Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

Розділ 6. Методика геометричної пропедевтики в 3-4 класах

Методику узагальнення і систематизації знань учнів щодо геометричного матеріалу на початку навчального року див. за посиланням.

Геометрична фігура — це множина точок площини. У 3 класі вивчаються не нові геометричні фігури, а розглядаються лише ті, що були введені в попередніх класах: точка; пряма та крива лінії; відрізок; ламана; многокутники: трикутник, чотирикутник (зокрема, прямокутник і квадрат), п’ятикутник тощо; коло і круг.

У 3-4 класах учні креслять відрізки і вимірюють їхні довжини, а також довжину ламаної лінії; визначають периметр многокутника, зокрема прямокутника і квадрата; знаходять сторони квадрата за його периметром; будують прямокутники і квадрати на папері в клітинку за даними довжинами їхніх сторін.

Засвоєння геометричного матеріалу відбувається головним чином під час виконання практичних робіт (вимірювання, креслення та моделювання) і розв’язування задач, а не в результаті вивчення теорії.

Класифікацію задач геометричного змісту і приклади задач кожної групи див. за посиланням.

ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ВЕЛИЧИНИ

У 4 класі узагальнюється та систематизується геометричний матеріал, який вивчався в 1-3 класах; доповнюються та узагальнюються знання учнів про властивості геометричних фігур, а також вивчаються нові геометричні фігури.

Первинними поняттями в геометрії є точка, пряма, площина. Ці поняття вводяться без означення (про них кажуть, що це неозначувані поняття), лише спираючись на досвід дитини. Усі інші поняття визначаються через первинні або ті, що були означені раніше.

Розглянемо приклади.

Відрізок — це частина прямої, яка складається з усіх точок прямої, що лежать між двома даними точками на прямій, і цих точок. Ці точки називають кінцями відрізка.

Інакше: відрізок — це частина прямої, яка обмежена двома точками, із цими точками включно.

Позначаємо: AB.

Промінь — це частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на прямій точки, і цієї точки. Ця точка — це початок променя.

На малюнку точка A розбила пряму на два промені a і b, які мають спільний початок.

На рисунку зображено два промені з початками в точках O і A.

Позначаємо: OM, AB.

Кут — це фігура, яка складається з точки — вершини кута — та двох різних променів, що виходять з цієї точки, — сторін кута.

Кут можна позначати однією буквою, яка позначає вершину кута: ∠B, або трьома буквами, тоді позначення вершини ставиться в середині: ∠ABC.

За величиною кути поділяються на прямі, гострі й тупі.

Як відомо, поняття про прямий кут учні одержують із практичного досвіду (при подвійному перегинанні аркуша паперу).

Гострий кут менший, ніж прямий. Тупий кут більший, ніж прямий.

На рисунку кут AOB — прямий, кут AOC — гострий, кут AOD — тупий.

Одна з найбільш відомих учням фігур — трикутник.

Трикутник — це геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які послідовно з’єднують ці точки.

На рисунку точки A, B, C — вершини трикутника, відрізки AB, BC та AC — сторони трикутника.

Кожні дві сторони трикутника утворюють кут: ∠A, ∠B, ∠C — кути трикутника.

Отже, елементи трикутника: вершини (точки A, B, C); сторони (відрізки AB, BC, AC, іноді довжини сторін позначають a, b, c); кути (∠A, ∠B, ∠C ).

За величиною кутів трикутники можна класифікувати так.

У гострокутному трикутнику всі кути гострі. У прямокутному трикутнику один із кутів прямий, а два інші — гострі. У тупокутному трикутнику один із кутів тупий, а два інших — гострі.

У трикутнику не може бути більше ніж один прямий кут або більше ніж один тупий кут.

Позначте на рисунку вершини гострокутного трикутника: A, B, C; вершини прямокутного трикутника: D, E, F; вершини тупокутного трикутника: K, L, M.

За довжиною сторін трикутники класифікуються так.

Трикутник — це многокутник із найменшою кількістю сторін (кількість сторін — 3, вершин — 3, кутів — 3).

Учні знайомі також із чотирикутниками, п’ятикутниками, шестикутниками (кількість сторін — 4, 5, 6 відповідно).

Серед чотирикутників виділяються окремі види: прямокутники і квадрати (іноді учнів ознайомлюють ще й із ромбами).

Прямокутнику й квадрату дається означення через найближчий рід та видові ознаки.

Поняття = найближчий рід + видові ознаки

Прямокутник — це чотирикутник, у якого всі кути прямі.

    (найближчий рід) (видова ознака)

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

   (найближчий рід)  (видова ознака)

Квадрат можна було б визначити й так: квадрат — це чотирикутник, у якого всі кути прямі і всі сторони рівні.

Але чотирикутник не є найближчим родом для квадрата, тому маємо збільшити кількість видових ознак.

На рисунку ABCD — прямокутник.

Властивості прямокутника: AB = CD, BC = AD (протилежні сторони рівні).

Властивості прямокутника не згадують при його означенні.

На рисунку зображені многокутники: п’ятикутник і шестикутник.

Вершина A п’ятикутника сполучена відрізками із двома не сусідніми його вершинами C і D; AC і AD — діагоналі п’ятикутника.

Відрізок, який сполучає дві не сусідні вершини многокутника, називається діагоналлю многокутника.

Запитуємо в учнів, скільки діагоналей можна провести в п’ятикутнику. Міркуємо так: кожну вершину п’ятикутника можна сполучити діагоналлю лише з двома вершинами (крім самої вершини та двох сусідніх вершин). Запитуємо, чи правильно, що всього діагоналей у п’ятикутнику: 2 • 5 = 10. [Ні, бо в такому випадку кожна діагональ ураховується двічі (наприклад, діагоналі AC і CA, але ж це той самий відрізок). Тому кількість діагоналей п’ятикутника: 10 : 2 = 5. У п’ятикутнику 5 діагоналей]

Такі самі міркування дають змогу сказати, що в шестикутнику всього ((6 - 3) • 6) : 2 діагоналей, тобто 9 діагоналей.

У чотирикутнику всього 2 діагоналі. У прямокутнику та у квадраті діагоналі рівні.

У трикутнику зовсім не можна провести діагоналі, бо для кожної його вершини дві інші вершини сусідні.

У початковій школі, крім фігур, обмежених ламаною лінією, вивчаються фігури, обмежені кривою лінією. Найпростішою з таких фігур є коло.

Візьмемо на площині довільну точку O та відкладемо від неї відрізки однакової довжини. Одержимо множину точок, які розташовані на рівних відстанях від вибраної точки O. Ця множина точок і складає фігуру, що називається колом.

Елементи кола: центр O, відрізок OA — радіус кола, відрізок BC, що сполучає дві будь- які точки кола — хорда; хорда DM, яка проходить через центр, — діаметр кола.

Коло обмежує частину площини, яка разом із колом утворює геометричну фігуру — круг.

Яку б точку цієї фігури ми не взяли, вона розташована від центра кола на відстані, яка дорівнює радіусу (OA) або менша від радіуса (OB). Точка B — внутрішня точка круга; точка A лежить на межі круга, якою є коло.

Означення сектора, сегмента і півкола див. за посиланням.

ГЕОМЕТРИЧНІ ТІЛА

Круг, квадрат, прямокутник, трикутник, п’ятикутник — це плоскі фігури.

Циліндр, куб, куля, конус, паралелепіпед, піраміда — це геометричні тіла, тобто просторові фігури.

Знайдіть плоскі фігури в геометричних тілах.

1) У яких геометричних тілах є круг? [У циліндрі, кулі, конусі.]

2) У яких геометричних тілах є квадрат? [У кубі.]

3) У яких геометричних тілах є трикутник? [У піраміді.]

Методику формування вміння будувати геометричні фігури див. за посиланням.

Задачі на обчислення периметра і площі фігури див. за посиланням.