Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

4.3.1. Прості задачі з величинами: швидкість, час і подоланий шлях
4.3. Види простих задач у 4 класі та методика роботи над ними
Розділ 4. Методика навчання розв'язування задач у 3-4 класах

У 4 класі учні продовжують розв’язувати відомі їм види простих задач, тому їх слід узагальнити і систематизувати на початку навчального року. У 4 класі вводяться нові види простих задач:

1) задачі, які містять величини: швидкість, час і подоланий шлях;

2) задачі на знаходження площі прямокутника та обернені до них.

Також ми продовжуємо розв’язувати задачі на час, але вони дещо ускладнюються шляхом визначення дати початку або закінчення події, а не проміжку часу.

Навчання розв’язування простих задач нових видів є основою для навчання розв’язування складених задач, які містять ці види простих задач.

4.3.1. Прості задачі з величинами: швидкість, час і подоланий шлях

Задачі цього виду містять функціональний зв’язок між величинами: подоланий шлях, швидкість та час. У 3 класі були розглянуті задачі із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами: вартість, ціна, кількість; загальна маса, маса одного предмета, кількість предметів; загальна довжина, довжина одного відрізу, кількість відрізів; загальна місткість, місткість однієї посудини, кількість посудин; загальний виробіток, продуктивність праці, час роботи тощо. Прості задачі з величинами подоланий шлях, швидкість і час мають ту саму математичну структуру, що й будь-які інші прості задачі на знаходження однієї величини за відомими значеннями двох інших пов’язаних із нею величин. З цього випливає, що задачі з цими величинами можна розглядати, як і задачі з будь-якими іншими групами взаємопов’язаних величин, а також порівнювати їх із задачами з іншими групами величин.

Особливе місце в підготовчій роботі повинно займати розв’язування простих задач на функціональну залежність величин, зокрема задач на знаходження величини одиниці виміру. Під час розв’язування таких задач актуалізуємо знання про взаємозв’язок між пропорційними величинами.

На етапі підготовчої роботи в молодших школярів формується уявлення про швидкість як про шлях, що проходить тіло, яке рухається рівномірно, за одиницю часу. Діти вже знайомі з величинами: час та подоланий шлях. Чули вони й слово «швидкість». Але перед тим як перейти до розгляду залежності між подоланим шляхом, швидкістю та часом при рівномірному русі, треба ввести поняття «швидкість руху».

Спостерігаючи за рухом кількох тіл, учні помічають, що:

✵ за один і той самий час два тіла можуть подолати різний шлях;

✵ один і той самий шлях два тіла можуть подолати за різний час.

Чому так відбувається? Учні можуть відповісти, послуговуючись власним життєвим досвідом: «Тому що ці тіла рухаються з різною швидкістю!» Що таке швидкість? На це запитання учні навряд дадуть чітку відповідь...

Поняття про швидкість вводиться на матеріалі задачі, яка розв’язується на основі конкретного змісту арифметичної дії ділення на рівні частини. Але спочатку пропонуємо допоміжну задачу з відомою групою взаємопов’язаних величин на знаходження продуктивності праці з тими самими числами.

1. Розв’яжіть задачі.

1) За 3 год операторка комп’ютерного набору набрала 24 сторінки тексту, набираючи однакову кількість сторінок кожної години. Скільки сторінок тексту набирала операторка за кожну годину?

Схематично проілюструємо задачу: накреслимо відрізок, який позначає загальний виробіток — 24 сторінки. Операторка набрала ці сторінки за 3 год, набираючи однакову кількість сторінок кожної години, тому відрізок, що позначає 24 сторінки, розділимо на 3 рівні частини; кожна з яких ілюструє кількість сторінок, які набирала операторка за 1 год (продуктивність праці).

Розв’язання:

24 : 3 = 8 (стор.)

Відповідь: 8 сторінок тексту набирала операторка комп’ютерного набору за 1 год роботи.

2) За 3 год хлопчик проїхав на велосипеді 24 км, щогодини проїжджаючи однаковий шлях. Скільки кілометрів проїжджав хлопчик щогодини?

Учні порівнюють задачі 1 і 2 і встановлюють їх відмінність. Учитель пропонує виконати зміни в короткому записі і схематичному рисунку задачі 1.

Розв’язання «нової» задачі не викликає в школярів труднощів, і вчитель повідомляє, що в цій задачі знайшли шлях, який подолало тіло за одиницю часу, тобто швидкість руху тіла. На основі аналізу розв’язання учні виводять правило знаходження швидкості руху тіла.

Щоб знайти швидкість руху тіла, треба подоланий ним шлях поділити на час руху:

або

Встановлюється, що швидкість — це величина одиниці виміру, і це правило вноситься до загального «банку» правил знаходження величини одиниці виміру.

Далі йде робота із закріплення фізичного змісту швидкості.

Варто поставити учням такі запитання. Що означає, що равлик повзе зі швидкістю 6 м/год? [Швидкість руху равлика 6 м/год означає, що за кожну годину равлик проповзає по 6 м.] Що означає, що літак летить зі швидкістю 950 км/год? [Швидкість літака 950 км/год означає, що за кожну годину літак пролітає по 950 км.]

Запитуємо, чому дорівнює швидкість руху: пішохода, якщо він проходить по 5 км за 1 год [5 км/год]; риби-меч, якщо вона щогодини пропливає по 100 км [100 км/год]; бджоли, якщо вона за кожну секунду пролітає по 7 м [7 м/с].

Для закріплення правила знаходження швидкості руху тіла розв’язуються сюжетні задачі на знаходження швидкості при рівномірному русі. Спочатку ці задачі містять два запитання, наприклад: «Скільки метрів долав бігун за одну секунду? З якою швидкістю він біг?», — а потім одне запитання.

Корисно розглянути залежність швидкості руху від зміни подоланого шляху або часу. Учням пропонуються пари задач, аналізуючи розв’язки яких школярі роблять відповідні висновки про прямо пропорційну залежність між швидкістю руху та подоланим шляхом (за незмінного часу) та обернено пропорційну залежність між швидкістю руху та часом за незмінного подоланого шляху. Наприклад, для усвідомлення залежності швидкості руху від зміни подоланого шляху учням пропонуються для порівняння пари задач.

2. Розв’яжіть задачі.

1) Пішохід за 4 год пройшов 20 км. Знайдіть швидкість руху пішохода.

2) Лижник за 4 год подолав 60 км. Знайдіть швидкість руху лижника.

Після розв’язання і порівняння цих двох задач пропонуємо учням відповісти запитання, чия швидкість руху більша [лижника]; чому швидкість руху лижника більша за швидкість руху пішохода [швидкість руху лижника більша, тому що він за один і той самий час, що й пішохід, подолав більший шлях]; який висновок можна зробити про залежність між швидкістю і подоланим шляхом [чим більша швидкість, тим більший шлях долає тіло за один і той самий час]. Отже, швидкість руху і подоланий шлях змінюється в однаковому напрямі, якщо час залишається сталим. Як зміниться подоланий шлях, якщо швидкість руху збільшиться? зменшиться? Як зміниться швидкість руху, якщо подоланий шлях збільшиться? зменшиться?

На матеріалі задачі, яка розв’язується на основі конкретного змісту арифметичної дії множення, вводиться правило знаходження подоланого шляху за відомими значеннями швидкості руху і часу, а правило знаходження часу — на основі задачі на конкретний зміст арифметичної дії ділення на вміщення. На основі аналізу розв’язань цих задач формулюються відповідні правила, які засвоюються при розв’язуванні спеціальних задач.

3. Розв’яжіть задачу.

Лижник був у дорозі 3 год, рухаючись рівномірно зі швидкістю 12 км/год. Який шлях подолав лижник?

Розглянемо методику роботи над задачею.

Про що розповідається в задачі? [Про рух лижника. Відомо, що він рухався зі швидкістю 12 км/год. Це означає, що за кожну годину лижник долав по 12 км. Відомий час руху лижника — 3 год.] Який шлях подолав лижник за першу годину? [12 км] за другу годину? [12 км] за третю годину? [12 км]

Схематично проілюструємо задачу.

Запишемо задачу коротко у вигляді таблиці.

Якою арифметичною дією дізнаємося про загальний шлях, який подолав лижник за 3 год? [Дією множення: треба по 12 км взяти 3 рази.]

Розв’язання:

12 • 3 = 36 (км).

Відповідь: 36 км подолав лижник за 3 год.

Звернемося до розв’язання задачі. Що позначає число 12? [Це швидкість руху лижника.] Що позначає число 3? [Це час руху.] Що ми знайшли в задачі? [Подоланий шлях.] Як ми знайшли подоланий шлях? [Ми швидкість помножили на час.] Зробіть висновок про те, як знайти подоланий шлях.

4. Розв’яжіть задачу.

Пасажир проїхав автобусом 180 км. Швидкість руху автобуса становить 60 км/год. Скільки часу їхав пасажир автобусом?

Розглянемо методику роботи над задачею.

Про що розповідається в задачі? [Про рух автобуса. Відомо, що автобус проїхав 180 км зі швидкістю 60 км/год. Це означає, що за кожну годину автобус проїжджав по 60 км. Треба знайти час руху.] Який шлях подолав автобус за першу годину? [60 км] Чи весь шлях він подолав? [Ні.] Який шлях подолав автобус за другу годину? [60 км] Чи весь шлях він подолав? [Ні.] Який шлях подолав автобус за третю годину? [60 км] Чи весь шлях він подолав? [Так.]

Отже, автобус витратив на рух стільки годин, скільки в 180 км міститься по 60 км.

Запишемо задачу коротко у вигляді таблиці.

Якою арифметичною дією дізнаємося про час руху автобуса? [Годин буде стільки, скільки разів у 180 км міститься по 60 км; щоб дізнатися про це, треба 180 км поділити на 60 км.]

Розв’язання:

180 : 60 = 3 — тому автобус був у дорозі 3 год.

Відповідь: 3 год пасажир їхав автобусом.

Звернемося до розв’язання задачі. Що позначає число 180? [Це шлях, який проїхав автобус.] Що позначає число 60? [Це швидкість руху автобуса.] Що ми знайшли в задачі? [Час.] Як ми знайшли час? [Ми подоланий шлях поділили на швидкість.] Зробіть висновок про те, як знайти час.

Під час формування вмінь розв’язувати задачі на знаходження подоланого шляху, швидкості руху й часу пропонуємо узагальнити спосіб одержання формули швидкості руху і часу з формули подоланого шляху на основі правила знаходження невідомого множника, який закріплюється при розв’язуванні трійок взаємно обернених задач.

Пропонуємо учням сформулювати формулу знаходження подоланого шляху.

Формула знаходження подоланого шляху

Спираючись на записану формулу, записуємо, як знайти подоланий шлях; що в цьому записі є добутком; першим множником; другим множником. Пропонуємо учням сформулювати правило, як знайти перший множник — швидкість; як знайти другий множник — час.

Взаємозв’язок правил знаходження подоланого шляху, швидкості і часу

Після цього співвідносимо правила знаходження подоланого шляху, швидкості та часу з правилами знаходження інших груп взаємопов’язаних величин.

Функціональний зв’язок між величинами подоланий шлях, швидкість руху і час вводиться на основі порівняння пар задач, які відрізняються лише значенням однієї з трьох величин. Установивши відмінність цих задач і розв’язавши їх, діти визначають, як ця зміна вплинула на розв’язання задачі, та роблять висновки про вид залежностей між двома величинами за незмінної третьої величини. Отже, при роботі над задачами з величинами подоланий шлях, швидкість руху і час ми продовжуємо формувати в молодших школярів у формі зовнішнього мовлення дії прикидки значення шуканої величини та встановлення відповідності шуканого числа області своїх значень.

Наприклад, розглянемо зміну часу залежно від зміни швидкості руху за незмінного подоланого шляху.

5. Розв’яжіть задачі.

1) За скільки годин проїде 720 км «Мерседес», якщо їхатиме зі швидкістю 180 км/год?

2) За скільки годин проїде 720 км «Лада», якщо їхатиме зі швидкістю 90 км/год?

Розглянемо методику роботи над задачею.

Порівняйте задачі. Що в них спільне? [Однаковий подоланий шлях — 720 км.] Чим вони відрізняються? [Різна швидкість: швидкість «Мерседеса» — 180 км/год, а швидкість «Лади» — 90 км/год.] Як ви вважаєте, яка машина витратить на дорогу менше часу? Чому? [Менше часу витратить «Мерседес», тому що один і той самий шлях (720 км) він долає з більшою швидкістю. Час і швидкість змінюються в протилежних напрямах!]

Розв’яжіть задачі і перевірте власне передбачення.

Порівняйте швидкості. У скільки разів швидкість руху «Мерседеса» більша? Порівняйте час руху. У скільки разів час руху «Мерседеса» менший? Який висновок можна зробити? [Якщо швидкість збільшити у 2 рази, то час, навпаки, зменшиться у 2 рази.] Як ви вважаєте, як зміниться час, якщо швидкість зменшити в 2 рази? [Час, навпаки, збільшиться у 2 рази.]

Докладніше про методику ознайомлення із задачами, які містять величини: швидкість, час і подоланий шлях, — див. за посиланням.