Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

2.2.4. Методика вивчення письмового ділення трицифрового числа на двоцифрове
2.2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами в 4 класі
Розділ 2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами

При письмовому діленні на двоцифрове число виконуються всі розглянуті вище для випадків письмового ділення на одноцифрове число кроки, отже, пам’ятка залишається майже без змін. Зміни відбуваються лише в способі визначення цифр частки. Для добору пробних цифр значення частки використовується спосіб міркування, при якому ділене замінюють найближчим круглим числом, а далі — замінюють кругле число добутком розрядної одиниці і числа. Тому перед вивченням письмового ділення на двоцифрове число доцільно розглянути випадки письмового ділення на кругле число.

ДІЛЕННЯ НА КРУГЛЕ ЧИСЛО

Прийом ділення на кругле число полягає в поданні круглого числа у вигляді добутку числа і розрядної одиниці та в послідовному діленні кожного неповного діленого спочатку на розрядну одиницю, а потім на число.

Тому на етапі актуалізації слід повторити усний прийом послідовного ділення чисел, що закінчуються нулями.

900 : 30 = 900 : (10 • 3) = (900 : 10) : 3 = 90 : 3 = 30

180 : 60 = 180 : (10 • 6) = (180 : 10) : 6 = 18 : 6 = 3

5600 : 800 = 5600 : (100 • 8) = (5600 : 100) : 8 = 56 : 8 = 7

Ознайомлення з письмовим діленням на кругле число пропонуємо здійснити на прикладі ділення трицифрового числа на кругле, а потім перенести новий спосіб дії на випадки ділення багатоцифрових чисел на круглі десятки або круглі сотні.

Ділення починаємо з найвищого розряду: у найвищому розряді 7 сотень, 7 сотень не можна поділити на 30 так, щоб отримати хоча б одну сотню. Переходимо до наступного розряду: маємо 78 десятків — це перше неповне ділене.

Так нераціонально визначати перше неповне ділене, тому що очевидно, що число сотень не можна поділити на двоцифрове число так, щоб отримати хоча б одну сотню. Тому відразу потрібно в діленому ліворуч відділити дві цифри і починати міркувати саме з числа десятків: 78 десятків можна поділити на 30 так, щоб отримати хоча б один десяток, тому 78 десятків — це перше неповне ділене.

Найвищий розряд частки — десятки, тому в частці буде дві цифри.

Ділимо 78 десятків на 30. Для цього число 30 подаємо у вигляді добутку розрядної одиниці 10 та числа 3. Послідовно ділимо число 78 спочатку на 10, а потім — на 3. 78 : 10 ≈ 7 (щоб поділити число на 10, достатньо справа прикрити в числі одну цифру). Одержаний результат ділимо на 3. 7 : 3 ≈ 2. Пишемо в значенні частки на місці десятків цифру 2.

Дізнаємося дією множення, скільки десятків розділилося: 60 десятків розділилося.

Дізнаємося дією віднімання, скільки десятків не розділилося: 18 десятків не розділилося.

Перевіряємо, чи правильно знайдено цифру частки: остача 18 менша за дільник 30. Цифру частки знайдено правильно.

Утворюємо друге неповне ділене: 18 десятків — це 180 одиниць; 180 одиниць — друге неповне ділене.

Ділимо 180 одиниць на 30 послідовно: 180 : 10 = 18, 18 : 3 = 6. Пишемо цифру 6 у частці на місці одиниць.

Дією множення дізнаємося, скільки одиниць розділилося. Розділилося 180 одиниць. Усі одиниці розділилися. Ділення закінчено.

ДІЛЕННЯ ТРИЦИФРОВОГО ЧИСЛА НА ДВОЦИФРОВЕ ЧИСЛО

Першим випадком письмового ділення на двоцифрове число є випадок ділення трицифрового числа на двоцифрове число, коли в значенні частки лише одна цифра. При вивченні цього матеріалу корисно згадати спосіб добору, що застосовувався при усному діленні двоцифрового числа на двоцифрове.

51 поділити на 17 — це означає знайти таке число, яке при множенні на 17 дає 51.

Міркуємо так: знаходимо таке число, яке при множенні на одиниці дільника (7) дає число, яке закінчується одиницями діленого (1), — це число 3, більше таких чисел немає.

тому що [ ] • 17 = 51.

3 — ?

3 • 17 = 51, 51 = 51.

Отже, поділивши 51 на 17, у частці отримаємо 3, тому що 3 помножити на 17 буде 51.

Аналогічно міркуємо при обчисленні часток: 91 : 13; 57 : 19; 98 : 14; 95 : 19; 72 : 36; 60 : 12.

Пропонуємо учням порівняти подані вирази і визначити, що в них спільне. [Спільним є те, що в усіх випадках ділили на двоцифрове число, а також в усіх випадках в значенні частки отримали одноцифрове число. Також в усіх випадках спільним є спосіб обчислення.] Запитуємо, чому в усіх випадках у значенні частки отримали лише одну цифру. [У значенні частки лише одна цифра, тому що число десятків кожного діленого не можна поділити на дільник так, щоб отримати в частці десятки, тому першим неповним діленим буде все число одиниць — і, відповідно, у значенні частки отримаємо лише одну цифру — одиниці.]

Просимо учнів записати вираз: ділене 224, дільник 32 — і з’ясувати, скільки цифр буде в значенні частки. [У дільнику дві цифри, тому в діленому відділяємо зліва також дві цифри, маємо 22 десятки. 22 десятки не можна поділити на 32 так, щоб отримати хоча б один десяток, тому переходимо до наступного розряду одиниць. У діленому всього 224 одиниці. Тому першим неповним діленим буде 224 одиниці. Отже, найвищий розряд у значенні частки — одиниці. Щоб записати одиниці, потрібна лише одна цифра.]

Просимо учнів порівняти подану частку з попередніми і з’ясувати, чим вони схожі [схожі тим, що тут також ділимо на двоцифрове число і в частці отримуємо лише одну цифру]; чим відрізняються [відрізняються діленими: у цьому випадку ділене є трицифровим числом].

Запитуємо учнів, чи можна при розв’язуванні міркувати так само, як і в попередніх випадках.

Спробуємо: число 224 поділити на 32 — це означає знайти таке число, яке при множенні на 32 дає 224. Прикинемо, які числа слід випробовувати множенням: знайдемо таке число, яке при множенні на одиниці дільника (2) дає число, що закінчується одиницями діленого (4), — це числа 2 та 7. Лише ці числа будемо випробовувати множенням.

тому що [ ] • 32 = 224.

2; 7 — ?

2 • 2 = 4, 2 • 32 = 64, 64 ≠ 224;

7 • 2 = 14, 7 • 32 = 224, 224 = 224.

Після виконання завдання запитуємо в учнів, перед якими труднощами вони постали при обчисленні цього виразу. [Важко було усно множити 7 на 32, тому що в добутку отримуємо трицифрове число.]

Пропонуємо учням інший спосіб запису розв’язання — куточком.

Для закріплення в учнів вміння виконувати письмове ділення, пропонуємо знайти значення частки чисел 425 і 85. У дільнику дві цифри, тому в діленому зліва відділяємо дві цифри, — маємо 42 десятки. 42 десятки не можна поділити на 85 так, щоб отримати хоча б один десяток, тому переходимо до розряду одиниць. 425 одиниць — перше неповне ділене.

Визначимо найвищий розряд та кількість цифр у значенні частки. Перше неповне ділене 425 одиниць, тому в частці отримаємо одиниці в найвищому розряді, отже, у частці буде лише одна цифра; поставимо одну крапку на місці цифр значення частки.

Запитуємо в учнів, як слід міркувати при визначенні частки. [Потрібно прикинути: знайти такі числа, які при множенні на одиниці дільника (5) дають числа, які закінчуються на одиниці діленого (5). Це такі числа: 3, 5, 7, 9. Випробуємо їх множенням: 3 • 85 = 255, не отримали ділене. Випробуємо число 5: 5 • 85 = 425, отримали ділене. Тому значення частки — 5.]

Випробовувати декілька чисел множенням дійсно незручно, довго. Тому будемо прикидати, яке саме з обраних чисел слід випробовувати множенням. Розглянемо приклад.

Для того щоб прикинути, яке з двох чисел є часткою, замінимо дільник меншим круглим числом.

Запитуємо учнів, як поділити на кругле число. [Число 50 потрібно подати у вигляді добутку розрядної одиниці і числа: 10 та 5 — і послідовно поділити спочатку на розрядну одиницю, а потім одержаний результат поділити на число.]

Отже, 468 спочатку поділимо на 10, а потім на 5: 468 : 10 ≈ 46, 46 : 5 ≈ 9.

Тому будемо множити число 9 на 52. Записуємо відразу цифру 9 у значенні частки і виконуємо множення.

Після цього пропонуємо учням замінити дільник ближчим меншим круглим числом і знайти значення часток: 150 : 75; 406 : 58; 195 : 65; 464 : 58.

Після того як учні виконали завдання, просимо їх пояснити, що вони робили на кожному з етапів обчислення, і пропонуємо їм порівняти свої дії з пам’яткою.

ПАМ’ЯТКА

Спосіб добору значення частки

1. Добираю числа, множення яких на одиниці дільника дає результат, що закінчується одиницями діленого.

2. Дільник замінюю найближчим меншим круглим числом.

3. Подаю кругле число у вигляді добутку 10 і числа.

4. Ділю ділене спочатку на 10, потім одержане число ділю на другий множник.

5. Серед виписаних чисел вибираю найближче до отриманого числа. Це число і є значенням частки.

Далі учні ознайомлюються з випадками ділення трицифрового числа на двоцифрове число, коли в значенні частки дві цифри. До цього моменту учні вже знають алгоритм письмового ділення на одноцифрове число, вміють прикидати цифри частки способом заміни дільника меншим круглим числом та способом поступового ділення діленого спочатку на 10, а потім на число. Тому ці вміння слід актуалізувати і перенести в нову ситуацію.

З цією метою пропонуємо учням знайти значення частки чисел 828 та 36.

Записуємо числа куточком. Визначаємо перше неповне ділене: у дільнику дві цифри, тому в діленому відділяємо ліворуч також дві цифри — отримуємо 82 десятки; 82 десятки можна поділити на 36 так, щоб отримати хоча б один десяток. Отже, перше неповне ділене — 82 десятки. Тому найвищий розряд у значенні частки — десятки, а отже, у значенні частки буде дві цифри.

Просимо учнів пояснити, як потрібно міркувати, щоб 82 десятки поділити на 36. Запитуємо, що можна зробити, щоб прикинути, яка цифра буде першою цифрою в значенні частки. [Потрібно дільник 36 замінити меншим круглим числом 30. Число 30 можна подати у вигляді добутку чисел 10 та 3. Перше неповне ділене 82 поділимо спочатку на 10, а потім на 3.

82 : 10 ≈ 8, 8 : 3 ≈ 2. 2 — перша цифра значення частки, записуємо її на місці десятків.]

Запитуємо в учнів, як дізнатися, скільки десятків розділилося. [Щоб дізнатися, скільки десятків розділилося, потрібно 2 помножити на 36. 72 десятки розділилося.]

Просимо учнів визначити, скільки десятків не розділилося. [Від першого неповного діленого — 82 десятків — слід відняти 72 десятки. 10 десятків не розділилося.]

Просимо учнів пояснити, як перевірити, чи правильно знайдено цифру значення частки. [Потрібно порівняти остачу з дільником: 10 менше від 36, остача менша від дільника, отже, цифру значення частки знайдено правильно.]

Пропонуємо учням пояснити спосіб міркування, щоб утворити друге неповне ділене. [Залишилося 10 десятків — це 100 одиниць — і в діленому є ще 8 одиниць; отже, 108 одиниць — друге неповне ділене.]

Просимо учнів розказати, як визначити другу цифру значення частки. [Потрібно 108 спочатку поділити на 10, а потім одержаний результат поділити на 3 — 108 : 10 ≈ 10, 10 : 3 ≈ 3. Пишемо цифру 3 на місці другої цифри значення частки.]

Пропонуємо учням з’ясувати, скільки одиниць розділилося [розділилося 108 одиниць]; скільки одиниць не розділилося [усі одиниці розділилися]. Ділення закінчено.

Закріплення отриманих знань здійснюється під час обчислення часток: 768 : 32; 494 : 38; 546 : 21; 552 : 24.

Не завжди отримана таким чином цифра частки підходить. Іноді при множенні знайденої цифри частки на дільник отримуємо число, більше за неповне ділене. Тому слід ознайомити учнів зі способом прикидки пробних цифр значення частки.

З цією метою просимо учнів записати під диктовку вираз і знайти його значення: ділене 952, дільник 34.

Записуємо ділене і дільник. Відділяємо дільник куточком. Визначаємо перше неповне ділене. Для цього в дільнику підраховуємо кількість цифр — дві цифри, тому в числі 952 ліворуч відділяємо також дві цифри; отримуємо 95 десятків. 95 десятків можна поділити на 34 так, щоб отримати десятки, тому 95 десятків є першим неповним діленим. Оскільки 95 десятків — перше неповне ділене, то найвищим розрядом у значенні частки будуть десятки, тобто дві цифри; ставимо дві крапки на місці цифр значення частки. Знаходимо першу цифру значення частки. Для цього 34 замінюємо найменшим круглим числом 30. 30 — це 10, помножене на 3. Отже, 95 поділимо спочатку на 10, а потім на 3. 95 : 10 ≈ 9, 9 : 3 ≈ 3. Запишемо цифру 3 на місці першої цифри значення частки. Дізнаємося, скільки десятків поділилося дією множення.

Запитуємо учнів, що цікаве вони помітили; чи можна від 95 відняти 102. [Ми не можемо від меншого числа відняти більше. У нас лише 95 десятків, але виходить, що поділилося 102 десятки, а це неможливо. Це свідчить про те, що цифра десятків частки знайдена неправильно.]

Так, не завжди, міркуючи способом заміни дільника меншим круглим числом, ми отримуємо правильну цифру значення частки. Отримані цифри потрібно перевіряти.

Отже, цифра 3 — це пробна цифра значення частки, її потрібно перевірити. Можна перевірити множенням, як ми і зробили, а можна прикинути. Як ми вже впевнилися, прикидати легше, ніж обчислювати. Тому прикинемо.

При перевірці пробних цифр значення частки прикидають так. Отримане число множать на десятки дільника: 3 • 30 = 90. Визначають, що залишиться від неповного діленого: 95 - 90 = 5. Порівнюють остачу з добутком «пробної цифри» значення частки 3 на одиниці дільника 4. Очевидно, що 5 < 3 • 4. 5 не вистачить, щоб 3 помножити на 4. Тому цифра 3 не підходить, потрібно взяти на одиницю менше — 2.

Перевіримо цифру 2. Для цього 2 множимо на десятки діленого: 2 • 30 = 60. Визначаємо, скільки залишилося від неповного діленого: 95 - 60 = 35. Порівнюємо остачу 35 з добутком числа 2 на число одиниць 4 — 35 > 2 • 4. 35 вистачить, щоб 2 помножити на 4. Тому цифра 2 підходить, пишемо її в значенні частки.

Визначаємо, скільки десятків розділилося [68 десятків]; скільки десятків не розділилося [27 десятків]; перевіряємо остачу [остача менша за дільник, тому ділення виконано правильно].

Утворюємо друге неповне ділене. [Залишилося 27 десятків — це 270 одиниць — та ще 2 одиниці діленого, буде 272 одиниці — це друге неповне ділене.]

Знаходимо другу цифру значення частки. [272 поділимо спочатку на 10, а потім на 3. 272 : 10 ≈ 27, 27 : 3 ≈ 9.]

Перевіряємо отриману другу цифру значення частки. Для цього множимо її на десятки дільника: 9 • 30 = 270; визначаємо, скільки залишилося від неповного діленого: 272 - 270 = 2; порівнюємо остачу 2 з добутком пробної цифри 9 на одиниці діленого: 2 < 9 • 4, 2 не вистачить, щоб 9 • 4, тому цифра 9 не підходить. Візьмемо на одиницю менше — 8. Перевіримо її. Помножимо 8 на десятки дільника: 8 • 30 = 240. Визначимо, скільки залишиться від неповного діленого: 272 - 240 = 32. Порівнюємо остачу 32 з добутком «пробної цифри» значення частки 8 на одиниці дільника 4 — 32 = 8 • 4; 32 вистачить, щоб 8 • 4, тому цифра 8 є другою цифрою значення частки; запишемо її на другому місці.

Визначаємо, скільки одиниць розділилося [272 одиниці]; скільки одиниць не розділилося [усі одиниці розділилися, ділення закінчено].

Зазначимо, що останню цифру значення частки можна шукати таким самим способом, як при діленні трицифрового числа на двоцифрове, коли в значенні частки одержуємо одну цифру.

ПАМ’ЯТКА

Спосіб прикидки пробних цифр значення частки

1. Множу «пробну цифру» значення частки на десятки дільника.

2. Віднімаю від неповного діленого одержаний результат.

3. Порівнюю остачу і добуток «пробної цифри» значення частки на одиниці дільника:

✵ якщо остача є більшою за добуток або дорівнює йому, то пробна цифра підходить;

✵ якщо остача менша за добуток, то пробна цифра не підходить і слід взяти цифру, що є на одиницю меншою.

З метою закріплення способу перевірки пробних цифр значення частки учням пропонується виконати ділення письмово: 912 : 24; 546 : 26; 912 : 24; 828 : 36; 925 : 37.

Далі учні виконують письмове ділення трицифрового числа на двоцифрове з остачею. Міркування здійснюються за відомим алгоритмом, але, на відміну від ділення націло, не всі одиниці діленого розділяться, тому слід ще раз остачу порівняти з дільником і зробити висновок про правильність знайденої цифри значення частки.