Методика навчання математики: теорія і практика - Л.В. Коваль, С.О. Скворцова 2011

Тема 4. Методика навчання письмового множення та ділення багатоцифрових чисел
Теоретичний блок
Змістовий модуль 7. Методика навчання арифметичних дій (множення та ділення) та формування обчислювальних умінь і навичок

Вивчення теми базується на знаннях письмового прийому множення (ділення) та вміннях їх виконувати в межах трицифрових чисел. При опануванні даної теми учні мають перенести наявні знання та вміння на випадки множення й ділення багатоцифрового числа на одноцифрове та двоцифрове (трицифрове) й набути досвіду у виконанні цих дій.

Письмове множення багатоцифрового числа на одноцифрове

Перенесення алгоритму письмового множення трицифрових чисел на одноцифрові на випадки множення багатоцифрових чисел на одноцифрові можна зробити в наступний спосіб.

Учням пропонується порівняти добутки:

- Чи може допомогти перший добуток в обчисленні значення другого добутку?

- Чи може другий добуток допомогти обчислити значення третього добутку?

- Порівняйте міркування при множенні цих чисел на одноцифрове число. Який висновок можна зробити?

Множення багатоцифрового числа на одноцифрове число виконується так само, як і множення трицифрового числа на одноцифрове.

При письмовому множенні можна пояснювати розв'язання коротко, не називаючи кожний раз одиниці якого розряду множать. Наприклад: 8 множу на 6 -отримую 48, 8 пишу, 4 запам'ятовую; 5 множу на 6, отримую 30, та 4 - буде 34, 4 пишу, 3 запам'ятовую; 1 множу на 6 - отримую 6, та 3 - буде 9, пишу 9; 7 множу на 6 - буде 42, пишу 42.

Множення одноцифрового числа на багатоцифрове

Прийом множення одноцифрових чисел на багатоцифрові призводиться до раніш розглянутого прийому множення багатоцифрового числа на одноцифрове через перестановку множників.

Ділення багатоцифрових чисел на одноцифрові

Спочатку розглядаються випадки, коли число одиниць вищого розряду не менше за дільник та в запису частки немає нулів. Далі розглядаються випадки ділення багатоцифрових чисел, коли число одиниць вищого розряду діленого менше за дільник та в запису частки немає нулів. Особливість прийому: перше неповне ділене - двоцифрове число, яке утворене одиницями двох вищих розрядів. Це повинно бути предметом спеціального розгляду.

Ділення починаємо з вищого розряду: у вищому розряді 1 тисяча; 1 тисячу не можна поділити на 2, щоб отримати хоч би 1 тисячу. Тому переходимо до наступного розряду. Отже, перше неповне ділене - 13 сотень. Оскільки перше неповне ділене сотні, то найвищій розряд частки - сотні. Щоб записати сотні треба 3 цифри, тому в частці буде 3 цифри. Ділимо перше неповне ділене 13 сот. на 2, в частці записуємо на місці тисяч цифру 6.

Множенням дізнаємося, скільки сотень розділилося (12 сотень). Відніманням дізнаємось, скільки сотень не розділилося (1 сотня). Порівнюємо остачу з дільником: 1 менше 2, тому цифра сотень частки підібрана правильно.

З остачі й десятків діленого утворюємо друге неповне ділене (16 десятків). Ділимо його на 2 - буде 8, записуємо в частці в розряді десятків цифру 8. Множенням дізнаємося, скільки десятків розділилося. Усі десятки розділилися.

Оскільки всі десятки розділилися, то переходимо до наступного розряду. 4 одиниці - третє неповне ділене. Ділимо його на дільник, буде 2. Пишемо цифру 2 на місці одиниць у частці. Дізнаємося, скільки одиниць розділилося дією множення. Усі одиниці розділилися, ділення закінчено.

Серед можливих помилок є неправильне знаходження цифри частки, що призводить до отримання остачі більшої за дільник. Тому необхідно слідкувати, щоб учні не забували порівнювати остачу з дільником. Для цього корисні завдання на критику помилок, а також завдання на перевірку ділення множенням.

Множення багатоцифрових чисел, які містять нуль в середині запису

Ознайомлення. Учні самостійно пояснюють розв'язання з розгорненим міркуванням.

Звертаємо увагу учнів на те, що при множенні нуля десятків (сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч) на число в добутку також отримуємо нуль десятків (сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч).

Випадки ділення на одноцифрове число, коли в середині запису частки зустрічаються нулі

На етапі підготовчої роботи слід актуалізувати випадки ділення з остачею, коли ділене менше за дільник.

Наприклад: 2 : 6 = 0 (ост. 2), тому що 0 ∙ 6 + 2 = 2

Випадок, коли нуль міститься в середині запису частки, вводимо через пояснення вже готового розв'язання. Міркуємо так: друге неповне ділене 4 дес. Не можна його розділити на 8, щоб отримати десятки, тому в частці буде 0 дес.

Через декілька уроків учням можна показати скорочену форму запису:

«У цих випадках можна усно множити на 0, пам'ятаючи отриманий результат - в запису частки повинен стояти 0.»

Пропуск нуля в запису частки - типова помилка. Для її попередження доцільно пропонувати учням заздалегідь ставити крапки на місці цифр частки, коли ми визначаємо найвищий розряд і кількість цифр частки.

Множення чисел, що закінчуються нулями

Ознайомлення:

Розгляньте записи і дайте відповідь:

- Як підписаний другий множник під першим?

- Де опинилися нулі, які записані наприкінці першого множника? (Другий множник підписаний під першою цифрою, що відмінна від нуля, щоб нулі залишилися праворуч).

- Що множили? (Множили число десятків, або число сотень, або число тисяч.). Назвіть, скільки отримали в добутку десятків (сотень, тисяч).

- Як подали ці числа в одиницях? (Приписали праворуч один, або два, або три нулі.)

- Порівняйте число нулів у кожній парі: в першому множнику і в добутку. (Наприкінці добутку стільки нулів, скільки їх у першому множнику).

Пам'ятка

Множення багатоцифрового числа, що закінчується нулями, на одноцифрове

1. Підписуємо другий множник під першою цифрою праворуч, що відрізняється від нуля.

2. Перемножуємо число розрядних одиниць (десятків, сотень, тисяч...) на одноцифрове число.

3. До результату дописуємо праворуч стільки нулів, скільки їх у першому множнику.

Зручно відділити нулі в запису другого множника рискою; перемножити числа, не звертаючи уваги на нулі, та до добутку праворучприписати стільки нулів, скільки їх у першому множнику.

Ділення чисел, що закінчуються нулями

Ознайомлення з випадком ділення, коли нуль наприкінці запису частки, здійснюється через пропозицію учням порівняти два випадки ділення: 333 : 9 та 3330 : 9.

Учні встановлюють, що ці частки відрізняються діленими. Ставиться проблемне запитання; «Як зміна діленого вплине на розв'язання?». Значення першої частки учні виконують самостійно з розгорненим поясненням, а при знаходженні значення другої частки, якщо є потреба, вчитель допомагає: третє неповне ділене - 0 одиниць; 0 одиниць поділимо на 9, отримаємо 0 одиниць.

Таким чином, якщо всі десятки діленого розділилися, а наступне неповне ділене 0 одиниць, то в частці на місці одиниць можна записати відразу нуль!

Методика вивчення множення багатоцифрових чисел на двоцифрове число

Множення та ділення на числа, які закінчуються нулями

На етапі підготовчої роботи учні обчислюють значення добутків двох круглих чисел на підставі правила множення добутку на добуток. Застосовуючи переставну властивість дії множення, маємо:

70 ∙ 20 = 1400

(7 ∙ 10) ∙ (2 ∙ 10) = 7 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 = (7 ∙ 2) ∙ (10 ∙ 10) = 14 ∙ 100 = 1400

600 ∙ 40 = 24000

(6 ∙ 100) ∙ (4 ∙ 10) = 6 ∙ 100 ∙ 4 ∙ 10 = (6 ∙ 4) ∙ (100 ∙ 10) = 24 ∙ 1000 = 24000

Порівнюючи в кожному прикладі множники й добуток, учні дістають висновку: у добутку стільки нулів, скільки в обох множниках разом.

На етапі ознайомлення пропонуємо учням усно обчислити значення добутків 7600 та 30; 1290 та 700; 3710 та 50. Учні впевнюються, що письмових обчислень тут уникнути складно, тому вчитель показує письмовий прийом.

Потім розглядаються більш складні випадки, які усно обчислити важко:

Пам'ятка

Множення чисел, що закінчуються нулями

1. Підписуємо множники стовпчиком так, щоб нулі залишилися праворуч.

2. Виконуємо множення, не звертаючи увагу на нулі.

3. Підраховуємо число нулів в обох множниках разом.

4. Дописуємо стільки ж нулів до добутку праворуч.

Письмове ділення на числа, що закінчуються нулями, виконується аналогічно розглянутим випадкам у межах тисячі.

Письмове множення на двоцифрове число

З письмовим множенням на двоцифрове число учні познайомилися в концентрі «Тисяча», тому на даному етапі навчання слід перенести спосіб міркування на багатоцифрові числа.

Працюємо за відомим алгоритмом множення на двоцифрове число.

Міркування. Підписую числа стовпчиком: одиниці під одиницями, десятки під десятками. Множу перший множник 32 на 6 одиниць другого множника, отримую 192 одиниці - це перший неповний добуток. Множу перший множник 32 на 3 десятки другого множника, отримую 96 десятків - це другий неповний добуток. Додаю неповні добутки, отримую добуток 1152.

Переносимо спосіб міркування на складніші випадки.

На підставі індуктивних узагальнень кількох розв'язань учні дістають висновку про прикидку кількості цифр добутку при письмовому множенні: у значенні добутку повинно бути стільки цифр, скільки їх в обох множниках разом або на 1 цифру менше.

Засобом порівняння прикладів на множення на одноцифрове й двоцифрове число учні встановлюють відмінність: при множенні на одноцифрове число ми відразу отримуємо добуток, а при множенні на двоцифрове число - спочатку І-й неповний добуток, потім ІІ-й неповний добуток і, додавши їх, отримуємо добуток. Так відбувається тому, що при множенні на двоцифрове число треба помножити не лише одиниці, а й десятки другого множника на перший множник. Далі за аналогією учні можуть здогадатися про відмінність письмового множення на двоцифрове та трицифрове число: 

Скільки неповних добутків буде при множенні на п'ятицифрове число? Чому?

Окремо слід розглянути випадок множення на трицифрове число, коли в середині запису другого множника є нуль.

Показуємо учням скорочений запис:

Письмове ділення на двоцифрове та трицифрове число

З прийомом письмового ділення на двоцифрове число діти вже познайомилися в концентрі «Тисяча» та набули певного досвіду ділення трицифрового числа на двоцифрове. Переносимо відомий спосіб міркування на випадки ділення багатоцифрових чисел.

Міркування. У дільнику дві цифри, тому в діленому відділяю ліворуч дві цифри: 31 тисяча. 31 тисячу не можна поділити на 71, щоб отримати хоч би одну тисячу. Тому переходжу до наступного розряду. 315 сотень - перше неповне ділене. Оскільки перше неповне діле - сотні, то в частці в найвищому розряді теж будуть сотні, тому в частці буде три цифри.

Ділю перше неповне ділене на дільник: 315 : 71 ≈ 31 : 7, буде приблизно по 4. 4 - це пробна цифра, її слід перевірити: 4 множу на десятки дільника, буде 280; віднімаю отримане число з неповного діленого (315 - 280), буде 35; порівнюю остачу з добутком пробної цифри на дільник (4 ∙ 1); остача більша, тому пробна цифра підходить, пишу її на місці сотень у частці.

Дізнаюся, скільки сотень розділилося дією множення. 284 сотні розділилося.

Дізнаюся, скільки сотень не розділилося дією віднімання. 31 сотня не розділилася.

Перевіряю остачу: остача 31 менша за дільник 71; тому цифру частки підібрано правильно.

Утворюю друге неповне ділене: 31 сотня - це 310 десятків та ще в діленому 9 десятків, тому 319 десятків - друге неповне ділене.

Ділю його на 71, приблизно буде по 4. 4 - це пробна цифра, її слід перевірити: 4 множу на десятки дільника (4 ∙ 70), буде 280; віднімаю отримане число з неповного діленого (319 - 280), буде 39; порівнюю остачу з добутком пробної цифри на дільник (4 ∙ 1); остача більша, тому пробна цифра підходить, пишу її на місці десятків у частці.

Дізнаюся, скільки десятків розділилося дією множення. 284 десятки розділилися.

Дізнаюся, скільки десятків не розділилося дією віднімання. 35 десятків не розділилося.

Перевіряю остачу: остача 35 менша за дільник 71; тому цифру частки підібрано правильно.

Утворюю третє неповне ділене: 35 десятків - це 350 одиниць і ще 5 одиниць у діленому. 355 одиниць - третє неповне ділене.

Ділю його на 71, приблизно буде по 5. 5 - це пробна цифра. Її слід перевірити: 5 множу на десятки дільника (5 ∙ 70), буде 350; віднімаю отримане число з неповного діленого (355 - 350), буде 5; порівнюю остачу з добутком пробної цифри на дільник (5 ∙ 1); остача дорівнює добутку, тому пробна цифра підходить, пишу її на місці одиниць у частці.

Дізнаюся, скільки одиниць розділилося дією множення. 355 одиниць розділилися.

Дізнаюся, скільки одиниць не розділилося дією віднімання. Усі одиниці розділилися. Ділення закінчено.

Далі вивчаються випадки ділення п'яти - шестицифрових чисел, які закінчуються нулями, на двоцифрове число.

Перше неповне ділене 334 тисячі, тому в частці в найвищому розряді будуть тисячі, а значить 4 цифри.

Ділю 334 на 75: 334 : 75 ≈ 33 : 7 ≈ 4 – це пробна цифра частки, її слід перевірити:

4 ∙ 70 = 280, 334 - 280 = 54, 54 > 4 ∙ 5 - цифра 4 підходить, пишу її в частці на місці тисяч. 300 тисяч розділилося, 34 тисячі не розділилися.

Остача 34 менша за дільник, тому цифру частки знайдено правильно.

З остачі 34 тисячі та 5 сотень діленого утворюю друге неповне ділене - 345 сотень. 345 : 75 ≈ 4. Перевіряю пробну цифру частки: 4 ∙ 70 = 280, 345 - 280 = 65, 65 > 4 ∙ 5 - цифра 4 підходить, пишу її на місці сотень у частці.

300 сотень розділилося. 45 сотень не розділилося. Остача 45 менша за дільник, тому цифру частки знайдено правильно.

45 сотень - це 450 десятків, у діленому 0 десятків, тому третє неповне ділене 450 десятків. 450 : 75 ≈ 6. Перевіряю: 6 ∙ 70 = 420, 450 - 420 = 30, 30 = 6 ∙ 5, пишу цифру 6 у розряді десятків у частці.

450 десятків розділилося. Усі десятки розділилися, тому в частці ми отримали 446 десятків - це 4460 одиниць.

Можна міркувати ще й так: четверте неповне ділене 0 одиниць. 0 : 75 = 0 - пишемо нуль на місці одиниць у частці. Ділення закінчено.

Наступний випадок ділення багатоцифрових чисел на двоцифрові, коли в середині частки є нуль.

Перше неповне ділене 450 сотень, тому найвищий розряд частки - сотні, в частці 4 цифри.

Ділю 450 на 74, 45 : 7 ≈ 6. 6 - це пробна цифра частки, її слід перевірити: 6 ∙ 70 = 420, 450 - 420 = 30, 30 > 6 ∙ 4, цифра 6 підходить, пишу її в частці на місці сотень.

Розділилося 444 сотні. Не розділилося 6 сотень.

Перевіряю: остача 6 менша за дільник 74, цифру частки знайдено правильно.

З остачі 6 сотень та 6 десятків утворюю друге неповне ділене - 66 десятків. 66 десятків не можна розділити на 74, щоб отримати хоч би один десяток, тому на місці десятків у частці пишу цифру 0 або 66 : 74 = 0 (ост. 66). 0 десятків розділилося. 66 десятків не розділилося.

Утворюю третє неповне ділене з остачі та одиниць діленого - 666 одиниць. Ділю 666 на 74: 66 : 7 ≈ 9. Перевіряю цифру частки: 9 ∙ 70 = 630, 666 - 630 = 36, 36 = 9 ∙ 4, - цифра 9 підходить, пишу її на місці одиниць у частці. Розділилися всі одиниці. Ділення закінчено.

Розглядаючи короткий запис таких випадків письмового ділення, треба звернути увагу на те, що при множенні дільника 35 на нуль завжди отримуємо нуль, а при відніманні нуля з неповного діленого 14 десятків буде те ж саме число - 14 десятків; тому тут нуль не пишуть, але запам'ятовують, що ІІ-ге неповне ділене 14 десятків, а ІІІ-тє неповне ділене - 140 одиниць.

Переносимо відомий спосіб міркування на випадки ділення багатоцифрового на трицифрове число:

У дільнику 3 цифри, тому в діленому відділяю ліворуч також 3 цифри, маю 252 сотні. 252 сотні не можна розділити на 324, щоб отримати хоч би одну сотню. Тому переходимо до наступного розряду: 2527 десятків - перше неповне ділене. У частці отримаємо десятки, буде 2 цифри.

2527 : 324 ≈ 25 : 3 ≈ 8.

Перевіряємо: 8 ∙ 300 = 2400, 2527 - 2400 = 127, 127 < 8 ∙ 24, тому цифра 8 - не підходить; візьмемо по 7: 7 ∙ 300 = 2100, 2527 - 2100 = 427, 427 > 7 ∙ 24, цифру 7 пишу на місці десятків у частці.

2268 десятків розділилося. 259 десятків не розділилися. Остача 259 менша за дільник 324, цифру частки знайдено правильно.

З остачі 259 десятків і 2 одиниць діленого утворюю друге неповне ділене - 2592 одиниці. 2592 : 324 ≈ 25 : 3 ≈ 8. Перевіряємо: 8 ∙ 300 = 2400, 2592 - 2400 = 192, 192 = 8 ∙ 24 - цифру 8 пишу на місці одиниць у частці.

2592 одиниці розділилися. Усі одиниці розділилися, ділення закінчено.