Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

4.2.2. Методика формування вміння розв'язувати задачі певних типів
4.2. Види складених задач у 3 класі та методика роботи над ними
Розділ 4. Методика навчання розв'язування задач у 3-4 класах

У 3 класі учні вперше зустрічаються з типовими задачами: на знаходження четвертого пропорційного (поки що розв’язуються лише способом знаходження однакової величини); на подвійне зведення до одиниці та на спільну роботу. Працюючи над цими задачами, учні «впізнають» математичну структуру таких задач та актуалізують план їх розв’язування. Але якщо учень не може ідентифікувати задачу, а тому і не може пригадати план її розв’язування, робота над задачею здійснюється за пам’яткою «Працюю над складеною задачею».

4.2.2.1. Задачі на знаходження четвертого пропорційного

На етапі підготовчої роботи слід актуалізувати знання груп взаємопов’язаних величин та взаємозв’язків між взаємопов’язаними (пропорційними) величинами, уміння визначати в тексті задачі величини навіть тоді, коли вони задані неявно, зважаючи на найменування числових даних. Актуалізація зазначених знань і вмінь здійснюється під час розв’язування простих задач із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами.

На етапі ознайомлення можна ввести задачі на знаходження четвертого пропорційного на основі розв’язування двох послідовних простих задач із пропорційними величинами і поєднання їх в одну складену задачу.

1. Розв’яжіть задачі.

1) Маса 6 однакових гусок становить 30 кг. Яка маса 1 гуски?

2) Маса гуски становить 5 кг. Яка маса 4 таких самих гусок?

3) Маса 6 однакових гусок становить 30 кг. Яка маса 4 таких самих гусок?

Учні порівнюють складену задачу 3 з двома попередніми простими задачами і визначають, що складена задача містить у собі прості задачі 1 і 2. Якщо після цього учні відразу можуть сформулювати план розв’язування задачі, то записуємо розв’язання, якщо ні, — виконуємо повний розбір задачі за пам’яткою «Працюю над складеною задачею».

Розглянемо методику роботи над задачею.

Про що розповідається в складеній задачі? Які величини вона містить? Розгляньте короткий запис цієї задачі.

За таблицею поясніть числові дані задачі. Якій величині відповідає однакова величина? Яке запитання задачі? У відповіді ми одержимо більше чи менше число від 30? Чому? Повторіть запитання задачі. Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? [Потрібно знати два числові значення: І — масу однієї гуски (невідомо) та II — кількість гусок (відомо, 4 шт.).] Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? [Дією множення: щоб знайти загальну масу, треба масу однієї гуски помножити на кількість гусок.] Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Не можна, бо ми не знаємо масу однієї гуски.] Що сказано в задачі про масу однієї гуски в першому та другому випадках? [Маса однієї гуски і в першому, і в другому випадках однакова.] Що це означає? [Можна знайти масу однієї гуски в першому випадку.] Що потрібно знати, щоб знайти масу однієї гуски — однакову величину? [Потрібно знати два числові значення стосовно першого випадку: І — загальну масу гусок (відомо, 30 кг) та II — кількість гусок (відомо, 6 шт.).] Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? [Дією ділення: щоб знайти масу однієї гуски, потрібно загальну масу поділити на кількість гусок.] Чи можна на це запитання відповісти відразу? [Так.]

Розбийте складену задачу на прості, сформулюйте кожну просту задачу. Складіть план розв’язування задачі. Запишіть розв’язання.

[Розв’язання:

1) 30 : 6 = 5 (кг) — маса однієї гуски, однакова величина;

2) 5 • 4 = 20 (кг) — загальна маса чотирьох гусок.]

Запишіть відповідь.

[Відповідь: 20 кг — загальна маса чотирьох гусок.]

Повернемося до нашого припущення. Чи правильно ми припустили, що у відповіді буде число, менше від 30? [Правильно.]

Детальніше про методику ознайомлення і формування в учнів уміння розв’язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного див. за посиланням.

З метою узагальнення способу розв’язування задач на знаходження четвертого пропорційного та визначення істотних ознак задач цього виду можна запропонувати учням роботу з дослідження таких задач.

2. Розв’яжіть задачу.

Купили моркву і буряки за однаковою ціною. За 6 кг моркви заплатили 60 грн. Скільки коштують 4 кг буряків?

Робота над задачею йде за загальним планом. Після розв’язання задачі досліджуємо її. Пропонуємо учням змінити величини задачі, наприклад, на такі: «загальна маса», «маса одного предмета», «кількість предметів». Учні складають задачу, яка має таку саму математичну структуру, що й попередня. З’ясовуємо, як ця зміна вплине на розв’язання: розв’язання задачі не змінюється, треба лише змінити пояснення до арифметичних дій; запис виразу не змінюється.

Рекомендуємо змінити числові дані задачі. Учні пропонують власні варіанти, а вчитель вибирає з них придатні. Діти впевнюються, що вони одержали задачу такої самої математичної структури, що й попередні. Досліджується вплив зміни, що сталася, на план розв’язування задачі. Учні доходять висновку, що від зміни величин та зміни числових даних план розв’язування задачі не змінюється.

На підставі порівняння текстів задач та їхніх розв’язків учні встановлюють: у кожній задачі є два випадки; три величини, причому одна з них однакова для обох випадків; невідомим є загальне значення величини в одному з випадків. Ці задачі належать до одного виду — такі задачі називаються задачами на знаходження четвертого пропорційного. Вони містять чотири числові значення величин, які перебувають у пропорційній залежності, три з них дані, а четверте є шуканим. Першою дією (діленням) в таких задачах ми дізнаємося про однакову величину (величину одиниці виміру), бо не дізнавшись про неї, ми не зможемо відповісти на запитання задачі. Другою дією (множенням) у таких задачах ми відповідаємо на запитання задачі, дізнаємося про загальне значення величини.

Щоб перевірити правильність розв’язання прямої задачі, складаємо і розв’язуємо обернену задачу на знаходження кількості або часу.

Обернена задача 1. 6 кг моркви коштують 60 грн. Скільки кілограмів буряків можна купити на 40 грн, якщо ціна моркви й буряків однакова?

Учні вносять зміни в розв’язання прямої задачі й одержують розв’язання оберненої задачі 1. Порівнявши короткі записи прямої та оберненої задачі 1, визначають спільні ознаки: в обох задачах є два випадки, обидві задачі містять три пропорційні величини, одна з яких є однаковою для обох випадків; стосовно першого випадку дано значення двох величин, а стосовно другого випадку — лише однієї, а значення іншої величини є шуканим. Отже, обидві задачі містять чотири пропорційні числові значення, одне з яких є шуканим. Ці задачі називаються задачами на знаходження четвертого пропорційного. Відрізняються вони тим, що в прямій задачі шуканим було значення загальної величини, яку знаходять дією множення; а в оберненій задачі 1 шуканим є значення величини одиниці виміру, яку знаходять дією ділення. Учитель повідомляє, що цю відмінність і покладено в основу класифікації таких задач: задачі, у яких треба знайти значення загальної величини дією множення, — це задачі першого підвиду; а задачі, у яких шукану величину знаходять дією ділення, — це задачі другого підвиду. Отже, ми не лише перевірили правильність розв’язання прямої задачі, а й одержали задачу другого підвиду.

Далі порівнюються розв’язання прямої і оберненої задачі 1, визначається спільне: першою дією знаходимо значення однакової величини, другою дією відповідаємо на запитання задачі.

Складаємо і розв’язуємо ще дві обернені задачі.

Обернена задача 2. Скільки коштують 6 кг моркви, якщо за 4 кг буряків заплатили 40 грн? (Морква і буряки продаються за однаковою ціною.)

Дослідження йде засобом порівняння оберненої задачі 2 з прямою: в обох задачах шуканим є значення загальної величини, але шуканими є різні значення загальної величини: у прямій задачі ми шукали загальне значення величини в другому випадку, а в оберненій задачі 2 — загальне значення величини в першому випадку. Ці задачі розв’язуються за одним і тим самим планом та одними й тими самими арифметичними діями, але в прямій задачі однакову величину знаходять за двома числовими даними стосовно другого випадку, а в оберненій задачі 2 — за двома числовими значеннями величин стосовно першого випадку.

Обернена задача 3. Скільки кілограмів моркви можна купити на 60 грн, якщо на 40 грн можна купити 4 кг буряків? (Ціна моркви і буряків однакова.)

Порівнюємо обернені задачі 1 і 3. У цих задачах шуканою є кількість, але стосовно різних випадків. Щодо розв’язання, то в них однаковий план розв’язування та арифметичні дії, але однакову величину в оберненій задачі 1 знаходили за двома числовими даними величин першого випадку, а в оберненій задачі 3 — другого випадку.

Порівнюємо обернені задачі 2 і 3. У кожній задачі є три пропорційні величини, два випадки: стосовно другого випадку дано два числові значення, стосовно першого — лише одне, інше є шуканим. Порівнюємо розв’язання: у них однакові перші дії; однакову величину в обох задачах знаходять за двома числовими даними, які стосуються другого випадку; відрізняються задачі другими діями — в оберненій задачі 2 остання дія множення, тому що знаходять загальну величину, а в оберненій задачі 3 — дія ділення, тому що знаходять кількість.

Подальше дослідження задачі може здійснюватися засобом зміни однакової величини. Детальніше див. за посиланням.

Слід зазначити, що традиційно ускладненими задачами на знаходження четвертого пропорційного вважають задачі, пов’язані з одиничною нормою, які за своєю математичною структурою є оберненими до задач на різницеве порівняння двох часток (величин одиниці виміру). Детальніше див. за посиланням.

4.2.2.2. Задачі на подвійне зведення до одиниці

Методика формування в молодших школярів умінь розв’язувати задачі на подвійне зведення до одиниці передбачає ознайомлення учнів із двома математичними структурами цих задач: спрощеною, у якій дана або є шуканою величина подвійної одиниці (3 клас), та дещо ускладненою, у якій величина «подвійної одиниці» невідома, але не є шуканою (4 клас).

Одним зі способів розв’язування задач на знаходження четвертого пропорційного є спосіб зведення до одиниці — спосіб знаходження однакової величини. До ускладнених задач на знаходження четвертого пропорційного, у яких однаковою є величина однієї одиниці, належать задачі на подвійне зведення до одиниці. Спільною у цих задачах є наявність однакової величини, але в задачах на знаходження четвертого пропорційного це величина одиниці виміру або лічби, а в задачах на подвійне зведення до одиниці це «подвійна одиниця».

Тому на етапі підготовчої роботи розв’язуються задачі на знаходження четвертого пропорційного, які записують коротко у вигляді пропорції. Перевіркою правильності розв’язання є складання і розв’язування обернених задач.

Також на етапі підготовчої роботи учні розв’язують прості задачі з пропорційними величинами на знаходження величини однієї одиниці, які містять зайве значення величини, що не входить до групи трьох пропорційних величин і є сталим, тому не впливає на розв’язання задачі. При розв’язуванні цих задач звертаємо увагу учнів саме на цю особливість і записуємо такі задачі коротко у вигляді пропорції двома способами — без зазначення зайвого числа та із його записом. Учні з’ясовують, що ця зміна не впливає на розв’язання задачі. Такі задачі є підготовчими до введення задач на подвійне зведення до одиниці.

Задачі нового виду вводяться на основі розв’язування двох послідовних простих задач на знаходження величини однієї одиниці, які містять зайве числове значення, що є сталим і для характеристики даних числових значень, і для характеристики шуканого числа. Наприклад, ці задачі містять величини: кількість овець, час, загальна маса сіна та величина, яка поєднує ці величини, — величина однієї одиниці — маса сіна на 1 день для всіх овець або маса сіна для однієї вівці на весь час. У першій задачі зайвим значенням (сталим) є кількість овець, а в другій — час.

1. Розв’яжіть задачі.

1) На 3 дні 6 вівцям дають 36 кг сіна. Скільки кілограмів сіна дають на 1 день 6 вівцям?

2) На 1 день 6 вівцям дають 12 кг сіна. Скільки кілограмів сіна дають на 1 день 1 вівці?

Ці дві задачі поєднуються в складену задачу, яка містить чотири величини: кількість овець, час, загальна маса сіна та величина, яка поєднує ці величини, — величина «подвійної одиниці» — маса сіна на 1 день для 1 вівці.

3) На 3 дні 6 вівцям дають 36 кг сіна. Скільки сіна дають на 1 день 1 вівці?

Учні порівнюють задачу 3 із задачею 1, установлюють, що спільною в цих задачах є умова, але вони мають різні запитання. Порівнюючи задачу 3 із задачею 2, учні доходять висновку, що спільними в них є запитання, але різні умови. Діти помічають, що задача 3 складається з двох попередніх простих задач. Це спостереження полегшує подальший аналітичний пошук розв’язування задачі.

Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі: «Скільки кілограмів сіна дають на 1 день 1 вівці?» [Потрібно знати два числові значення: I — масу сіна на 1 день, яку дають усім вівцям (невідомо), та II — кількість овець (відомо, 6 шт.).]

Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? [Дією ділення.]

Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Не можна, бо ми не знаємо масу сіна на 1 день для 6 овець.] Що потрібно знати, щоб про це дізнатися? [Потрібно знати два числові значення: І — загальну масу сіна (відомо, 36 кг) та II — час, протягом якого годували всіх тварин (відомо, 3 дні).] Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? [Діленням.] Чи можемо ми тепер відповісти на запитання задачі. [Так.] Ми від запитання задачі перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.

Складіть план розв’язування задачі. [Першою дією ми дізнаємося про масу сіна на 1 день для 6 овець. Другою дією ми дізнаємося про масу сіна на 1 день для 1 вівці.]

Після розв’язування задачі ще раз пояснюємо, що ми знайшли першою дією, і показуємо це стрілочкою на короткому записі.

При розв’язуванні задач цього виду система стрілок та дужок грає роль опорних смислових пунктів для запам’ятовування способу розв’язування.

Стрілка з дужкою позначає, що першою дією (поділивши 36 на 3) дізналися про масу сіна для 6 овець на 1 день. При розв’язуванні також застосовуємо стрілку, яка «наштовхує» на другу дію: ця стрілка позначає, що треба 12 поділити на 6, щоб дізнатися про величину «подвійної одиниці».

Задачі на подвійне зведення до одиниці передбачають два способи розв’язування. Засобом системи стрілок і дужок можна показати інший спосіб розв’язування.

Отже, першою дією (поділивши 36 на 6) дізнаємося про масу сіна для 1 вівці на 3 дні. Другою дією (поділивши одержане число на 3) дізнаємося про величину «подвійної одиниці».

Порівнюємо два способи розв’язування. Відмінним є те, що першою дією в першому способі ми дізналися про масу сіна на 1 день для 6 овець, а в другому — про масу сіна на 3 дні для 1 вівці. Спільним є те, що другою дією відповіли на запитання задачі — знайшли масу сіна для 1 вівці на 1 день.

Узагальнюємо перший та другий способи розв’язування:

✵ першою дією ми знайшли величину однієї одиниці для певної кількості або часу (або на 1 день для 6 овець, або на 3 дні для 1 вівці);

✵ другою дією ми знайшли величину однієї одиниці — на 1 день для 1 вівці — величину «подвійної одиниці».

Отже, у цій задачі ми двічі зводили до одиниці.

Учні змінюють ситуацію задачі. Припустимо, ідеться про витрату пального кількома тракторами. Учні складають задачу і доходять висновку, що в її розв’язуванні нема потреби, треба лише змінити пояснення. Отже, зміна величин задачі не впливає ні на перший, ні на другий способи розв’язування. Першою дією ми знайшли величину однієї одиниці (витрату пального або на 1 год для 6 тракторів, або на 3 год для 1 трактора). Другою дією ми також знайшли величину однієї одиниці — витрату пального на 1 год для 1 трактора. Таким чином, у цій задачі ми двічі зводили до одиниці.

Якщо зміна величин задачі не впливає на її розв’язування, то спробуємо дослідити, чи вплине на розв’язування задачі зміна числових даних. Отже, залишаємо тими самими величини, але змінюємо числові дані. Учні пропонують власні варіанти, а вчитель їх дещо поправляє, щоб можна було виконати послідовне ділення числа на два інших.

Після проведеної роботи учні узагальнюють істотні ознаки задач на подвійне зведення до одиниці, їх математичну структуру та способи розв’язування.

Істотні ознаки задач на подвійне зведення до одиниці:

1) чотири величини: кількість, час та загальне значення для даної кількості або часу, а також величина, яка поєднує усі ці величини, — «подвійна одиниця»;

2) загальне значення величини для даної кількості або часу;

3) шуканим є значення величини «подвійної одиниці».

ПАМ’ЯТКА

Задачі на подвійне зведення до одиниці

План розв’язування

1. Знаходжу дією ділення величину однієї одиниці для певної кількості або часу.

2. Знаходжу дією ділення «подвійну одиницю» та відповідаю на запитання задачі.

Пропонуємо учням розв’язати аналогічну задачу двома способами.

2. Розв’яжіть задачу.

У зоопарку за 3 дні 5 моржам дали 30 кг риби. Скільки кілограмів риби треба 1 моржу на 1 день?

Діти складають обернену задачу, у якій запитується про числове значення величини, яке було дано в умові прямої задачі.

Обернена задача. На 1 день 1 моржу дають 2 кг риби. Скільки кілограмів риби дадуть 5 моржам за 3 дні?

Порівнюємо цю задачу з попередньою і впевнюємося, що вони мають дуже схожі математичні структури. Обернена задача також містить чотири величини, але запитується не про величину «подвійної одиниці», а про значення загальної величини. Учні пробують застосувати два способи розв’язування задач аналогічної математичної структури.

Далі учні порівнюють розв’язання прямої та оберненої задач і встановлюють, що пряма задача розв’язується двома діями ділення, а обернена задача — двома діями множення. Учитель повідомляє, що цю ознаку покладено в основу класифікації задач на подвійне зведення до одиниці.

Істотні ознаки задач на подвійне зведення до одиниці (прямої та оберненої):

1) подано чотири величини: кількість, час, загальне значення для даної кількості та часу, а також величина, яка поєднує всі ці величини, — «подвійна одиниця»;

2) дано: загальне значення для кількості та часу / значення «подвійної одиниці»;

3) шуканим є: значення «подвійної одиниці» / загальне значення для кількості та часу.

ПАМ’ЯТКА

Задачі на подвійне зведення до одиниці

План розв’язування

1) Знаходжу дією ділення (множення) величину однієї одиниці для певної кількості або часу.

2) Відповідаю на запитання задачі дією ділення (множення).

Подальша зміна величин та числових даних задачі не змінила її математичної структури і не вплинула на узагальнений план розв’язування. Отже, визначені вище істотні ознаки задач на подвійне зведення до одиниці й узагальнений план розв’язування набули підтвердження.

Подальше дослідження задач на подвійне зведення до одиниці можна здійснити способом складання і розв’язування інших обернених задач.

3. Розв’яжіть задачу.

На 3 дні 8 коровам дають 48 кг сіна. Скільки кілограмів сіна дають на 1 день 1 корові?

Школярі складають короткий запис задачі, «впізнають» у цій задачі задачу на подвійне зведення до одиниці і роблять висновок, що ця задача розв’язується двома способами (ставлять стрілочки й дужки) і розповідають план розв’язування за кожним із цих способів.

Далі учні складають обернену задачу 1 на знаходження загальної величини для певної кількості або часу.

Обернена задача 1. На 1 день 1 корові дають 2 кг сіна. Скільки кілограмів сіна дають на 3 дні 8 коровам?

Робота над цією задачею проводиться аналогічно попередній. Після її розв’язання учні узагальнюють плани двох способів розв’язування прямої задачі та оберненої задачі 1. Дослідження задачі відбувається далі, і діти складають обернену задачу 2 на знаходження кількості.

Обернена задача 2. На 1 день 1 корові дають 2 кг сіна. Для скількох корів вистачить 48 кг сіна на 3 дні?

Виконавши зміни в короткому записі оберненої задачі 1, діти доходять висновку, що обернена задача 2 також містить «подвійну одиницю», тому вона належить до задач на подвійне зведення до одиниці. Згадуємо узагальнений спосіб розв’язування прямої задачі та оберненої задачі 1 і складаємо план розв’язування оберненої задачі 2 (першою дією дізнаємося про масу сіна для корів на 3 дні; другою дією відповідаємо на запитання задачі). Слід зазначити, що цю задачу можна розв’язати й іншим способом: першою дією дізнаємося про масу сіна для корів на 1 день; другою дією відповімо на запитання задачі.

Обернена задача 3. На 1 день 1 корові дають 2 кг сіна. На скільки днів вистачить 8 коровам 48 кг сіна?

Після розв’язання оберненої задачі 3 знову узагальнюємо істотні ознаки та план розв’язування всіх попередніх задач.

Істотні ознаки задач на подвійне зведення до одиниці:

1) подано чотири величини: кількість, час, загальне значення для даної кількості та часу, а також величину, яка поєднує всі ці величини, «подвійну одиницю»;

2) дано три числових значення цих величин, шуканим є одне з числових значень: або величини «подвійної одиниці», або загальної величини, або кількості, або часу.

Треба зазначити, що цей елемент методики не є обов’язковим. Учитель пропонує учням складати і розв’язувати обернені задачі залежно від рівня підготовленості класу; математичні структури таких задач відсутні в більшості чинних підручників із математики для початкової школи.

Докладніше про методику навчання розв’язування задач на подвійне зведення до одиниці див. за посиланням.

4.2.2.3. Задачі на спільну роботу

На етапі підготовчої роботи слід актуалізувати знання групи взаємопов’язаних величин: продуктивність праці, час роботи, загальний виробіток — та взаємозв’язок між цими величинами. Це можна зробити під час розв’язування простих та складених задач, що містять цю групу величин.

Ключем до розв’язування задач на спільну роботу є знаходження продуктивності спільної праці двох виконавців. Тому на етапі підготовчої роботи учні розв’язують прості задачі на знаходження спільної продуктивності. При цьому корисно ставити запитання: «Більше чи менше, ніж... (продуктивність одного виконавця) зроблять обидва виконавці, якщо працюватимуть разом?» або «Більше чи менше часу, ніж. (час роботи окремо одного з виконавців) витратять на працю обидва виконавці, якщо працюватимуть разом?»

Розв’яжіть задачі.

1) Батько може скопати рядок за 30 хв, а син — за 40 хв. Якщо вони працюватимуть разом, для того щоб скопати цей рядок, їм потрібно більше чи менше часу, ніж 30 хв? ніж 40 хв?

2) Одна операторка комп’ютерного набору за годину набирає 5 сторінок тексту, а інша — 4 сторінки. Скільки сторінок тексту наберуть за годину обидві операторки разом?

На етапі ознайомлення вводиться задача нової математичної структури, яка являє собою продовження попередньої задачі на знаходження спільної продуктивності праці (задача 2). У цій задачі треба знайти час, за який обидва виконавці виконають певний обсяг роботи.

3) Одна операторка комп’ютерного набору за годину набирає 5 сторінок тексту, а інша — 4 сторінки. За скільки годин вони наберуть 72 сторінки тексту, працюючи разом?

Порівнявши задачу 3 із задачею 2, учні встановлюють, що задача 3 є продовженням задачі 2, і досліджують, як ця зміна впливає на розв’язання задачі 3, — щоб відповісти на запитання цієї задачі, слід виконати ще одну арифметичну дію. Отже, першою арифметичною дією (додаванням) знайшли продуктивність спільної праці, а другою дією (діленням) знайшли час спільної праці і відповіли на запитання задачі. Учитель звертає увагу учнів на те, що в цій задачі запитується про час спільної праці двох виконавців, — це задача на спільну роботу. Учні визначають слова в тексті задачі, які вказують на те, що в ній ідеться про спільну роботу, — це слова «працюючи разом» або їх синоніми.

Зміна ситуації задачі 3 і дослідження впливу цієї зміни на розв’язання задачі. У задачі 3 мова йшла про роботу двох операторок комп’ютерного набору (загальний виробіток — загальна кількість сторінок, продуктивність праці — кількість сторінок за 1 год, час роботи). Пропонуємо учням змінити ситуацію задачі. Припустимо, що працюватимуть два насоси (загальний виробіток — загальна маса води, продуктивність праці — маса води за 1 год, час роботи). Учні складають задачу і встановлюють, що це також задача на спільну роботу, у якій слід знайти час спільної роботи, причому ця зміна не впливає на розв’язання задачі, слід «підправити» тільки пояснення до арифметичних дій.

Зміна числових даних не впливає ні на математичну структуру задачі, ні на план її розв’язування. У записі розв’язання попередньої задачі слід змінити відповідні числа, а пояснення залишаться тими самими.

Узагальнюємо істотні ознаки, математичну структуру та план розв’язування задач на знаходження часу спільної роботи.

Істотні ознаки задач на спільну роботу:

1) три величини: загальний виробіток, продуктивність праці і час роботи;

2) три випадки: перший випадок стосується роботи першого виконавця, другий випадок стосується роботи другого виконавця, а третій — спільної роботи обох виконавців;

3) до перших двох випадків дано продуктивність роботи кожного виконавця;

4) до третього випадку дано загальний виробіток, а час спільної роботи є шуканим.

ПАМ’ЯТКА

Задачі на спільну роботу (шукане — час спільної роботи)

План розв’язування

1. Знаходжу дією додавання продуктивність спільної праці.

2. Знаходжу дією ділення час спільної роботи, відповідаю на запитання задачі.

Зміна шуканого задачі 3 і дослідження впливу цієї зміни на математичну структуру задачі та план її розв’язування. Учні складають обернену задачу на знаходження загального виробітку при спільній роботі (вносять зміни в короткий запис задачі 3).

Обернена задача 1. Одна операторка комп’ютерного набору за годину набирає 5 сторінок тексту, а інша — 4 сторінки. Скільки сторінок тексту вони наберуть за 8 год, якщо працюватимуть разом? Школярі з’ясовують, що математична структура задачі майже не змінилася: задача містить ті самі величини, три випадки (до перших двох випадків дано продуктивність праці кожного виконавця, до третього випадку дано час роботи, а загальний виробіток є шуканим). Це також задача на спільну роботу, тому що запитується про загальний виробіток при спільній роботі. Учні згадують узагальнений план розв’язування задач на спільну роботу і встановлюють, що ця зміна вплине на останню дію — останньою дією буде множення, тому що знаходять загальний виробіток при спільній роботі.

Далі складаємо обернену задачу 2 на знаходження продуктивності першого виконавця (вносимо зміни в короткий запис оберненої задачі 1).

Обернена задача 2. Дві операторки комп’ютерного набору, працюючи разом, за 8 год набрали 72 сторінки тексту. Скільки сторінок тексту за 1 год набирає перша операторка комп’ютерного набору, якщо друга за 1 год набирає 4 сторінки тексту?

Одержуємо також задачу на спільну роботу: вона має ті самі істотні ознаки, що й попередні, але шуканою є продуктивність праці першого виконавця. Ця зміна впливає на розв’язування задачі так: першою дією так само знаходимо продуктивність спільної праці двох виконавців, але не за даними числовими значеннями продуктивності праці кожного виконавця, а за загальним виробітком при спільній праці та за часом спільної праці, дією ділення; другою дією відповідаємо на запитання задачі і знаходимо продуктивність праці першого виконавця дією віднімання.

Школярам пропонується скласти обернену задачу 3 на знаходження продуктивності праці другого виконавця і дослідити вплив цієї зміни на математичну структуру задачі та план її розв’язування.

Після цього узагальнюються істотні ознаки, математична структура задач на спільну роботу та план їх розв’язування.

Істотні ознаки задач на спільну роботу:

1) три пропорційні величини: загальний виробіток, продуктивність праці, час роботи;

2) три випадки: перший стосується роботи першого виконавця, другий — роботи другого виконавця, а третій — спільної роботи двох виконавців;

3) дано продуктивність праці кожного виконавця, а шуканим є: час спільної роботи / загальний виробіток при спільній роботі, або дано загальний виробіток та час при спільній роботі, а шуканим є продуктивність праці одного з виконавців.

ПАМ’ЯТКА

Задачі на спільну роботу та обернені до них задачі

План розв’язування

1. Знаходжу продуктивність спільної роботи дією додавання/ділення.

2. Відповідаю на запитання задачі дією ділення або множення/віднімання.

Детальніше про методику навчання розв’язування задач на спільну роботу див. за посиланням.