Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

5.1. Числові вирази, рівності, нерівності в 3-4 класах
Розділ 5. Методика алгебраїчної пропедевтики в 3-4 класах

Очікувані результати навчання здобувачів освіти див. за посиланням.

Мета вивчення алгебраїчного матеріалу в 3-4 класах полягає в глибшому розкритті арифметичних понять, у доведенні узагальнень учнів до високого рівня, а також у підготовці до подальшого засвоєння курсу алгебри.

Отже, вивчення елементів алгебри в початковому курсі математики тісно пов’язано з вивченням арифметичного матеріалу. Це виявляється, наприклад, у тому, що рівняння і нерівності розв’язуються без застосування алгебраїчного апарату (теорем про рівносильність рівнянь), а з використанням властивостей арифметичних дій на підставі взаємозв’язку між компонентами та результатами арифметичних дій.

Основними алгебраїчними поняттями є «рівність», «нерівність», «вираз», «рівняння». Означення цих понять у курсі математики початкової школи не дається. Учні засвоюють їх на рівні уявлень під час виконання спеціальних завдань.

ЧИСЛОВІ ВИРАЗИ

Основними завданнями вчителя під час вивчення числових виразів у 3-4 класах є навчити учнів:

✵ читати та записувати числові вирази;

✵ знаходити значення числових виразів;

✵ виконувати тотожні перетворення виразів;

✵ порівнювати числові вирази;

✵ складати числовий вираз за текстом будь-якої простої або складеної задачі.

Математичний вираз — це запис, що складається з чисел та букв, які з’єднані знаками арифметичних дій та дужками, наприклад:

Якщо запис складається тільки з чисел, які з’єднані знаками арифметичних дій та дужками, — це числовий вираз.

У 3 класі учні працюють з математичними виразами, які містять три і більше арифметичні дії, наприклад:

ЗНАХОДЖЕННЯ ЗНАЧЕНЬ МАТЕМАТИЧНИХ ВИРАЗІВ

У 2 класі учні ознайомилися з математичними виразами, які містили арифметичні дії різних ступенів, а також виразами, у яких числа поєднані знаками арифметичних дій множення та ділення; знаходили значення виразів із дужками, але правила порядку виконання арифметичних дій не були введені.

З правилами порядку виконання арифметичних дій у математичних виразах учні ознайомлюються в 3 класі. Зазвичай це відбувається під час вивчення теми «Таблиці множення та ділення».

1. Якщо у виразі без дужок є тільки арифметичні дії додавання та віднімання, тоді їх виконують у тому порядку, у якому вони записані: 40 - 12 + 8 = 36; 57 - 9 - 20 = 28.

2. Якщо у виразі без дужок є тільки арифметичні дії множення та ділення, тоді їх виконують у тому порядку, у якому вони записані: 24 : 4 : 3 = 2; 12 : 3 • 2 = 8; 2 • 2 • 7 = 28.

3. Якщо у виразі немає дужок, тоді спочатку виконують послідовно множення та ділення, а потім — додавання та віднімання: 24 - 8 : 4 = 22 ; 4 • 3 + 2 • 6 = 24 ; 20 + 4 7 = 48.

4. Якщо у виразі є дужки, тоді спочатку виконують дії в дужках, а потім — поза ними: 35 - (41 - 24) = 18 ; 36 : (13 - 9) = 9.

Учитель звертає увагу учнів на те, що дуже важливо дотримуватися цих правил при обчисленнях, інакше можна одержати неправильний результат. Наприклад:

20 - 15 : 5.

✵ Якщо дотримуватися правил порядку виконання арифметичних дій, одержимо: 1) 15 : 5 = 3, 2) 20 - 3 = 17, тому 20 - 15 : 5 = 17 — істинно;

✵ якщо не дотримуватися правил порядку виконання арифметичних дій, одержимо: 1) 20 - 15 = 5, 2) 5 : 5 = 1, 20 - 15 : 5 = 1 — хибно.

Для закріплення правил порядку виконання арифметичних дій у виразах учням пропонуються такі завдання.

1. Обчисліть вирази з поясненням правил порядку виконання арифметичних дій.

2. Поясніть помилки в порядку виконання арифметичних дій (завдання на критику помилок).

3. Використовуючи дужки, змініть порядок виконання арифметичних дій: 5 + 4 • 3. [(5 + 4) • 3].

4. Знайдіть значення виразів по діях (завдання на використання всіх правил порядку виконання арифметичних дій).

5. Знайдіть значення виразів, у яких останньою виконується арифметична дія віднімання (додавання тощо).

6. У кожному виразі поставте дужки так, щоб його значення збільшилося.

Розглянемо міркування під час розв’язання завдання 6.

Яка арифметична дія виконується останньою в першому виразі? [1 + 8 • 4 — останньою виконується дія додавання.] Яка арифметична дія виконуватиметься останньою, якщо за допомогою дужок змінити порядок виконання арифметичних дій? [(1 + 8) • 4 — останньою повинна бути арифметична дія множення.] Як повинен змінитися один із компонентів, щоб значення виразу збільшилося? [Добуток збільшується, якщо один із множників збільшується.] Як за допомогою дужок змінити цей компонент? [Можна збільшити перший множник, якщо взяти в дужки суму чисел 1 і 8: (1 + 8) • 4.]

Так можна міркувати при обчисленні значень виразів у стовпчиках 1 і 3.

(1 + 8) • 4   24 : (8 - 2)

32 : (8 - 4)   7 • (3 + 6)

Міркування при обчисленні значень виразів у стовпчику 2 можуть бути такими.

Яка арифметична дія виконується останньою у першому виразі? [24 - 18 : 2 + 7 — останньою виконується дія додавання.] Яка арифметична дія буде виконуватися останньою, якщо змінити порядок виконання арифметичних дій? [Або віднімання, або ділення.] При якій арифметичній дії з двох визначених одержуємо більший результат? [При відніманні зазвичай одержуємо більший результат, ніж при діленні.] Отже, яка арифметична дія повинна виконуватися останньою? [Віднімання.] Як потрібно змінити один із компонентів арифметичної дії, щоб результат збільшився? [Щоб різниця збільшилася, потрібно, щоб або зменшуване збільшилося, або від’ємник зменшився.] Який компонент можна змінити? [Можна змінити від’ємник. Від’ємник повинен зменшитися.] Як можна цього досягти? [Щоб від’ємник 18 : 2 + 7 зменшився, потрібно, щоб останньою виконувалася арифметична дія ділення і щоб значення частки було меншим. Значення частки буде меншим, якщо дільник збільшиться. Маємо: 18 : (2 + 7).] Запишіть відповідь. [24 - 18 : (2 + 7)]

Так можна міркувати і при обчисленні значення другого виразу у стовпчику 2.

42 - 24 : (3 + 3)

7. Відновіть пропущені знаки арифметичних дій в істинних рівностях.

При обчисленні виразів у стовпчику 1 можна міркувати так.

Число, яке записано після знака «=», подайте у вигляді добутку (частки, суми або різниці). [3 О 6 О 2 = 9, 9 = 3 • 3.] Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака «=», один із компонентів? [Так, це перший множник — число 3.] Подумайте, яку арифметичну дію потрібно виконати між двома іншими числами, щоб одержати другий компонент арифметичної дії. [Потрібно виконати ділення — 6 : 2 = 3.] Запишіть відповідь. [3 • (6 : 2) = 9 або 3 • 6 : 2 = 9.]

Міркуючи аналогічно, одержуємо результат другого виразу у стовпчику 1.

36 = 9 • 4, 36 = 9 • 3 + 9. Є перший множник 9. За допомогою чисел 3 і 9 або 9 і 3 не можна одержати другий множник 4. Тому користуємося поданням числа 36 у вигляді суми добутку і числа: 9 • 3 + 9. Бачимо, що перший доданок можна одержати, якщо 9 помножити на 3, а другий доданок — це число 9; 9 • 3 + 9 = 36.

Розглянемо міркування під час знаходження значень виразів у стовпчику 2.

Число, яке записано після знака «=», подайте у вигляді добутку (частки, суми або різниці). [25 О 5 О 4 О 2 = 22, 22 = 20 + 2.] Чи є серед чисел, які записані ліворуч від знака «=», один із компонентів? [Так, є другий доданок 2.] Подумайте, як одержати інший компонент арифметичної дії. [25 О 5 О 4 = 20, 25 : 5 • 4 = 20.] Запишіть відповідь. [25 : 5 • 4 + 2 = 22 ]

Аналогічно: 9 О 3 О 6 О 2 = 6.

6 = 3 • 2 , 6 = 3 + 3. Є другий множник 2. Одержати рівність 9 О 3 О 6 = 3 неможливо. Тому розглянемо суму: 6 = 3 + 3. Як з чисел 9 О 3 одержати число 3? [Дією ділення.] Як з чисел 6 О 2 одержати число 3? [Дією ділення.] Запишіть відповідь. [9 : 3 + 6 : 2 = 6]

8. Розставте дужки так, щоб утворилися істинні рівності.

Розглянемо першу рівність: 12 : 2 + 2 ^. 2 = 6. Число 6 можна подати у вигляді: 6 = 3 • 2, 6 = 4 + 2. У вигляді суми подавати число 6 не можна, тому що 12 : 2 ≠ 4. Отже, беремо за основу добуток: 6 = 3 • 2. Ми маємо другий множник, число 2. Подумайте, як одержати перший множник — число 3. [12 : 2 + 2. Потрібно розставити дужки так, щоб одержати число 3. 12 : (2 + 2).] Запишіть відповідь. [12 : (2 + 2) • 2 = 6]

Аналогічно міркуємо при обчисленні другого виразу.

Число 2 можна подати у вигляді: 2 = 1 • 2, 12 : 6 = 2. У вигляді добутку подавати число 2 не можна, тому що 12 : 2 + 2 ≠ 1. Отже, беремо за основу частку: 12 : 6 = 2. Є ділене 12. Потрібно подумати, як із решти чисел і знаків арифметичних дій одержати число 6. [2 + 2 • 2 = 6.] Запишіть відповідь. [12: (2 + 2 • 2) = 2]

Аналогічно:

32 : 8 - 2 • 2 = 4 ---------- ► (32 : 8 - 2) • 2 = 4

32 : 8 - 2 • 2 = 8 ---------- ► 32 : (8 - 2 • 2) = 8

72 - 24 : 6 + 2 = 66 ------------ ►---- 72 - (24 : 6 + 2) = 66

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЛОВИХ ВИРАЗІВ

Вирази порівнюють декількома способами:

1) обчисленням (знаходимо значення кожного виразу і порівнюємо одержані результати: більший той вираз, значення якого більше, і навпаки: якщо значення виразів рівні, то й вирази рівні);

2) логічним способом (порівнюємо вирази, аналізуючи їх: 3 + 5 О 3 + 4 — обидва вирази — суми; в обох сумах однакові перші доданки, отже, більший той вираз, у якого другий доданок більший: 5 більше за 4, тому 3 + 5 більше за 3 + 4);

3) перетворенням одного з виразів і порівнянням виразів другим способом: 3 • 2 + 3 О 3 • 4.

У 3 класі учням пропонується порівняти вирази і числа, причому вирази містять кілька арифметичних дій, наприклад: 56 : 7 - 7 О 5.

Зрозуміло, що порівняння цього виразу і числа відбувається першим способом: знаходимо значення виразу: 56 : 7 - 7 = 1; порівнюємо одержане число з даним: 1 < 5; робимо висновок: 56 : 7 - 7 < 5.

Цікавим є завдання підібрати такі числа, щоб одержати істинні нерівності, наприклад:

5 • 8 > 5 • [ ]; 4 • 7 < [ ] • 8.

Під час виконання цього завдання потрібно застосувати другий спосіб порівняння виразів.

Розглянемо першу нерівність. 5 • 8 > 5 • [ ]. Порівнюємо вирази, записані ліворуч та праворуч; визначаємо, що в них спільне [обидва вирази — добутки]; порівнюємо компоненти цих виразів [у них однакові перші множники; другі множники повинні бути різними, тому що значення першого виразу більше]; визначаємо, як потрібно змінити один із компонентів, щоб значення виразу зменшилося (збільшилося) [щоб добуток зменшився, потрібно, щоб і другий множник зменшився; отже, другим множником буде число, яке менше від 8, — це 7, або 6, або 5, або 4, або 3, або 2, або 1, або 0].

Розглянемо другу нерівність. 4 • 7 < [ ] • 8. Порівняйте вирази, записані ліворуч та праворуч. Що в них спільне? [Обидва вирази — добутки.] Порівняйте компоненти цих виразів. [У них різні другі множники, причому більше число містить вираз, значення якого більше. Тому, якщо ці вирази міститимуть однакові перші множники, то значення другого виразу буде все одно більшим! Отже, 4 •7 < 4 • 8.]

ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ

Тотожні перетворення виразів — це заміна даного виразу іншим, значення якого дорівнює значенню даного (зазначимо, що це означення правильне лише для чисел, які вивчаються в курсі початкової школи).

Тотожні перетворення виразів у 3 класі здійснюються на підставі законів арифметичних дій та їхніх наслідків:

1) переставний закон додавання та множення;

2) сполучний закон додавання та множення;

3) правил:

✵ віднімання суми від числа, віднімання числа від суми;

✵ множення числа на суму, множення суми на число;

✵ ділення суми на число, ділення числа на добуток тощо.

Вивчаючи властивості арифметичних дій, учні впевнюються, що в деяких виразах можна виконувати дії по-різному, але значення виразів при цьому не змінюється. Далі знання цих властивостей арифметичних дій учні застосовують для перетворення виразів на тотожні.

52 : 4 = (40 + 12) : 4 = 40 : 4 + 12 : 4 = 10 + 3 = 13

Важливо, щоб учні не тільки пояснювали, на підставі якої властивості вони одержують наступний вираз, але й розуміли, що всі ці вирази поєднує знак «=», тому що вони мають однакові значення.

Учні 3 класу також виконують тотожні перетворення виразів не тільки на підставі властивостей арифметичних дій, але й на підставі конкретного змісту арифметичної дії множення.

3 • 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

У 3 класі учні роблять висновок: якщо у виразі з дужками дужки не впливають на порядок виконання арифметичних дій, то їх можна не ставити.

18 + (8 : 2) = 18 + 8 : 2 = 22

Цей висновок учні роблять при розв’язуванні задач за допомогою складання виразу та знаходження значення цього виразу по діях із поясненнями.

Зазначимо, що в 4 класі пропонуються завдання на знаходження значень виразів із дужками, у яких записаний вираз, що містить не одну, а дві арифметичні дії.

18 • 20 + (846 - 143 • 4) = 634

Учні повинні спочатку встановити порядок виконання арифметичних дій у дужках, а потім і порядок виконання решти арифметичних дій; виконати дії згідно зі встановленим порядком.