменшуваними. [У цих різницях однакові зменшувані, а відрізняються вони від’ємниками. Різниця в лівій частині більша за різницю в правій частині.] Згадайте, у яких випадках різниця збільшується при зміні від’ємника. [Різниця збільшується, якщо від’ємник зменшується.] Який висновок можна зробити? [Із двох різниць з однаковими зменшуваними більша та, у якій від’ємник менший.] Якщо від’ємник повинен бути меншим, то яких значень набуває змінна b? [b < 5. Відповідь: 0, 1, 2, 3, 4.]

Наводимо міркування під час розв’язування другої нерівності.

Подаємо праву частину нерівності, число 280, як добуток двох чисел із другим множником 70: 280 = 4 • 70. Одержуємо нерівність: x • 70 < 4 • 70. Порівнюємо добутки, записані в правій та лівій частинах. Згадуємо взаємозв’язок між значенням добутку і множниками: значення добутку зменшується, якщо множник зменшується. З двох добутків з однаковим другим множником менший той, у якого перший множник менший. Робимо висновок: x < 4. Відповідь: 0, 1, 2, 3.

Зразок запису в зошиті.

Наводимо алгоритм розв’язування третьої нерівності.

Наводимо алгоритм розв’язування четвертої нерівності.

Отже, нерівності зі змінною розв’язуються трьома способами:

1) способом добору;

2) способом зведення до рівняння;

3) способом на підставі взаємозв’язку між результатом і компонентами арифметичних дій.

Наведемо приклад розв’язування нерівності кожним із цих способів.

Про розв’язування в 4 класі нерівностей зі змінною трьома способами див. за посиланням.

Зазначимо, що спосіб добору при розв’язуванні рівнянь і нерівностей застосовується тоді, коли задана множина чисел і з них треба обрати ті, для яких рівність або нерівність буде істинною. Якщо такого набору чисел немає, то краще розв’язувати нерівність другим або третім способом.

5. За яких значень змінної b нерівність 25 - b > 20 буде істинною?

Розв’язувати нерівність будемо другим способом.

Зводимо нерівність до рівняння. Визначаємо, за якого значення змінної одержимо істинну рівність.

25 - b = 20

b = 25 - 20

b = 5

Записуємо одержане число, підкреслюємо його і записуємо його «сусідів»:

Підставляємо число, попереднє до знайденого, і встановлюємо, чи є воно розв’язком нерівності.

Якщо b = 4, то 25 — 4 > 20 — істинно.

Робимо висновок: якщо нерівність є істинною, то виписуємо декілька чисел, які при рахунку називаються раніше від знайденого числа.

Відповідь: b < 5; b = 4, 3, 2, 1, 0.

9. Знайдіть найбільше натуральне значення х, яке задовольняє нерівність 200 - x > 42.

Це завдання будемо розв’язувати третім способом.