Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

2.2.5. Методика вивчення нумерації багатоцифрових чисел
2.2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами в 4 класі
Розділ 2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами

Узагальнення та систематизація нумерації чисел у межах 1000 здійснюється на початку навчального року. Докладніше див. за посиланням.

УСНА ТА ПИСЬМОВА НУМЕРАЦІЯ БАГАТОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ

Очікувані результати навчання здобувачів освіти див. за посиланням.

Наочний і дидактичний матеріал:

✵ лічильні палички — одиниці, пучки лічильних паличок — десятки, пучки лічильних паличок — сотні, пучки лічильних паличок — тисячі;

✵ кружки-намистинки — одиниці, низки кружків-намистинок — десятки, площинки кружків-намистинок — сотні, кубики кружків-намистинок — тисячі;

✵ картки з розрядними числами;

✵ таблиця розрядів і класів.

Усна і письмова нумерації вивчаються паралельно. У деяких підручниках із математики для 4 класу числа вивчаються в порядку збільшення розрядів: чотирицифрові числа; п’ятицифрові числа; шестицифрові числа. Розглянемо введення багатоцифрових чисел у порядку нарощування розрядів.

Фундаментом для вивчення нумерації багатоцифрових чисел є знання нумерації чисел, отримані в 1 класі, тому підготовкою до ознайомлення з чотирицифровими числами є: утворення трицифрових чисел прирахуванням по 1; актуалізація розрядного складу трицифрових чисел; позиційного принципу запису трицифрових чисел; співвідношення відомих лічильних одиниць.

Ознайомлення з нумерацією чотирицифрових чисел

Утворення одиниці другого класу — тисячі — здійснюється шляхом прирахування по 1: учні лічать і записують числа, починаючи з числа 995, до 1000; встановлюють, що за найбільшим трицифровим числом йде найменше чотирицифрове число.

Повторюючи співвідношення лічильних одиниць і їх групування в більші лічильні одиниці, учні доходять висновку.

10 одиниць = 1 десяток

10 десятків = 1 сотня

10 сотень = 1 тисяча

Звертаємо увагу учнів на те, що тисячами можна рахувати так само, як і простими одиницями: можна їх групувати в десятки, сотні і тисячі.

10 одиниць тисяч = 1 десятків тисяч

10 десятків тисяч = 1 сотня тисяч

10 сотень тисяч = 1 тисяча тисяч = 1 мільйон

Спочатку розглядається утворення чисел: 1001, 1002... Учні лічать від 1008 до 1020 тощо; читають числа, проілюстровані за допомогою пучків лічильних паличок — тисяч, сотень і десятків — та окремих лічильних паличок-одиниць.

Діти ознайомлюються з розрядом одиниць тисяч і вчаться читати числа, записані в таблиці розрядів і класів, причому пропонуються числа, у яких відсутні одиниці, або десятки, або сотні, або одиниці кількох розрядів одночасно; називають розрядний склад записаних чисел.

Далі учням пропонується прочитати чотирицифрові числа, які вже не подані в таблиці розрядів і класів: 1005, 1009, 1110, 1214, 1999. Читати чотирицифрові числа починаємо з найвищого розряду: читаємо число тисяч зі словом «тисяч», а друга частина — решта. Наводимо узагальнену пам’ятку.

ПАМ’ЯТКА

Читання багатоцифрових чисел

1. Виділяю число першого класу, відраховую справа наліво три цифри; ліворуч залишається число другого класу.

2. Читаю число другого класу зі словом «тисяч».

3. Читаю число першого класу без слова «одиниць».

Учні вчаться визначати число одиниць кожного розряду, наприклад: число 8456 містить 8 тисяч, 4 сотні, 5 десятків та 6 одиниць.

Школярі записують чотирицифрові числа з вказуванням їхнього розрядного складу: 3 тисячі, 7 сотень, 5 десятків і 8 одиниць; 7 тисяч і 9 одиниць; 7 тисяч і 9 десятків.

Запис чотирицифрових чисел являє собою певні труднощі для молодших школярів. Тому потрібно вчити учнів міркувати за пам’яткою.

ПАМ’ЯТКА

Записування багатоцифрових чисел

1. Записую число класу тисяч. Ставлю за ним три крапки.

2. На місці крапок записую число класу одиниць.

Далі діти записують чотирицифрові числа під диктовку учителя, без вказування розрядного складу числа.

На підставі порядку слідування чисел у натуральному ряді учні виконують додавання і віднімання числа 1. Також учням пропонуються випадки додавання на підставі розрядного складу числа: 1000 + 5, 1000 + 10. У цих випадках міркування здійснюється за відповідною пам’яткою, яка переноситься в нову навчальну ситуацію.

Розглядається утворення двох тисяч: 1999 + 1 = 1000 + (999 + 1) = 1000 + 1000 = 2000.

Учням також пропонується прочитати круглі тисячі: 1000, 2000, ..., 9000, 10 000.

Учні вчаться подавати чотирицифрове число у вигляді суми розрядних доданків, де число кожного розряду подається як окремий доданок; а також виконувати обернене завдання: суму розрядних доданків замінювати числом.

Також учні вчаться визначати загальну кількість одиниць кожного розряду, наприклад, у числі 8456 усього 8 тисяч, 84 сотні, 845 десятків, 8456 одиниць.

Визначати в числі загальну кількість десятків і сотень школярі вже вміють. Для того щоб визначити в числі загальну кількість тисяч, потрібно справа прикрити 3 цифри, тому що розряд тисяч стоїть на четвертому місці в записі числа, — і залишаться лише тисячі.

Розглядається додавання і віднімання розрядних чисел — круглих тисяч на підставі укрупнення розрядних одиниць: 3 + 4; 3 тис. + 4 тис.; 3000 + 4000; 9000 - 6000 тощо.

Ознайомлення з нумерацією п’ятицифрових чисел здійснюється шляхом прилічування до 10 000 числа 1 і отриманням числа 10 001; за цим числом іде 10 002... Учні лічать від 10 000 до 10 012.

Учні ознайомлюються з розрядом десятків тисяч і читають п’ятицифрові числа, які подані в таблиці розрядів і класів; визначають розрядний склад числа. Міркуємо так. Читаємо числа, починаючи з найвищого розряду, — десятків тисяч: спочатку читаємо, скільки всього в числі тисяч, а потім решту. Подають п’ятицифрові числа у вигляді суми розрядних доданків, і навпаки — суму розрядних доданків замінюють п’ятицифровим числом.

На цьому ж уроці пропонується записати п’ятицифрові числа з вказуванням їхнього класного складу: 25 тисяч і 800 одиниць.

Міркуємо так. Спочатку записуємо число тисяч, ставимо три крапки і записуємо числа кожного розряду класу одиниць; крапки, що залишилися, замінюємо нулями.

Далі учні читають п’ятицифрові числа, які не подані в таблиці розрядів і класів. Для того щоб прочитати п’ятицифрове число, потрібно визначити, скільки в ньому всього тисяч; прочитати це число зі словом «тисяч», а потім прочитати решту числа.

Також школярі ознайомлюються з утворенням числа 20 000: 19 999 + 1 = 10 000 + (9999 + 1) = 10 000 + 10 000 = 20 000.

Учні порівнюють п’ятицифрові числа способом порозрядного порівняння. Застосовується алгоритм порозрядного порівняння. Наприклад, потрібно порівняти числа 25 100 і 25 010. Міркуємо так.

✵ Порівняння починаємо з найвищого розряду: в обох числах у найвищому розряді десятки тисяч. Порівнюємо числа десятків тисяч: 2 д. тис. = 2 д. тис.

✵ Переходимо до наступного розряду — одиниць тисяч. Порівнюємо числа одиниць тисяч: 5 од. тис. = 5 од. тис.

✵ Переходимо до наступного розряду — сотень: 1 с. > 0 с.

✵ Робимо висновок: 25 100 > 25 010.

Узагальнюються поняття: трицифрове, чотирицифрове і п’ятицифрове число. Учням пропонується виписати окремо трицифрові, чотирицифрові й п’ятицифрові числа.

Учні визначають загальну кількість десятків тисяч, одиниць тисяч, сотень, десятків і одиниць в п’ятицифровому числі за загальним планом (щоб визначити в числі загальну кількість десятків тисяч, потрібно прикрити в ньому чотири цифри, тому що розряд десятків тисяч стоїть на п’ятому місці; прикривши зліва чотири цифри, залишаться тільки десятки тисяч...).

Знання про загальну кількість одиниць кожного розряду можна застосовувати і при порівнянні чисел. Повернемося до попереднього завдання: порівняти числа 25 100 та 25 010. Міркувати можна ще й так.

✵ Кожне число містить по 25 тисяч.

✵ Порівнюємо кількість сотень кожного числа: перше число містить 251 сотню, а друге — 250 сотень.

✵ Оскільки 251 сотня більше, ніж 250 сотень, робимо висновок, що 25 100 > 25 010.

Ознайомлюючись із нумерацією шестицифрових чисел, учні згадують, що 10 десятків тисяч утворюють нову лічильну одиницю — 1 сотню тисяч, сто тисяч; розглядають утворення числа сто тисяч один: 100 000 + 1 = 100 001 — якщо до 100 000 додати 1, то отримаємо 100 001. Прираховуючи по 1, рахуємо далі: 100 002, 100 003, 100 004, ..., 100 157.

Школярі ознайомлюються з назвою розряду сотень тисяч і читають шестицифрові числа, які записані в таблиці розрядів і класів; з’ясовують, на якому місці в записі числа пишуться одиниці, десятки, сотні, одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч; визначають, скільки в числі всього одиниць кожного розряду.

Учні з’ясовують спосіб отримання числа 200 000:

199 999 + 1 = 200 000;

200 000 = 199 999 + 1 = 100 000 + (99 999 + 1) = 100 000 + 100 000 = 200 000.

Школярі вчаться читати розрядні числа — сотні тисяч: 100 000, 200 000, 300 000, ..., 900 000, 1 000 000. Тисяча тисяч — це мільйон.

Читання шестицифрових чисел здійснюється за наведеною вище пам’яткою.

Учні вчаться записувати числа, наприклад: 125 753 тощо.

Запис шестицифрових чисел також здійснюється за наведеною вище пам’яткою.

Також учні вчаться розкладати шестицифрові числа на суму розрядних доданків, і навпаки — замінювати суму розрядних доданків числом.

Школярі порівнюють числа на підставі порозрядного порівняння, наприклад: 945 145 і 888 888. Міркуємо так.

✵ Порівняння починаємо з найвищого розряду — сотень тисяч: 9 с. тис. > 8 с. тис.

✵ Робимо висновок: 945 145 > 888 888.

Вводиться поняття про клас. При ознайомленні з поняттям «клас» учні дізнаються, що перші три розряди: одиниці, десятки й сотні, — об’єднуються в клас одиниць. Спочатку ми рахували одиницями; потім 10 одиниць згрупували в 1 десяток і рахували десятками; далі 10 десятків, або 100 одиниць, згрупували в 1 сотню і рахували сотнями; отже, усі ці розряди ми отримали в результаті групування одиниць, тому й клас названо — клас одиниць. Об’єднавши 10 сотень, ми отримали нову лічильну одиницю — тисячу — і рахували тисячами. Ми рахували окремими тисячами — одиницями; згрупувавши 10 одиниць тисяч, ми отримали 1 десяток тисяч; згрупувавши 10 десятків тисяч, або 100 тисяч, ми отримали 1 сотню тисяч. Отже, розряди: одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч складають клас тисяч, тому що лічильною одиницею тут є тисяча. Порівнюючи клас одиниць і клас тисяч, учні роблять висновок, що кожний клас містить по три розряди, причому перший розряд — це одиниці, другий — десятки, третій — сотні. Після цього можна запропонувати учням передбачити, скільки розрядів буде в наступному класі мільйонів; як називатимуться ці розряди.

Кожні три розряди справа утворюють клас. Перші три розряди утворюють перший клас — клас одиниць. Другі три розряди утворюють другий клас — клас тисяч; треті три розряди утворюють третій клас — клас мільйонів.

У кожному класі по три розряди. У першому класі І розряд — розряд одиниць, ІІ розряд — розряд десятків, ІІІ розряд — розряд сотень. Починаючи з другого класу, до назв розрядів додається назва класу. У другому класі — класі тисяч — одиниці IV (І) розряду називають одиницями тисяч, одиниці V (ІІ) розряду — десятками тисяч, одиниці VI (ІІІ) розряду — сотнями тисяч. У третьому класі — класі мільйонів — VII (І) розряд — одиниці мільйонів, VIII (ІІ) розряд — десятки мільйонів, IX (ІІІ) розряд — сотні мільйонів.

Наприклад, цифра, яка стоїть на четвертому місці справа, позначає одиниці тисяч, на шостому місці — сотні тисяч тощо.

Школярі читають числа, записані в таблиці розрядів і класів; учаться визначати число одиниць кожного класу в числі. Після цього учням пропонується переписати шестицифрові числа і підкреслити в кожному числі клас тисяч.

Школярі записують числа з вказуванням їхнього класного складу за наведеною вище пам’яткою, наприклад: шістсот сімдесят одиниць класу тисяч і чотириста п’ятдесят одиниць класу одиниць.

Можна пропонувати учням завдання на запис числа з вказуванням числа одиниць кожного розряду першого та другого класів.

1. Запишіть число, яке містить 2 одиниці ІІ розряду першого класу, 7 одиниць ІІІ розряду першого класу, 5 одиниць V (ІІ) розряду другого класу.

[Це число 50 720.]

2. Запишіть число, яке містить 7 одиниць І розряду першого класу, 8 одиниць ІІІ розряду першого класу, 12 одиниць V (ІІ) розряду другого класу.

[Це число 120 807.]

Учні вчаться читати багатоцифрові числа на підставі їх розбиття на класи за наведеною вище пам’яткою.

УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТЬ «ЧОТИРИЦИФРОВЕ», «П’ЯТИЦИФРОВЕ» ТА «ШЕСТИЦИФРОВЕ» ЧИСЛА

Учні визначають загальну кількість сотень тисяч, десятків тисяч, одиниць тисяч, сотень, десятків, одиниць. Для того щоб дізнатися, скільки в числі сотень тисяч, потрібно прикрити в ньому п’ять цифр справа, тому що розряд сотень тисяч стоїть на шостому місці. Для того щоб дізнатися, скільки в числі всього десятків тисяч, потрібно прикрити в ньому справа чотири цифри, тому що розряд десятків тисяч стоїть на п’ятому місці. Учитель повинен досягнути того, щоб учні чітко розпізнавали поняття, наприклад, «загальна кількість десятків» і «цифра десятків» тощо.

Школярі виконують додавання і віднімання числа 1, додавання і віднімання на підставі розрядного складу числа, наприклад: 124 000 + 200, 124 000 + 20, 43 690 - 90, 43 690 - 600. Дії виконуються за загальним алгоритмом.

Далі учні вчаться давати характеристику багатоцифровим числам за планом (наприклад, дамо характеристику числу 56 709).

✵ Найвищий розряд у числі; вид числа (найвищий розряд — десятки тисяч, вид числа — п’ятицифрове число).

✵ Десятковий склад числа; загальна кількість одиниць кожного розряду (у числі 5 десятків тисяч, 6 одиниць тисяч, 7 сотень, 0 десятків і 9 одиниць, або 9 одиниць І розряду першого класу, 0 одиниць ІІ розряду першого класу, 7 одиниць ІІІ розряду першого класу, 6 одиниць IV (І) розряду другого класу, 5 одиниць V (ІІ) розряду другого класу; у числі 56 709 всього 56 тисяч, 567 сотень, 5670 десятків і 56 709 одиниць).

✵ Скільки в числі всього одиниць кожного класу (у числі 56 тисяч і 709 одиниць, або 56 одиниць другого класу та 709 одиниць першого класу).

✵ Подання числа у вигляді суми розрядних доданків, у вигляді суми класних чисел (56 709 = 50 000 + 6000 + 700 + 9, 56 709 = 56 000 + 709).

✵ Які цифри використовуються для запису числа; які повторюються (для запису числа використовуються п’ять різних цифр: 5, 6, 7, 0, 9).

✵ Місце числа в натуральному ряді, «сусіди» числа (попереднє число 56 708, наступне — 56 710).

✵ Способи отримання числа

(56 708 + 1 = 56 709, 56 710 - 1 = 56 709,

50 000 + 6000 + 700 + 9 = 56 709, 56 000 + 709 = 56 709).

ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ

Спосіб лічби, коли 10 одиниць нижчого розряду утворюють 1 одиницю вищого розряду, називається десятковою системою числення. Десяткове групування чисел зумовило появу понять «розряд», «розрядні числа», «розрядні одиниці». Три перші розряди утворюють клас одиниць, а три наступні розряди — клас тисяч. При усній нумерації — при читанні чисел — спочатку читаємо число класу тисяч, а потім число класу одиниць. Письмова нумерація спирається на позиційний принцип запису числа: значення цифри в записі числа залежить від того, яке місце (яку позицію) вона займає. Якщо цифру переставити на 1 позицію ліворуч, то число збільшиться в 10 разів, а якщо праворуч — то число зменшиться в 10 разів.

Зазначимо, що після введення поняття «клас» для порівняння багатоцифрових чисел можна застосовувати спосіб покласного порівняння. Порівнюються числа класу тисяч: більше те число, у якому число класу тисяч більше. Якщо числа класу тисяч рівні, то порівнюємо числа класу одиниць: більше те число, у якому число класу одиниць більше.

Повернемося до завдання: порівняти числа 25 100 та 25 010. Міркуємо так.

✵ У першому числі 25 тисяч і в другому числі 25 тисяч; числа класу тисяч рівні, тому переходимо до порівняння чисел класу одиниць.

✵ У першому числі 100 одиниць, а в другому 10; 100 одиниць більше ніж 10 одиниць, тому 25 100 > 25 010.

Водночас існує й інший підхід, який втілено в деяких підручниках математики. Цей підхід, аналогічно до розгортання нумерації чисел у межах 100 і в межах 1000, передбачає спочатку формування поняття про тисячу як про складену лічильну одиницю, лічбу тисячами — одержання десятків та сотень тисяч. Більш детально розглянемо методичний підхід, коли спочатку вводиться нова лічильна одиниця — тисяча, а потім відразу дається поняття про класи. Цей методичний підхід має назву покласове вивчення нумерації багатоцифрових чисел.

Так само, як і при вивченні нумерації чисел у межах 1000, актуалізуємо знання учнів про лічильні одиниці та їх співвідношення. Учні лічать одиницями, десятками, сотнями. Установлюємо, що 10 од. = 1 д., 10 д. = 1 с., 10 с. = 1 тис. Результати лічби записуємо.

Так, учням пропонується прочитати числа, які записані в кожному стовпчику, у кожному рядку, та відповісти на запитання: «Що в записі чисел кожного стовпчика означають однакові цифри? Якими лічильними одиницями рахували в кожному рядку?» Пропонуємо учням прочитати останнє число третього рядка. Запитуємо, скільки в ньому сотень. Пропонуємо додати ще одну сотню. Запитуємо, скільки буде сотень. [10 сотень складають нову лічильну одиницю — 1 тисячу.]

Запитуємо учнів, чи вважають вони, що тисячі — це новий розряд. Пропонуємо спробувати записати тисячу. Запитуємо, скільки в записі буде нулів.

Пропонуємо порахувати новою лічильною одиницею до дев’яти тисяч та записати одержані числа.

Просимо учнів прочитати останнє число. Запитуємо, скільки в ньому тисяч. Пропонуємо додати ще одну тисячу. Запитуємо, скільки буде тисяч. [10 тисяч складають 1 десяток тисяч.]

Запитуємо учнів, чи вважають вони, що десятки тисяч — це новий розряд. Пропонуємо спробувати записати десяток тисяч. Запитуємо, скільки в записі буде нулів.

Пропонуємо порахувати десятками тисяч до дев’яти десятків тисяч та записати одержані числа.

Просимо учнів прочитати останнє число. Запитуємо, скільки в ньому десятків тисяч. Пропонуємо додати ще один ^_ десяток тисяч. Запитуємо, скільки буде десятків тисяч. [10 десятків тисяч складають 1 сотню тисяч.]

Запитуємо учнів, чи вважають вони, що сотні тисяч — це новий розряд.

Пропонуємо полічити сотнями тисяч та записати одержані числа. [10 сотень тисяч складають 1 тисячу тисяч — 1 мільйон.]

Учні розглядають числа кожного рядка одержаної таблиці.

Просимо школярів назвати числа І розряду — розряду одиниць; числа ІІ розряду — розряду десятків; числа ІІІ розряду — розряду сотень.

Запитуємо учнів, якими лічильними одиницями ми рахували. [Ми рахували одиницями, тому зазначені розряди складають перший клас — клас одиниць.]

Просимо учнів назвати числа IV розряду — розряду тисяч; числа V розряду — розряду десятків тисяч; числа VI розряду — розряду сотень тисяч.

Запитуємо учнів, якими лічильними одиницями ми рахували. [Ми рахували тисячами, тому зазначені розряди складають другий клас — клас тисяч.]

Запитуємо учнів, як вони вважають, чому клас одиниць називається першим класом, а клас тисяч — другим класом.

Пропонуємо порівняти клас одиниць і клас тисяч. Запитуємо, що в них спільне; чим вони відрізняються.

Просимо учнів припустити, скільки розрядів буде в наступному класі — класі мільйонів. Запитуємо, як би вони назвали ці розряди.

Далі аналізується запис розрядних чисел.

Запитуємо, скільки цифр використано для запису чисел у кожному рядку; як називаються такі числа.

Наступним кроком є опрацювання послідовності чисел у натуральному ряді. Учні згадують, як одержати наступне число; лічать, починаючи від 997; доходять висновку, що за найбільшим трицифровим числом йде найменше чотирицифрове число. Школярі визначають місце круглих чисел 1000, 4000, 6000, 8000 тощо в натуральному ряді; лічать у прямому і зворотному порядках у заданих межах (від 1055 до 1072).

Відразу школярі приступають до читання багатоцифрових чисел, що подані в таблиці розрядів і класів.

Після цього учні переходять до запису багатоцифрових чисел у таблиці розрядів і класів із вказуванням їхнього розрядного складу, а далі — і без нього. Нарешті, учні самі записують у зошитах багатоцифрові числа, причому варіації завдань можуть бути такими.

Запишіть числа:

✵ 143 тисячі 456 одиниць, 50 тисяч 8 одиниць, 9 тисяч 324 одиниці, 890 тисяч 56 одиниць, 43 тисячі 10 одиниць, 3 тисячі 435 одиниць, 119 тисяч;

✵ 46 одиниць другого класу та 564 одиниці першого класу, 95 одиниць другого класу та 29 одиниць першого класу, 527 одиниць другого класу та 7 одиниць першого класу, 3 одиниці другого класу і 50 одиниць першого класу;

✵ чотириста двадцять дев’ять тисяч вісімсот тридцять чотири, дев’ятнадцять тисяч сімдесят, вісімсот дев’яносто три тисячі сім, три тисячі двадцять чотири.

На наступному етапі розглядаються способи утворення багатоцифрових чисел з одиниць різних розрядів, а також способом прилічування та відлічування 1. Після цього пропонується порівняти багатоцифрові числа трьома способами (за місцем числа в натуральному ряді, порозрядне і покласне порівняння).

Заміна багатоцифрового числа сумою розрядних доданків вводиться одночасно із заміною суми, у якій одиниці кожного розряду подані окремо, багатоцифровим числом.

І, нарешті, вводяться випадки додавання і віднімання бага- тоцифрових чисел на основі нумерації.

Від визначення загальної кількості одиниць певного розряду учні переходять до заміни круглого числа більшими лічильними одиницями, а від цього — до додавання та віднімання, множення та ділення круглих чисел способом укрупнення розрядних одиниць.