Методика навчання математики: теорія і практика - Л.В. Коваль, С.О. Скворцова 2011

Тема 2. Методика навчання позатабличного множення та ділення
Теоретичний блок
Змістовий модуль 7. Методика навчання арифметичних дій (множення та ділення) та формування обчислювальних умінь і навичок

Наочні посібники та дидактичний матеріал

Демонстраційні: набірне полотно для роботи з предметними картинками, набори геометричних фігур; таблиці про окремі способи обчислення.

Індивідуальні: набори геометричних фігур, таблиці та картки з друкованою основою.

Усі випадки множення та ділення, що виходять за межі таблиць, умовно названі «позатабличними». За методикою М.В. Богдановича, ця тема вивчається в концентрі «Тисяча»; спочатку випадки позатабличного множення та ділення вводяться на прикладі чисел в межах 100, а узагальнюються на числах у межах 1000. Відповідно до методичного підходу Л.П. Кочиної, випадки позатабличного множення та ділення розглядаються в межах двоцифрових чисел.

Перед опрацюванням позатабличних випадків множення та ділення вивчаються властивості арифметичних дій, оскільки вони виступають теоретичною основою відповідних обчислень:

1) ділення числа на добуток: розділити число на добуток можна таким чином: спочатку розділити число на один із множників, а потім результат поділити на інший множник;

2) ділення добутку на число: розділити добуток на число можна так: розділити один із множників на це число і одержаний результат помножити на інший множник;

3) множення добутку на число: помножити добуток на число можна так: помножити на це число один із множників і одержаний результат помножити на інший множник;

4) множення суми на число: щоб помножити суму на число, можна помножити кожний доданок на це число і отримані добутки додати;

5) множення числа на суму: щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожний доданок і отримані добутки додати;

6) ділення суми на число: щоб розділити суму на число, можна розділити кожний доданок на це число і отримані частки додати.

Слід зазначити, що лише правила 4-6 є предметом спеціального засвоєння молодшими школярами. Правила 1 - 3 вводяться на пропедевтичному рівні і будуть узагальнені в наступному навчанні (в 4-му класі).

Розглянемо випадки позатабличного множення та ділення, а також обчислювальні прийоми, які застосовуються для знаходження результатів обчислення (див. табл.1).

Таблиця 1. Позатабличне множення та ділення

Множення та ділення розрядного числа на одноцифрове

Ділення розрядного числа на розрядне

Множення та ділення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове

Ділення двоцифрового числа на двоцифрове

Таким чином, в результаті опанування теми учні мають:

1. Знати та вміти застосовувати правила: множення одиниці та нуля на будь-яке число; множення будь-якого числа на одиницю або нуль; ділення будь-якого числа на одиницю; ділення будь-якого числа на само себе; ділення нуля на будь-яке число; неможливість ділення на нуль; множення 10 та 100 на будь-яке число; множення будь-якого числа на 10 та 100.

2. Знати властивості арифметичних дій множення та ділення: множення суми на число; множення числа на суму; ділення суми на число; ділення числа на добуток і вміти ними користуватися під час усних обчислень.

3. Засвоїти прийоми усних обчислень в межах 100; знати та вміти: множити й ділити розрядне число на одноцифрове; ділити розрядне число на розрядне; множити двоцифрове число на одноцифрове; ділити двоцифрове число на одноцифрове; ділити двоцифрове число на двоцифрове.

4. Уміти виконувати усне ділення з остачею.

Розглянемо більш детально особливості методичного підходу, відповідно якого позатабличне множення та ділення вивчається на матеріалі чисел в межах 100 і 1000, що відповідає методичному підходу, який передбачено Державним стандартом початкової загальної освіти. У такому разі передбачається, що випадки множення та ділення круглого (не обов'язково розрядного) числа на одноцифрове пропонуються ще під час вивчення нумерації трицифрових чисел.

Множення та ділення круглого числа на одноцифрове. Ділення круглого числа на кругле

Спосіб укрупнення розрядних одиниць

Підготовчими до перенесення способу укрупнення розрядних одиниць на випадки множення круглих чисел є вправи на знаходження значення суми однакових доданків способом укрупнення: 20 + 20 + 20 = 2д. + 2д. + 2д. = 6д. = 60. Учитель звертає увагу учнів на те, що в цій сумі однакові доданки, тому її можна замінити множенням: 20 ∙ 3 = 2 д. ∙ 3 = 6д. = 60. Ми множили десятки й тому одержали так само десятки! Можна зробити висновок: при множенні десятків на абстраговане число ми одержимо десятки.

З метою зведення випадків множення круглих чисел на одноцифрові до випадків табличного множення за допомогою укрупнення розрядних одиниць, пропонуємо для співставлення пари виразів типу: 2 ∙ 3 та 20 ∙ 3. Діти обчислюють їх значення і порівнюють одержані результати.

Далі пропонуємо дітям ліворуч у зошиті записати таблицю множення числа 2, а праворуч - відповідні рівності множення числа 20. Пропонуємо учням записати таблиці множення числа 7 та числа 70... Діти пояснюють, чому в добутках «таблиці множення числа 70» записані круглі числа.

З рівностей на множення числа 70 діти складають по дві рівності на ділення:

З'ясовуємо, що міркувати при діленні круглого числа на одноцифрове можна так само, як і при множенні: 140 : 2 = 14 д. : 2 = 7 д. = 70. Формулюємо узагальнену пам'ятку.

Пам'ятка

Множення (ділення) круглого числа на одноцифрове

Спосіб укрупнення розрядних одиниць

1. Замінюю кругле число десятками (сотнями).

2. Множу/Ділю число десятків (сотень) на одноцифрове число, одержую десятки (сотні).

3. Результат записую в одиницях.

Наприклад:

20 ∙ 4 = 2д. ∙ 4 = 8д. = 80

200 ∙ 4 = 2с. ∙ 4 = 8с. = 800

80 : 4 = 8д. : 4 = 2д. = 20

800 : 4 = 8с. : 4 = 2с. = 200

Учні мають усвідомити, чому при діленні круглого числа на кругле одержуємо одноцифрове число. З цією метою пропонуємо знайти різницю і зробити висновок: 80 – 20 – 20 – 20 – 20. Обчисливши значення різниці (8д. - 2д. - 2д. - 2д. - 2д. = 0), діти переконуються, що у 8д. міститься по 2д. 4 рази!

Тобто 8д. : 2д. = 4, 80 : 20 = 8д. : 2д. = 4. Звертаємо увагу, що при діленні десятків на десятки одержуємо абстрактне число.

Пам'ятка

Ділення круглого числа на кругле

Спосіб укрупнення розрядних одиниць

1. Замінюю круглі числа десятками (сотнями).

2. Ділю десятки (сотні), одержую абстрактне число.

Наприклад:

60 : 30 = 6д. : 3д. = 2

600 : 300 = 6с. : 3с. = 2

600 : 30 = 60д. : 3д. = 20

Спосіб послідовного множення та ділення

Множення одноцифрового числа на кругле число, ділення круглого числа на кругле можна здійснювати способом послідовного ділення на підставі правил: 1) множення числа на добуток; 2) ділення числа на добуток.

4 ∙ 60 = 4 ∙ (10 ∙ 6) = (4 ∙ 6) ∙ 10 = 24 ∙ 10 = 240

180 : 60 = 180 : (10 ∙ 6) = (180 : 10) : 6 = 18 : 6 = 3

Пам'ятка

Множення (ділення) на кругле число

Спосіб послідовного множення (ділення) друг ий множник

1. Замінюю другий множник/дільник добутком розрядної одиниці та числа.

2. Множу/Ділю на число/10.

3. Множу/Ділю одержаний результат на інший множник.

Наприклад:

Міркуючи за пам'яткою, діти виконують обчислення добутків та часток. Після засвоєння поданого способу міркування діти мають можливість при множенні та діленні на кругле число вибирати спосіб обчислення, який їм сподобався найбільше.

Ділення з остачею

На етапі актуалізації учні згадують означення дії ділення, а далі ставиться проблемне запитання: «Що означає 9 розділити по 2?». Відповідаючи на нього, діти з'ясовують, що не можна знайти такого числа, яке при множенні на 2 дає 9. Учитель повідомляє, що 9 можна розділити по 2 з остачею! Дія ділення виконується практично: 9 кружків розкладають по 2; і визначають що в 9 вміщується по 2 чотири рази і 1 лишається в остачі. Виконуємо запис:

Далі діти виконують завдання на ділення з остачею практично - за малюнками.

З метою з'ясування величини остачі щодо дільника учням пропонується розглянути й порівняти рівності:

Учням повідомляється, що ділення націло можна розглядати як ділення з остачею у випадку, коли остача дорівнює нулю.

14 : 7 = 2 (ост.0)   21 : 7 = 3 (ост. 0)   28 : 7 = 4 (ост. 0)

Діти читають одержані остачі, порівнюють їх з дільником і визначають, що остача має бути меншою за дільник! Також робимо висновок про кількість остач при діленні на певне число: кількість остач, в тому числі й 0, дорівнює дільнику!

Порівнюючи значення часток у кожному стовпчику, школярі помічають, що вони однакові і дорівнюють значенню частки, що одержана при діленні найближчого меншого за ділене числа, що ділиться націло на дільник. Таким чином, щоб знайти неповну частку, треба найближче, менше за ділене, число розділити на дільник. Знаходячи різницю між діленим і найближчим числом, що ділиться на дільник націло, діти визначають спосіб отримання остачі. Поєднавши усі ці дії, формулюємо пам'ятку.

Пам'ятка

Ділення з остачею

1. Називаю всі числа, які менші за ділене і які діляться на дільник націло.

2. Найбільше з них ділю на дільник і одержую неповну частку.

3. Віднімаю з діленого знайдене число і одержую остачу. Пам'ятаю, що остача має бути меншою за дільник!

Наприклад: 16 : 3

1) Виписую всі числа менші 16, які діляться на 3: 6, 9, 12, 15

2) Найбільше з цих чисел - 15 ділю на дільника: 15 : 3 = 5 - отримуємо неповну частку.

3) Віднімаю знайдене число з діленого: 16 - 15 = 1 - отримуємо остачу

Отже, 16 : 3 = 5 (ост. 1), перевірка 5 ∙ 3 + 1 = 16

Корисно познайомити учнів із перевіркою ділення з остачею: якщо остача та добуток неповної частки на дільник дорівнює діленому, то ділення з остачею виконане правильно.

Уже на даному етапі доцільно познайомити дітей із випадками ділення з остачею, коли ділене менше за дільник: якщо ділене менше за дільник, то в частці одержимо нуль, а все ділене перейде в остачу.

Розподільний закон множення відносно додавання

Пропонуємо учням обчислити кількість геометричних фігур двома способами:

Підраховуємо кількість трикутників у рядку та кількість кругів. З'ясовуємо скільки таких рядків. Одержуємо: (6 + 3) ∙ 3 = 9 ∙ 3 = 27.

27 фігур усього.

Пропонуємо обчислити кількість геометричних фігур іншим способом. Діти підраховують кількість трикутників (кругів) у кожному рядку та кількість рядків і дізнаються, що всього трикутників 6 ∙ 3; всього кругів - 3 ∙ 3. Отже, всього фігур: 6 ∙ 3 + 3 ∙ 3 = 18 + 9 = 27. Значення виразів рівні, тому можна прирівняти й самі вирази. Маємо: (6 + 3) ∙ 3 = 6 ∙ 3 + 3 ∙ 3.

Формулюємо правило: щоб суму помножити на число, достатньо кожний доданок помножити на це число і одержані добутки додати: (а + в) ∙ с = а ∙ с + в ∙ с.

Множення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове

На етапі актуалізації згадуємо розподільний закон множення відносно додавання та застосовуємо його для множення суми на число (№ 1).

Далі пропонуємо порівняти добутки в кожному рядку і знайти значення виразів (№ 2).

Діти помічають, що розв'язання попереднього завдання може допомогти помножити двоцифрове число на одноцифрове.

Між тим, зручніше, коли двоцифрове число подають у вигляді суми розрядних доданків.

Пам'ятка

Множення двоцифрового (трицифрового) числа на одноцифрове

1. Подаю двоцифрове (трицифрове) число у вигляді суми розрядних доданків.

2. Множу кожний доданок на число.

3. Додаю одержані результати.

4. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад: 36 ^. 4 = ( 30 + 6 ) ^. 4 = 30 ^. 4 + 6 ^. 4 = 120 + 24 = 144

На перших етапах засвоєння діти множать двоцифрове число на одноцифрове з розгорненим записом і промовлянням усіх кроків пам'ятки. Згодом дія може дещо скоротитися, і можна запропонувати випадки множення трицифрового на одноцифрове число.

Для множення одноцифрового числа на двоцифрове або трицифрове число застосовуємо переставний закон множення.

Розподільний закон ділення відносно додавання

Цей закон можна ввести так само, як і розподільний закон множення щодо додавання - через підрахунок кількості рядків геометричних фігур двома способами:

Всього 18 трикутників та 9 кругів. Вони розташовані в трьох рядках порівну в кожному.

Щоб дізнатися, скільки геометричних фігур у кожному рядку, треба: (18 + 9) : 3 = 27 : 3 = 9.

Щоб дізнатися скільки фігур в кожному рядку, треба знати, скільки трикутників та скільки кругів у кожному рядку разом: 18 : 3 + 9 : 3 = 6 + 3 = 9.

Таким чином: (18 + 9) : 3 = 18 : 3 + 9 : 3 = 9.

Цей закон можна ввести на підставі аналогії з розподільним законом множення відносно додавання. Діти виконують запис і формулюють розподільний закон множення відносно додавання -правило множення суми на число: (а + в) ∙ с = а ∙ с + в ∙ с. Далі з'ясовується, що треба змінити в цьому запису, щоб одержати розподільний закон ділення відносно додавання (треба замінити знаки множення на знаки ділення). На прикладах перевіряємо, чи правильні рівності: (4 + 6) : 2 = 4 : 2 + 6 : 2 тощо. Учні наводять власні приклади і перевіряють правильність рівностей.

Згадуємо випадок, коли дія ділення неможлива (не можна ділити на нуль!) Формулюємо перше обмеження: число, на яке ми ділимо суму, має бути відмінним від нуля! У множині натуральних чисел ділення націло не завжди можна виконати: іноді не можна знайти такого числа, щоб при множенні на дільник одержати ділене. У цьому випадку виконуємо ділення з остачею. Формулюємо друге обмеження: обидва доданки суми повинні ділитися націло на дільник!

Розподільний закон ділення відносно додавання формулюється так: щоб розділити суму на число, достатньо розділити на це число кожний доданок і одержані частки додати.

(а + в): с = а : с + в : с, если с ≠ 0, а і в діляться на с

Ділення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове

Підготовча робота до ознайомлення з прийомом ділення на одноцифрове число відбувається за допомогою вправ:

1. Чи можна стверджувати, що вирази в кожному стовпчику мають рівні значення? Доведи свою точку зору:

Використовуючи найзручніший спосіб, обчисли значення виразів у кожному стовпчику. Запиши аналогічні стовпчики виразів і обчисли їх значення:

72 : 8 69 : 3 56 : 4

У чому полягає найбільша трудність при складанні таких прикладів? Є раціональний спосіб підбору доданків, кожний з яких ділиться на дільник!

Пам'ятка

Спосіб підбору зручних доданків

1. Перший зручний доданок рівний дільнику, помноженому на 10, 20, 30,...

2. Віднімаю з діленого знайдене число, одержую другий зручний доданок.

Наприклад:

Ознайомлення з прийомом ділення на одноцифрове число:

1. Замінивши ділене сумою зручних доданків і застосувавши розподільний закон ділення щодо додавання, знайди значення частки:

Аналізуючи власні дії, учні визначають послідовність кроків при діленні на одноцифрове число. Співставляючи міркування при множенні та діленні, можна узагальнити способи множення та ділення двоцифрового числа на одноцифрове:

Пам'ятка

Множення та ділення двоцифрового числа на одноцифрове

1. Замінюю двоцифрове число сумою розрядних/зручних доданків.

2. Множу/Ділю кожен доданок на число.

3. Додаю одержані результати.

Наприклад:

23 ∙ 4 = (20 + 3) ∙ 4 = 20 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 80 + 12 = 92

39 : 3 = (30 + 3) : 3 = 30 : 3 + 3 : 3 = 10 + 1 = 11

42 : 3 = (30 + 12) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 14

Ділення на кругле число способом підбору

Актуалізуємо означення дії ділення: число а розділити на число в - це означає знайти таке число с, яке при множенні на дільник в дає ділене а. Запитуємо: що означає 480 : 160? 480 розділити на 160 - це означає знайти таке число, яке при множенні на 160 дає число 480. Відшукуємо це число підбором, причому з'ясовуємо, чи має сенс випробувати число 1? Число 1 не випробуємо, бо при множенні на 1 одержуємо те саме число, тому випробовувати розпочинаємо з 2: 160 ∙ 2 = 320, 320 ≠ 480; випробовуємо 3: 160 ∙ 3 = 480, 480 = 480, тому 480 : 160 = 3.

Ділення на двоцифрове число способом підбору

Зміст способу підбору засвоєний дітьми на попередньому етапі навчання, тому існує можливість його перенесення на випадки ділення на двоцифрове та трицифрове число з невеликим удосконаленням.

Ознайомлення. Порівняй записи часток. Яка частка є зайвою? Чому? Знайди значення результатів ділення на кругле число способом підбору. Чи можна міркувати так само при діленні на двоцифрове число?

850 : 170  650 : 130 980 : 140 105 : 15  720 : 180

Діти обчислюють значення цієї частки способом підбору:

15 ∙ 2 = 30, 30 ≠ 105; 15 ∙ 3 = 45, 45 ≠ 105; 15 ∙ 4 = 60, 60 ≠ 105; 15 ∙ 5 = 75, 75 ≠ 105; 15 ∙ 6 = 90, 90 ≠ 105; 15 ∙ 7 = 105, 105 = 105, тому 105 : 15 = 7

«Але так міркувати дуже довго!» - зауважує вчитель.

При діленні на двоцифрове число існує раціональніший спосіб підбору, а саме: пробувати треба тільки ті числа, які при множенні на одиниці дільника дають результат, що закінчується одиницями діленого, і немає потреби пробувати всі числа підряд. Наприклад: 51 : 17 - це значить знайти таке число, яке при множенні на 17 дає 51. Використовуємо прикидку - шукаємо таке число, яке при множенні на одиниці дільника (7) дає результат, що закінчується одиницями діленого (1). Це 3, оскільки 3 ∙ 7 = 21. Думаємо чи є інші такі числа? ... Ні, інших таких чисел немає, тому множимо 3 на 17 і одержуємо 51, значить часткою 51 і 17 є число 3.

Пам'ятка

Ділення на двоцифрове число

Спосіб підбору

1. Розділити число а на число в - значить знайти таке число с, яке при множенні на дільник в, дає ділене а.

а : у = с, оскільки с ∙^. у = а

2. Це число знаходитимемо підбором, використовуючи прикидку:

- шукаю таке число, яке при множенні на одиниці дільника дає результат, що закінчується одиницями діленого; записую його;

- думаю, чи є ще такі числа; записую їх;

- випробую множенням усі записані числа.

3. Роблю висновок.