Методика навчання математики: теорія і практика - Л.В. Коваль, С.О. Скворцова 2011

Тема 3. Методика навчання письмового множення та ділення в межах 1000
Теоретичний блок
Змістовий модуль 7. Методика навчання арифметичних дій (множення та ділення) та формування обчислювальних умінь і навичок

Наочні посібники та дидактичний матеріал

Демонстраційні: пам'ятки, які демонструють окремі випадки обчислень.

Індивідуальні: пам'ятки та картки з друкованою основою.

Ознайомлення з письмовим прийомом множення та письмовим прийомом ділення на одноцифрове число за методичною системою М.В. Богдановича відбувається в концентрі «Тисяча», а за методикою Л.П. Кочиної - у концентрі «Багатоцифрові числа».

Більш детально розглянемо методичний підхід, який відповідає Державному стандарту початкової загальної освіти.

Письмове множення трицифрового на одноцифрове число

Ознайомлення з письмовим прийомом множення.

Введення нового прийому слід мотивувати. Для цього учням пропонується обчислити усно значення добутку:

213 ∙ 3 = (200 + 10 + 3) ∙ 3 = 200 ∙ 3 + 10 ∙ 3 + 3 ∙ 3 = 600 + 30 + 9 = 639.

Учні помічають, що так міркувати дуже довго, і вчитель пропонує їм інший прийом - письмовий:

Пам'ятка

Письмове множення

1. Підписую числа стовпчиком: другий множник - одноцифрове число - пишу під одиницями першого множника.

2. Множення починаю з розряду одиниць. Множу одиниці першого множника на другий множник. Дістаю одиниці. Результат записую під одиницями.

3. Переходжу до множення десятків. Множу десятки першого множника на другий множник. Дістаю десятки. Результат записую під десятками.

4. Переходжу до множення сотень. Множу сотні першого множника на другий множник. Дістаю сотні. Результат записую під сотнями.

5. Читаю значення добутку.

Корисно порівняти усний та письмовий прийом множення. При усному множенні починаємо з найвищого розряду, а при письмовому - навпаки, з нижчого. При усному множенні розв'язання записуємо в рядок, а при письмовому - у стовпчик.

Спочатку опрацьовуються випадки множення двоцифрового числа на одноцифрове без переходу через розряд. У подальшому навчанні учні знайомляться з випадками множення з переходом через розряд десятків. Переносимо дану ООД на випадки множення трицифрового числа на одноцифрове. Далі пропонуються випадки множення трицифрових чисел на одноцифрові, коли є перехід через розряд сотень: 182 ∙ 3; 151 ∙ 6. І лише після цього доцільно розглядати множення трицифрових чисел на одноцифрові з двома переходами через розряд: 164 ∙ 4, 268 ∙ 3. Певне місце належить випадкам множення, коли в запису трицифрового числа в середині є нуль: 207 ∙ 4.

Зазначимо, що від розгорнених міркувань з промовлянням назв розрядів, що множаться і що отримуються, переходимо до скорочених міркувань, коли опускаються назви розрядних одиниць.

Доцільно познайомити учнів з прикидкою відповіді при множенні: при множенні на одноцифрове число в добутку дістаємо стільки цифр, скільки їх у першому множнику або на одну цифру більше!

Письмове ділення трицифрового числа на одноцифрове

Письмове ділення - це складна дія, яка передбачає виконання послідовних дій, що самі по собі теж складаються з певних операцій:

1) визначення 1-го неповного діленого;

2) визначення найвищого розряду частки;

3) визначення кількості цифр у частці;

4) виконання ділення з остачею під час ділення неповного діленого на дільник;

5) визначення числа одиниць певного розряду, що розділилися;

6) визначення числа одиниць певного розряду, що не розділилися;

7) перевірка правильності відповідної цифри частки;

8) утворення наступного неповного діленого.

При засвоєнні складної дії, кожна з елементарних повинна бути в учнів сформована окремо як самостійна дія.

Ознайомлення з письмовим прийомом ділення

Випадки ділення, коли неповні ділені - це розрядні доданки діленого. На цьому матеріалі доцільно мотивувати введення нового прийому письмового ділення - куточком. Наприклад, учням пропонується усно обчислити значення частики 639 і 3. Діти впевнюються, що такий запис дуже довгий, тому вчитель показує інший прийом - запис у «куточок»:

Отже, спочатку доцільно розглядати лише такі випадки письмового ділення, коли розрядні доданки є неповними діленими:

842 : 2 884 : 4 963 : 3

Алгоритм міркувань:

1) Відділяю дільник від діленого куточком.

2) Визначаю перше неповне ділене; міркую так:

- ділення починаю з найвищого розряду;

- читаю число одиниць найвищого розряду діленого - це і є перше неповне ділене;

3) Визначаю першу цифру частки: для цього ділю перше неповне ділене на дільник.

4) Визначаю, скільки сотень розділилося, для цього:

- множу першу цифру частки на дільник;

- роблю висновок:___ сотень розділилося.

5) Визначаю наступне неповне ділене.

6) Визначаю наступну цифру частки дією ділення.

7) Визначаю, скільки одиниць певного розряду розділилося дією множення.

Повторюю міркування, починаючи з пункту 5.

На наступному етапі розглядаються випадки письмового ділення, коли друге неповне ділене утворюється з остачі та десятків діленого. Учням пропонується знайти значення частки письмово з розгорненими поясненнями: 884 : 4. Після цього ділене дещо змінюється. З'ясовуємо, як ця зміна вплине на розв'язання: 864 : 4. Діти виконують дії за відомим алгоритмом (орієнтувальною основою дії - ООД) до тієї миті, коли, помноживши другу цифру частки на дільник, ми отримуємо 4 десятки, тобто число менше за друге неповне ділене.

З цього кроку міркування здійснюються за алгоритмом.

1. Визначаю, скільки десятків не розділилося, для цього:

- підписую під неповним діленим число десятків, що розділилися;

- віднімаю це число з неповного діленого;

- роблю висновок:____десятків не розділилося - це остача.

2. Перевіряю, чи правильно знайдена цифра частки:

- порівнюю остачу з дільником;

- роблю висновок:

•  якщо остача менша за дільник ,то частка знайдена правильно;

•  якщо остача більша або рівна дільнику ,то частка знайдена неправильно, слід перевірити ділення.

3. Створюю третє неповне ділене, для цього:

- остачу: ____ десятків подаю в одиницях;

- визначаю, скільки в діленому одиниць;

- додаю до остачі кількість одиниць діленого;

- читаю отримане число одиниць - це третє неповне ділене.

Дещо складнішим є випадок ділення, коли число найвищого розряду діленого менше за дільник, і тому перше неповне ділене - двоцифрове число десятків. Учням пропонуємо пояснити, використовуючи пам'ятку, як письмово виконане ділення.

З'ясовуємо, чи відрізняються розв'язання? Як міркували при визначенні першого неповного діленого в першій частці? Чи можна так само міркувати в другому випадку? Чому?

Якщо число одиниць найвищого розряду не можна поділити на дільник, щоб отримати хоч би одну одиницю цього розряду, то слід міркувати за пам'яткою - алгоритмом (ООД).

1. Ділення починаємо з найвищого розряду, тому читаю число одиниць найвищого розряду діленого.

2. Дивлюсь, чи можна розділити це число на дільник так, щоб отримати такі самі розрядні одиниці:

Так - це є перше неповне ділене;

Ні - переходжу до пункту 3.

3. У діленому виділяю число одиниць наступного розряду - це є перше неповне ділене.

Уже на цьому етапі можна запропонувати учням здійснювати перевірку правильності виконання дії ділення оберненою дією - множенням.

Наступним кроком є письмове ділення, коли друге та третє неповні ділені утворюються з остачі та одиниць певного розряду діленого. Після визначення числа сотень, що розділилися, учні з'ясовують, що не всі сотні поділилися. Ми вже зустрічалися з подібним випадком ділення і тому міркуємо аналогічно.

Випадки, коли в середині запису частки є нуль, є одними з найскладніших.

Пам'ятка

Визначаю, чи ділиться друге неповне ділене на дільник, щоб дістати десятки:

так - виконую ділення,

ні - міркую так:

а) друге неповне ділене не можна розділити на дільник так, щоб отримати десятки, тому в частці на місці десятків пишу нуль, а друге неповне ділене є остачею,

або:

б) при діленні меншого числа на більше в частці дістанемо нуль, а в остачі дістанемо це число.

Таким чином, основні кроки письмового ділення дітьми вже засвоєні, але для повноцінного формування дії слід урахувати й можливість самоконтролю. З цією метою розглядаємо питання про найвищий розряд частки та кількість цифр у частці.

Пам'ятка

Визначення найвищого розряду частки й кількості цифр

1. Дивлюсь, в яких одиницях виражено перше неповне ділене. Роблю висновок: такий самий розряд буде найвищим у частці.

2. Думаю, скільки цифр потрібно, щоб записати число з таким найвищим розрядом. Роблю висновок про кількість цифр частки.

Прикидка відповіді при діленні

При діленні на одноцифрове число в частці отримаємо стільки цифр, скільки їх у дільнику або на одну цифру менше!

У процесі засвоєння письмового прийому ділення пояснення поступово скорочуються. При короткому поясненні спочатку називають перше неповне ділене і встановлюють кількість цифр у частці. Далі коротко пояснюється виконання решти операцій: називають тільки відповідні арифметичні дії й результати їх виконання.

Пам'ятка.

Письмове ділення

1. Відділяю ділене від дільника куточком.

2. Визначаю перше неповне ділене.

3. Визначаю найвищий розряд частки.

4. Визначаю кількість цифр у частці.

5. Ділю перше неповне ділене на дільник. Записую першу цифру частки.

6. Визначаю, скільки одиниць даного розряду поділилося.

7. Визначаю, скільки одиниць даного розряду не поділилося.

8. Перевіряю, чи правильно знайдена цифра частки: порівнюю остачу з дільником.

9. Утворюю наступне неповне ділене.

10. Ділю наступне неповне ділене на дільник. Записую наступну цифру частки.

Повторюю далі хід міркування, починаючи з пункту 6.

Письмове множення та ділення на круглі числа

З метою підготовчої роботи до письмового ділення на двоцифрове число корисним буде ознайомлення дітей з діленням з остачею на розрядну одиницю. Наприклад: якщо числа не закінчуються нулями, то вони діляться на розрядну одиницю з остачею. Виконай ділення з остачею і зроби перевірку:

567 : 10 828 : 100 455 : 10 986 : 100

Наприклад: 567 : 10 = 56 (ост. 7)

Пам'ятка

Ділення з остачею на розрядну одиницю можна виконати так: прикрити в числі справа стільки цифр, скільки нулів у дільнику; цифри, що залишилися, утворюють неповну частку; рештою цифр записана остача.

Доцільно також навчити школярів усного ділення з остачею на розрядне число десятків. Наприклад, треба 78 : 20. Дільник 20 замінюємо добутком числа 2 та розрядної одинці 10. 78 спочатку ділимо на 10, прикриваючи одну цифру праворуч, одержимо приблизно 7; тепер 7 ділимо на 2 й маємо приблизно 3. Обчислюємо остачу: 3 ∙ 20 = 60, 78 - 60 = 18, 18 < 20.

78 : 20 = 3 (ост. 18)

І, нарешті, доцільно повторити алгоритм письмового множення на одноцифрове число.

Методика введення множення двоцифрового числа на розрядне число десятків аналогічна попередній, а саме: дітям пропонується обчислити значення добутку письмово 26 і 3. Змінюємо другий множник і знаходимо добуток 26 та 30. Але перед цим з'ясовуємо, як змінився другий множник. Згадуємо, як множимо на розрядне число, і доходимо висновку, що треба 26 помножити на 3, а потім праворуч приписати один нуль. Тому числа підписують у стовпчик так, щоб нуль залишився праворуч, виконують множення не звертаючи уваги на нуль, і до одержаного результату приписують праворуч один нуль.

Виконуючи перевірку попереднього випадку множення, згадуємо, як можна усно поділити число на кругле число, а далі пояснюємо, як виконується ділення письмово.

Ділення починаємо найвищого розряду: найвищому розряді 7 сотень; 7 сотень не можна розділити на 30, щоб отримати хоч би одну сотню. Переходимо до наступного розряду: маємо 78 десятків - це перше неповне ділене. Так нераціонально визначати перше неповне ділене, тому що, очевидно, число сотень не можна поділити на двоцифрове число так, щоб отримати хоч би одну сотню. Тому відразу треба в діленому ліворуч відділити дві цифри і починати міркувати саме з числа десятків: 78 десятків можна поділити на 30 так, щоб отримати хоч би один десяток, тому 78 десятків - це перше неповне ділене.

Найвищий розряд частки - десятки, тому в частці буде дві цифри.

Ділимо 78 десятків на 30. Для цього число 30 подаємо у вигляді добутку розрядної одиниці 10 та числа 3. Послідовно ділимо: 78 : 10 приблизно буде 7 (щоб поділити число на 10, достатньо праворуч прикрити в числі одну цифру), 7 : 3 - приблизно буде 2. Пишу в частці на місці десятків цифру 2.

Дізнаємося дією множення, скільки десятків розділилося (60 десятків розділилося).

Дізнаємось дією віднімання, скільки десятків не розділилося (18 десятків не розділилося).

Перевіряємо, чи правильно знайдена цифра частки (остача 18 менша за дільник 30, отже, цифру частки знайдено правильно).

Утворюємо друге неповне ділене (18 десятків - це 180 одиниць; 180 одиниць - друге неповне ділене).

Ділимо 180 одиниць на 30 послідовно: (180 : 10 = 18, 18 : 3 = 6. Записуємо цифру 6 у частці на місці одиниць).

Дією множення дізнаємося скільки одиниць розділилося. (Розділилося 180 одиниць. Усі одиниці розділилися. Ділення закінчено).

Письмове множення на двоцифрове число

Ознайомлення з письмовим прийомом множення на двоцифрове число здійснюється через обчислення добутку двох двоцифрових чисел на підставі правила множення числа на суму. Учні впевнюються в нераціональності міркувань. Наприклад: 36 ∙ 27 = 36 ∙ (20 + 7) = 36 ∙ 20 + 36 ∙ 7 = 720 + 252 = 972

Добутки 720 і 252 називають неповними, склавши їх, отримаємо добуток чисел 36 та 27, він дорівнює 972. Учитель показує іншу форму запису та інший прийом обчислення добутку - письмовий - у стовпчик:

Підписуємо числа стовпчиком: одиниці під одиницями, десятки під десятками. Множимо одиниці другого множника на перший: 7одиниць множимо на 36, отримаємо 252 одиниці - перший неповний добуток; множимо 2 десятки на 36, отримаємо 72 десятки - другий неповний добуток; додамо обидва неповні добутки - отримаємо добуток.

Зауваження: нуль наприкінці другого неповного добутку можна не писати, тому що, додавши число одиниць першого неповного добутку з нулем, завжди отримаємо число одиниць першого неповного добутку. У подальшому не будемо писати цей нуль, але при множенні десятків почнемо підписувати другий неповний добуток під десятками першого неповного добутку.

Отже, перший неповний добуток завжди виражений одиницями, а другий неповний добуток - десятками.

Пам'ятка

Письмове множення на двоцифрове число

1. Підписуємо множники стовпчиком.

2. Множення починаємо з одиниць. Множимо одиниці другого множника на перший множник. Дістаємо одиниці - це перший неповний добуток. Результат починаємо записувати з розряду одиниць.

3. Множимо десятки другого множника на перший множник. Дістаємо десятки - це другий неповний добуток. Результат починаємо писати під десятками.

4. Додаємо неповні добутки - дістаємо (повний) добуток.

Письмове ділення на двоцифрове число

Письмове ділення на двоцифрове число вводиться на випадках ділення, коли частка записується однією цифрою. На етапі актуалізації доцільно повторити усний прийом ділення на двоцифрове число на підставі конкретного змісту дії ділення. Міркуємо в наступний спосіб: число 51 поділити на 17 - це означає знайти таке число, яке при множенні на 17 дає 51. Не будемо підбирати числа по черзі від 1-го, а скористаємося прикидкою: шукаємо таке число, яке при множенні на одиниці дільника (7), дає число, яке закінчується одиницями діленого (1); це число 3, більше таких чисел немає. Перевіряємо його: 3 ∙ 17 = 51, тому 51 : 17 = 3.

224 поділити на 32 - це означає знайти таке число, яке при множенні на 32 дає 224. Прикинемо, які числа слід випробувати множенням: знайдемо таке число, яке при множенні на одиниці дільника - 2 дає число, що закінчується одиницями діленого - 4; це числа 2 та 7. Лише ці числа будемо випробувати множенням.

Пам'ятка

1. Відділяю в діленому стільки цифр, скільки їх у дільнику. Читаю отримане число з назвою розрядних одиниць.

2. Думаю, чи можна це число розділити на дільник так, щоб отримати одиниці цього ж розряду?

Так - це перше неповне ділене.

Ні - відділяю ще одну цифру. Читаю отримане число - це перше неповне ділене.

3. Визначаю найвищий розряд і кількість цифр у частці.

4. Ділю перше неповне ділене на дільник:

Прикидаю: шукаю таке число, яке при множенні на одиниці дільника дає результат, що закінчується одиницями діленого. Випробую ці числа. Записую відповідне в діленому.

5. Дізнаюсь, скільки одиниць розділилося дією множення.

6. Дізнаюсь, скільки одиниць не розділилося дією віднімання.

Якщо в результаті міркувань визначаються кілька цифр, які при множенні на одиниці дільника дають результат, що записується одиницями діленого, то можна навчити учнів прикидати, яке саме з обраних чисел слід випробувати множенням. Наприклад, при діленні 468 на 52 замінимо дільник меншим круглим числом: 52 замінимо на 50; 50 = 10 ∙ 5. Щоб поділити 468 на 50, спочатку 468 поділимо на 10, одержимо приблизно 46, а далі 46 поділимо на 5, приблизно буде 9. Тому випробувати множенням будемо лише число 9.

Проведена робота є добрим підгрунтям для розгляду випадків ділення трицифрового числа на двоцифрове, коли частка записується двома цифрами, що подаються на наступному етапі навчання.

Знайдемо значення частки чисел 828 та 36. Записуємо числа куточком. Визначаємо перше неповне ділене: в дільнику 2 цифри, тому в діленому відділяємо ліворуч також дві цифри - отримуємо 82 десятки; 82 десятки можна поділити на 36 так, щоб отримати десятки. Таким чином, перше неповне ділене 82 десятки, тому в частці найвищим розрядом будуть десятки, а значить це дві цифри.

Щоб 82 десятки поділити на 36, треба дільник 36 замінити меншим круглим числом 30. Число 30 можна подати у вигляді добутку 10 та 3. Перше неповне ділене 82 поділимо спочатку на 10, а потім на 2. 82 : 10 ≈ 8, 8 : 3 ≈ 2. 2 - перша цифра частки; записуємо її на місці десятків.

Щоб дізнатися, скільки десятків поділилося, треба 2 помножити на 36. 72 десятки розділилися.

Щоб дізнатися, скільки десятків не розділилися, треба від першого неповного діленого - 82 десятків відняти 72 десятки. Маємо 10 десятків, що не розділилися.

Перевіряємо, чи вірно знайдена цифра частки, порівнюємо остачу з дільником: 10 менше 36 - остача меша за дільник.

Утворюємо друге неповне ділене. Міркуємо так: залишилося 10 десятків - це 100 одиниць, та в діленому є 8 одиниць; таким чином, 108 одиниць - друге неповне ділене.

Визначаємо другу цифру частки: треба 108 спочатку поділити на 10, а потім поділити на 3. 108 : 10 ≈ 10, 10 : 3 ≈ 3. Пишемо цифру 3 на місці другої цифри частки.

Дізнаємося, скільки одиниць розділилося дією множення. Розділилося 108 одиниць. Дізнаємось, скільки одиниць не розділилося дією віднімання. Усі одиниці розділилися, ділення закінчено.

На заключному етапі розглядаються випадки ділення з остачею.