Методика навчання математики: теорія і практика - Л.В. Коваль, С.О. Скворцова 2011

Тема 1. Методика навчання табличного множення та ділення
Теоретичний блок
Змістовий модуль 7. Методика навчання арифметичних дій (множення та ділення) та формування обчислювальних умінь і навичок

Ключові поняття: конкретний зміст арифметичних дій множення та ділення; взаємозв'язок арифметичних дій множення та ділення; властивості арифметичних дій множення та ділення (множення та ділення з нулем та одиницею); закони множення та ділення (переставний, сполучний, розподільний закон множення щодо додавання, розподільний закон ділення щодо додавання); способи складання та запам'ятовування таблиць множення та ділення; відношення кратного порівняння; правила множення та ділення (правило множення числа на добуток, правило множення добутку на число, правило ділення числа на добуток, правило ділення добутку на число, правило множення добутку на число та числа на добуток, правило ділення суми на число); усні прийоми позатабличного множення та ділення, письмові прийоми множення та ділення, обчислювальні навички.

Студент знає й усвідомлює:

•  процес ознайомлення учнів з операціями множення та ділення, назви компонентів та результатів арифметичних дій множення та ділення; процес ознайомлення учнів з властивостями та законами арифметичних дій множення та ділення;

•  процес ознайомлення з відношеннями «більше в кілька разів», «менше в кілька разів», «кратне порівняння чисел»;

•  особливості вивчення таблиць множення та відповідних випадків ділення, прийомів усного позатабличного множення та ділення в межах ста й тисячі;

•  особливості вивчення письмових прийомів арифметичних дій (множення, ділення) у межах тисячі, мільйона;

•  особливості вивчення правил порядку виконання арифметичних дій у числових виразах, що містять дії множення та ділення, у тому числі з дужками.

Студент володіє практичними вміннями й навичками:

•  аналізувати методичний апарат підручників з тем: «Табличне множення та ділення», «Позатабличне множення та ділення » та «Письмове множення та ділення в межах тисячі та в межах багатоцифрових чисел»; розширювати його завданнями, спрямованими на розвиток логічного мислення, у тестовій формі, диференційованими, на вибір і самооцінку тощо;

•  складати систему навчальних завдань з метою формування в молодших школярів обчислювальних умінь і навичок табличного множення та ділення, позатабличного множення та ділення, письмового множення та ділення;

•  здійснювати розвиток розумових здібностей молодших школярів на уроках та в позаурочній діяльності з тем: «Табличне множення та ділення», «Позатабличне множення та ділення» та «Письмове множення та ділення в межах тисячі та в межах багатоцифрових чисел»;

•  моделювати та проводити уроки за різними методичними системами з метою забезпечення реалізації вимог Державного стандарту освітньої галузі «Математика» зі змістової лінії «Числа та дії над ними», вести їх обговорення, давати оцінку та самооцінку.

Теоретичний блок

Тема 1. Методика навчання табличного множення та ділення

Наочні посібники та дидактичний матеріал

Демонстраційні: набірне полотно для роботи з предметними картинками, на яких зображені групи предметів (по 2, по 3 і т.д.), набори геометричних фігур для лічби групами; набірне полотно «Таблиця множення» (таблиця, в якій замість другого множника та добутку -кишені для карток з числами), «Таблиця ділення» (таблиця, в якій замість діленого та частки - кишені для карток з числами).

Індивідуальні: набори геометричних фігур.

За методичною системою Л.П. Кочиної, табличне множення та ділення вивчається в два етапи: підготовчий та основний. На підготовчому етапі вивчається теоретичний матеріал необхідний для складання таблиць множення та ділення (конкретний зміст дій множення та ділення, переставний закон множення, назви компонентів та результатів дій множення та ділення, взаємозв'язок дій множення та ділення тощо). Автор пропонує одночасне ознайомлення з двома видами ділення: ділення на вміщення та ділення на рівні частини.

Методика М.В. Богдановича не передбачає підготовчого етапу. Відразу після введення конкретного змісту дії множення учні складають і заучують таблицю множення числа 2 (причому таблиці множення складаються за сталим першим множником). Далі йде ознайомлення з конкретним змістом дії ділення (на рівні частини), взаємозв'язком множення та ділення, і лише після цього учні складають таблицю ділення на 2 за сталим дільником. Ділення на вміщення вводиться після того, як учні засвоїли таблицю ділення на 2, на підставі порівняння задач на ділення на рівні частини та ділення на вміщення.

Під час ознайомлення з дією множення методисти дотримуються того самого підходу та вводять його на прикладі задач на знаходження суми однакових доданків. Щодо ознайомлення з дією ділення вчені підходять по-різному. Так, Л.П. Кочина одночасно знайомить дітей з двома видами дії ділення: на рівні частини та на вміщення на прикладі задач; М.В. Богданович спочатку розглядає ділення на рівні частини, а через декілька уроків знайомить з діленням на вміщення на основі порівняння двох видів ділення.

Заслуговує на увагу підхід П.М. Ерднієва та М.П. Ерднієва - авторів теорії укрупнення дидактичних одиниць при навчанні математики (УДО). Так, множення вчені розглядають як додавання однакових доданків, а ділення - як віднімання однакових чисел стільки разів, допоки не одержимо нуль. Множення та ділення (в даному разі на вміщення) розглядаються одночасно засобом розв'язування взаємообернених задач. Внаслідок такої роботи одночасно складається таблиця множення (по 2 взяти кілька разів) і таблиця ділення (розділити по 2). На наступному етапі навчання вводиться ділення на рівні частини.

У методиці П.М. Ерднієва та М.П. Ерднієва таблиці множення складаються за сталим першим множником, але таблиці ділення складаються в двох варіантах: за сталим дільником та за сталою часткою. Згідно положень теорії УДО (а саме - вивчення матеріалу більш крупними блоками), табличне множення та ділення розширюється випадками множення та ділення на відповідні розрядні числа.

Існують і інші методичні підходи до опрацювання таблиць множення. Наприклад, М.О. Бантова, Г.В. Бельтюкова, М.І. Моро пропонують складання таблиць множення кількома способами:

- на підставі конкретного змісту дії множення;

- на підставі переставного закону дії множення;

- на підставі попереднього значення.

Н.Б. Істоміна розширює коло способів складання таблиць множення та пропонує ще й такі:

- на підставі сполучного закону множення;

- на підставі розподільного закону множення щодо додавання.

- на підставі розподільного закону множення щодо віднімання.

- на підставі розподільного закону множення, якщо у вигляді суми подається перший множник.

Розглянемо докладно ще один методичний підхід.

Зміст і методика підготовчого етапу

Реалізація принципу укрупнення дидактичних одиниць дозволяє організувати підготовчу роботу за двома циклами:

1) ознайомлення з конкретним змістом дії множення та дії ділення на вміщення;

2) ознайомлення з конкретним змістом дії ділення на рівні частини та ділення на вміщення.

Під час ознайомлення з конкретним змістом дії множення учням пропонується розв'язання задач на знаходження суми однакових доданків. Наприклад:

1. Мама купила три пучки моркви, у кожному пучку по 4 морквини. Скільки всього морквин купила мама?

Діти розв'язують цю задачу як задачу на знаходження суми трьох доданків:

Розв'язання:

4 + 4 + 4 = 12 (шт.)

Відповідь: 12 морквин всього купила мама.

Всього морквин стільки, скільки буде, якщо по 4 морквини взяти 3 рази. Далі вчитель звертає увагу учнів на короткий запис задачі і показує учням, що його можна виконати інакше, використовуючи слово з умови задачі «по взяти .. разів»:

Таким чином, можна вже на етапі підготовчої роботи познайомити дітей з опорною схемою задач на знаходження суми однакових доданків (на конкретний зміст дії множення).

Під час підготовчої роботи до ознайомлення з дією ділення на вміщення учні виконують практичні завдання:

1. 12 зошитів роздали учням по 4 зошити. Скільки учнів отримали зошити?

- По скільки зошитів повинні отримати учні? (По 4 зошити). Візьміть 4 зошити та дайте їх першому учню. Якщо ми віддаємо зошити, то зошитів залишається більше чи менше? Якою арифметичною дією ми дізнаємось скільки зошитів залишилося? (Дією віднімання). Запишімо це: 12 - 4.

- Чи всі зошити ми роздали?

- Візьміть ще 4 зошити та дайте їх іншому учню. Продовжимо записувати вираз: 12 - 4 - 4

- Чи всі зошити роздали? (Ні, не всі) Візьміть ще 4 зошити та дайте ще одному учню. Запишімо: 12 - 4 - 4 - 4

- Чи всі зошити ми роздали? Запишімо це: 12 - 4 - 4 - 4 = 0

Скільки учнів отримали зошити? (3 учні отримали зошити) Учнів буде стільки, скільки в 12 зошитах вміщується по 4 зошити. Запишімо це:

12 - 4 - 4 - 4 = 0.

  3 рази

Коментуємо запис: в 12 міститься по 4 три рази. 

Скільки разів в [ ] міститься по [ ] знаходимо дією віднімання!

На наступному етапі пропонуємо учням розв'язати задачі виду: «У бабусі було 6 яблук, вона ними пригостила онуків, кожному дала по 3 яблука. Скільки онуків одержали яблука?»

Аналізуючи умову задачі, можна кожне з 6 яблук позначити кружком і дужкою відділити яблука, що дали кожному онуку. А можна виконати схематичний рисунок, позначивши кожне яблуко відрізком довжиною в одну клітинку.

Онуків одержали яблука стільки, скільки в 6 яблуках вміщується по 3 яблука. Тому короткий запис:

В 6 ябл. вміщується по 3 ябл. - ?

Розв'язання

6 - 3 - 3 = 0

2 рази

Відповідь: 2 онуки одержали яблука.

Ознайомлення з арифметичною дією множення та ділення

Ознаймлення з діями множення та ділення відбувається в процесі розв'язування сюжетних задач. Наприклад, можна запропонувати задачу:

1. За партою сидить по два учні. Скільки учнів сидить за восьма партами?

Школярі пояснюють, що означає кожне число в задачі, та називають запитання задачі. Далі розбирають умову задачі за допомогою короткого запису або виконують схематичний рисунок. Аналіз розв'язання задачі передбачає з'ясувати, що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі та якою арифметичною дією відповімо на це запитання.

- Якою дією відповімо на запитання задачі? (Дією додавання.)

- Запишемо розв'язання: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16 (уч.)

- Запишемо відповідь: 16 учнів сидить за 8 партами.

- Що ви помітили, записуючи розв'язання задачі? (Тут всі доданки однакові.)

Висновок. У математиці додавання однакових доданків називають множенням. Множення - це нова арифметична дія.

- Які арифметичні дії ми знаємо? (Додавання, віднімання.) У кожної дії є свій знак: у дії додавання «+» - («плюс»), у віднімання - («мінус»). Множення записується знаком - («крапка»). Суму однакових доданків замінимо множенням за допомогою нового знаку (запис буде виглядати так: 2 ∙ 8 = 16.)

На першому місці пишемо однаковий доданок - 2, а на другому місці - кількість рівних доданків - 8. Цю рівність читаємо так: два помножити на вісім - дорівнює шістнадцять або якщо по два взяти вісім разів, отримаємо шістнадцять.

- Запишемо розв'язання задачі за допомогою дії множення: 2 ∙ 8 = 16 (уч.)

Таким чином ми розглянули інший спосіб розв'язання цієї задачі.

- Відповідаємо на запитання задачі: 16 учнів сидить за 8 партами.

Ознайомлення учнів з дією ділення відбувається підчасрозв'язання оберненої задачі.

2. У класі 16 учнів, їх слід розташувати за партами по 2 учні. Скільки повинно бути парт у класі?

Школярі розповідають про що говориться в задачі, називають запитання задачі, складають схематичний рисунок або короткий запис. Далі визначають, що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі, та з'ясовують, якою арифметичною дією це треба зробити:

- Якою дією відповімо на запитання задачі? (Дією віднімання.)

- Запишемо розв'язання: 16 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0

      8 разів

У 16 вміщується по 2 вісім разів, тому 8 парт потрібно, щоб розташувати 16 учнів по 2 учні за кожною партою.

- Запишемо відповідь: 8 парт потрібно.

- Яку закономірність Ви помітили, записуючи цей вираз? (Тут декілька разів віднімаємо одне й те саме число, до тих пір, поки не отримаємо нуль.)

- У математиці віднімання однакових чисел, доки не отримаємо нуль, можна замінити діленням. Ділення - це нова арифметична дія. Ділення записується знаком «:» - («двокрапка»).

- Різницю однакових від'ємників замінимо діленням. За допомогою нового знаку запис виглядає так: 16 : 2 = 8.

На першому місці пишемо зменшуване, а на другому місці -однаковий від'ємник, а після знаку рівності - скільки разів вміщується в зменшуваному однаковий від'ємник. Цю рівність читаємо так: 16 поділити по 2 - отримаємо 8, або в 16 вміщується по 2 вісім разів.

- Запишемо розв'язання задачі за допомогою дії ділення: 16 : 2 = 8; у дужках нічого не пишемо, бо ми отримали, що 8 разів вміщується в 16 по 2, і лише після цього зробимо висновок про кількість парт, які необхідні для розташування учнів. Таким чином, ми розглянули інший спосіб розв'язання цієї задачі.

Назви компонентів і результатів арифметичних дій множення та ділення

Познайомити з назвою компонентів і результату дій множення та ділення можна на підставі аналогії між діями множення та додавання, діями ділення та віднімання. Корисно підкреслити, що множення визначається через додавання, а ділення - через віднімання. Виходячи з цього, у дій додавання та множення, віднімання та ділення повинно бути багато спільного. По-перше, спільне можна побачити в назвах компонентів цих дій: при додаванні та множенні компоненти, з якими виконують дії, називаються за характером дії (додають - доданок, множать - множник), однаково, лише кажуть про порядок: перший доданок/множник, другий доданок/множник; а при відніманні та діленні - по-різному: більше число, яке зменшується в результаті віднімання та ділення, називають зменшуване/ділене, а число, яке віднімають або на яке ділять,називають відповідно тієї дії, що виконують – від’ємник/дільник.

У результаті додавання та множення отримаємо більше число, і воно називається відповідно «значення суми/добутку», а в результаті віднімання та ділення отримаємо менше число порівняно з вихідним, і воно називається «значення різниці/частки».

Числа, які множать, називаються множниками. Число, яке дістаємо при множенні, називають значенням добутку.

Виходячи з конкретного змісту арифметичної дії множення (множення можна замінити сумою однакових доданків), перший множник показує, яке число є однаковим доданком, а другий - скільки разів його слід додати!

Якщо два числа поєднані знаком множення, то записаний математичний вираз - добуток. Щоб записати добуток двох чисел, треба поєднати їх знаком множення.

Число, яке ділять, називається діленим. Число, на яке ділять - дільником. Число, яке дістаємо при діленні, називають значенням частки.

Якщо два числа поєднані знаком ділення, то записаний математичний вираз - частка. Щоб записати частку двох чисел, треба поєднати їх знаком ділення.

Переставний закон дії множення

Теоретичну основу побудови таблиць множення складає переставний закон дії множення. Використання цього закону полегшує складання таблиць і зменшує число табличних випадків для запам'ятовування. Тому доцільно познайомити учнів з переставним законом відразу після засвоєння конкретного змісту дії множення.

Переставний закон дії множення вводиться на підставі аналогії з переставним законом дії додавання:

- Як називаються числа при додаванні? (Доданок, доданок, значення суми). Цікаво, що компоненти дії додавання називаються однаково - доданки.

- У результаті додавання отримаємо більше чи менше число? (У результаті додавання отримаємо більше число, сума більша за доданки, якщо доданки відмінні від 0)

- Сформулюйте та запишіть переставний закон додавання. (Від перестановки доданків значення суми не змінюється. Числа можна додавати в будь-якому порядку: а + в = в + а)

- Яку арифметичну дію можна замінити множенням? (Множення - це додавання однакових доданків.)

- Як називаються числа при множенні? (Множник, множник і значення добутку.)

- Цікаво, що компоненти при множенні називаються однаково. Це в них є спільним!

- У результаті множення отримаємо більше чи менше число? (Більше, значення добутку більше за кожний множник, якщо множники відмінні від нуля або одиниці.)

- Згадайте, чи не зустрічали ми раніше таку арифметичну дію, в якій компоненти називалися однаково, а в результаті отримували більше число? (Так, це дія додавання).

- Що ми знаємо про дію додавання? (Дії додавання притаманний переставний закон.)

- Дізнаємося, чи властивий переставний закон дії множення.

- Що треба змінити в записі переставного закону додавання, щоб отримати переставний закон множення? (Треба змінити знак «+» на знак «∙». Отримаємо: а ∙ в = в ∙ а.)

- Це треба перевірити. Наведіть приклади на застосування переставного закону множення. (5 ^. 3 повинно дорівнювати 3 ^. 5. Перевіримо це: 5 ^. 3 = 5 + 5 + 5 = 15, 3 ^. 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, 15 = 15 - це правильна рівність.)

- Який висновок можна зробити? (Дії множення притаманний переставний закон.) Сформулюйте переставний закон множення. Що треба змінити в формулюванні переставного закону додавання? Від перестановки множників значення добутку не змінюється. Числа можна множити в будь-якому порядку.

Можна поєднати формулювання переставного закону додавання та множення:

Від перестановки доданків/множників значення суми/добутку не змінюється.

Взаємозв'язок множення та ділення

Взаємозв'язок арифметичних дій множення та ділення відбувається по аналогії із взаємозв'язком дій додавання та віднімання. Тому слід порівняти між собою дії додавання та віднімання, множення та ділення як взаємнообернені арифметичні дії. Додавання та віднімання - взаємнообернені дії, вони пов'язані між собою так: якщо від суми двох доданків відняти один доданок, то залишиться інший доданок, тому додавання перевіряється відніманням.

Якщо взяти до уваги, що множення - це додавання однакових доданків, (а ділення - це віднімання однакових чисел доки не отримаємо нуль), то, замінивши додавання на множення, а віднімання - на ділення, отримаємо взаємозв'язок між діями множення та ділення:

Можна виготовити плакат з рухомими рисками, на яких записані знаки арифметичних дій: одним рухом знак «+« замінюється знаком « ^. », знак «-« - знаком « : ».

Отже, множення й ділення також взаємнооберненні дії, вони пов'язані аналогічно: якщо добуток двох множників поділити на один із них, то отримаємо інший множник, тому множення перевіряється діленням. Таким чином, на підставі порівняння взаємозв'язків додавання та віднімання, множення та ділення можна зробити узагальнений висновок: якщо від суми/добуток двох чисел відняти/поділити на одне число, то залишиться інше число.

Для закріплення взаємозв'язку арифметичних дій множення та ділення пропонуємо учням з кожної рівності на множення скласти по дві рівності на ділення.

Від числа а відняти число в - це означає знайти таке число с, яке в сумі з від'ємником в дає зменшуване а. Тому віднімання перевіряється додаванням. Число а поділити на число в - це означає знайти таке число с, яке в добутку з дільником в дає ділене а.

Властивості множення та ділення з 0 та 1

Перед складанням таблиць множення та ділення відбувається ознайомлення учнів із множенням та діленням з числами 0 та 1.

Ознайомлення з властивостями множення з числами 0 та 1 відбувається за допомогою індуктивних узагальнень. На підставі конкретного змісту дії множення учні обчислюють значення добутків: одного та 6, одного та 4, одного та 10, одного та числа а.

Порівнюючи значення добутку та другий множник, учні впевнюються, що вони рівні. Постає проблемне запитання: «Чи завжди при множенні одержуємо число, що дорівнює другому множнику?». Звичайно не завжди! А в якому ж випадку? У випадку множення одиниці на будь-яке число одержуємо те саме число.

Спираючись на переставний закон множення, школярі знаходять значення добутків шести та 1, чотирьох та 1, десяти та 1, числа а та 1, і дістають висновку: при множенні будь-якого числа на 1 одержимо те саме число.

При множенні одиниці на будь-яке число або числа на одиницю, одержимо те саме число!

В аналогічний спосіб будується методика ознайомлення молодших школярів із правилом множення нуля на будь-яке число або числа на нуль. Діти доходять висновку:

При множенні нуля на будь-яке число або числа на нуль одержимо нуль!

Ділення з нулем та одиницею. На підставі взаємозв'язку арифметичних дій множення та ділення учні складають з рівності на множення дві рівності на ділення:

Учні самостійно формулюють відповідні правила:

1) при діленні числа на само себе в результаті одержуємо 1: а : а = 1;

2) при діленні будь-якого числа на 1 в результаті одержуємо те саме число: а : 1 = а;

3) при діленні нуля на будь-яке число в результаті одержуємо нуль: 0 : а = 0;

4) ділити на нуль не можна, тому що не існує такого числа, яке при множенні на нуль дає число, що відмінне від нуля.

Множення та ділення на 10

На підставі конкретного змісту арифметичної дії множення школярі знаходять значення добутку числа 10 та іншого одноцифрового числа. Наприклад, одержуємо наступні рівності:

10 ∙ 5 = 50  10 ∙ 7 = 70   10 ∙ 9 = 90

Порівнюючи запис значення добутку та другий множник, встановлюємо, що в значенні виразу спочатку записана така сама цифра, яка використана для запису другого множника, та ще цифра нуль. З'ясовуємо, чому саме приписаний нуль? Звертаємо увагу на запис першого множника - це число десять, в запису якого є один нуль. Формулюємо висновок: щоб помножити 10 на будь-яке число, достатньо до цього числа приписати праворуч один нуль.

Ділення на 10 вводиться через застосування взаємозв'язку між діями множення та ділення й добутків, в яких один з множників число 10:

Учні підкреслюють рівності, у яких дільник число 10. Порівнюючи запис значення частки та запис діленого, вони помічають: щоб одержати частку, треба в запису діленого прикрити (забрати) один нуль. Чому один нуль? Тому, що в запису дільника - числа 10 - є один нуль. Формулюємо правило: для того, щоб розділити число на 10, достатньо в його запису праворуч прибрати один нуль.

Ділення на рівні частини

Ділення на рівні частини вводиться на підставі розв'язування пари взаємообернених задач, перша з яких відома учням, як задача виду - ділення на вміщення, а друга нова -ділення на рівні частини. Пропонуються взаємообернені задачі:

1) У Наталки було 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки подругам по 3 кожній. Скільки подруг одержали цукерки?

Діти виконують схематичний рисунок, позначаючи кожну цукерку відрізком довжиною в одну клітинку, роблять висновок, що подруг стільки, скільки в 12 цукерках міститься по 3 цукерки. Записуємо відповідний короткий запис. З'ясовуємо, що задачу множна розв'язати двома способами: відніманням з 12 по 3, доки не одержимо нуль з наступним висновком або діленням (зазначимо, що на даному етапі навчання діти знаходять значення часток лише за допомогою конкретного змісту - відніманням). Оформляємо розв'язання та записуємо відповідь.

2) У Наталки 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки чотирьом подругам порівну. По скільки цукерок одержала кожна подруга?

Дію виконуємо практично або на за допомогою рисунку:

- Скільки потрібно взяти цукерок, щоб роздати кожній подрузі по одній цукерці? (Стільки, скільки подруг, тобто 4) Беремо 4 цукерки, роздаємо кожній подрузі по одній цукерці...

- Чи всі цукерки ми роздали? (Ні) Візьміть ще стільки цукерок, щоб роздати кожний подрузі ще по одній цукерці.

- Чи всі цукерки ми роздали? (Ні) Візьміть ще стільки цукерок, щоб роздати кожний подрузі ще по одній цукерці.

- Чи всі цукерки ми роздали? (Так) Скільки цукерок одержала перша подруга? (3) Скільки друга? (3). Скільки четверта? (3). Що можна сказати про кількість цукерок, що одержала кожна подруга? (Кожна подруга одержала цукерок порівну - по 3).

- Скільки всього було цукерок? (12) Скільки подруг одержали цукерки? (4 подруги) Що можна сказати про кількість цукерок у кожної подруги? (У кожної подруги цукерок порівну) По скільки цукерок одержала кожна? (По 3).

- Запишемо розв'язання: 12 : 4 = 3 (цукерки). 12 цукерок ділили порівну на 4 частини та отримали по 3 цукерки в кожній частині. Таким чином, у цій задачі ми виконували ділення на рівні частини.

- Порівняйте ці задачі. Чим вони схожі? Чим відрізняються? (Схожі тим, що в обох задачах ділили 12 цукерок, але в першій ділили по 3 цукерки, тому це задача на вміщення, а в другій - ділили порівну на 4 частини, тому це задача на ділення на рівні частини. Обидві задачі на ділення, але вони відрізняються процесом ділення.)

- Після цього пропонуємо учням порівняти опорні схеми задач на ділення на рівні частини та ділення на вміщення:

Якщо в задачі говориться про те, що щось розклали, розсипали, роздали, розрізали ... по/порівну, тоді слід виконати дію ділення на вміщення/на рівні частини.

Методика складання таблиць множення та ділення

Таблиці множення складаються за сталим першим чи сталим другим множником. При складанні таблиць за сталим першим множником у всіх випадках добуток замінюється сумою одних і тих самих однакових доданків, кількість яких змінюється, а за сталим другим множником сума містить одне й те саме число двійок або трійок і т.д.

Загальноприйнято складати таблиці множення за сталим першим множником; таблиці починаються з множення певного числа на 2 і закінчуються множенням на 9.

Розглянемо можливі способи обчислення табличних результатів:

1. Спосіб на підставі конкретного змісту дії множення: 2 ^. 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

2. Спосіб на підставі переставної властивості дії множення: 8 ^. 2 = 2 ^. 8 = 16.

3. Спосіб на підставі попереднього значення: 2 ^. 7 = 2 ^. 6 + 2 = 12 + 2 = 14.

4. Спосіб на підставі наступного значення: 2 ^. 7 = 2 ^. 8 - 2 = 16 - 2 = 14.

5. Спосіб групування: 2 ^. 8 = 2 ^. 4 + 2 ^. 4 = 8 + 8 = 16.

6. Спосіб послідовного множення: 3 ^. 4 = 3 ^. 2 ^. 2 = 6 ^. 2 = 12.

Учні мають не лише зрозуміти, як одержати результати таблиць множення, а й добре їх запам'ятати. Тому слід застосовувати спеціальну систему навчальних завдань, яка спрямована на актуалізацію способів запам'ятовування табличних результатів:

1. Розкажіть таблицю множення по порядку.

2. Прочитайте результати таблиці множення по порядку. Що цікавого ви помітили? На скільки кожний наступний результат більше попереднього? Чому? Назвіть результати таблиці напам'ять по порядку від найменшого до найбільшого.

3. На скільки кожний наступний результат більше попереднього? Чому? Назвіть результати таблиці напам'ять від найбільшого до найменшого.

4. Розкажіть напам'ять таблицю множення від випадку множення на 9 до випадку множення на 2.

5. Які результати ви краще запам'ятали? Назвіть співзвучні. (Виділяємо опорні випадки).

6. Використовуючи знання наступного та попереднього значення, відтворити певний табличний результат. Наприклад, якщо ви забули результат множення 6 ^. 7, то як ви це з'ясуєте? Назвіть різноманітні способи.

Таблиці ділення складаються на підставі взаємозв'язку між діями множення та ділення: якщо добуток двох чисел розділити на перший множник, то одержимо другий множник; якщо добуток двох чисел розділити на другий множник, то одержимо перший множник. Учні записують у зошитах таблицю множення на певне число, а потім їм пропонується скласти з рівностей на множення дві рівності на ділення. Для засвоєння табличного ділення пропонуємо учням для кожного окремого випадку міркувати так: 21 : 7 - це означає знайти таке число, яке в добутку з 7-ма дає 21; це число 3; тому 21 : 7 = 3, тому що 3 ^. 7 = 21.

Знаходження невідомого множника, діленого та дільника

Перед ознайомленням з правилом знаходження невідомого множника необхідно повторити взаємозв'язок арифметичних дій додавання та віднімання, множення та ділення, а також пригадати, що невідомий доданок знаходимо оберненою дією - відніманням, аналогічно - невідомий множник - дією ділення. Щоб одержати перший доданок, треба від суми відняти другий доданок; відповідно, щоб одержати перший множник, треба добуток поділити на другий множник. Так само робимо висновок щодо знаходження другого множника. Узагальнюємо ці правила:

Щоб знайти невідомий доданок/множник, треба від суми/добуток відняти/розділити відомий доданок/множник.

Правила знаходження невідомого діленого або дільника виводяться на підставі аналогії з правилами знаходження невідомого зменшуваного або від'ємника. Учні порівнюють арифметичні дії віднімання та ділення, визначають у них спільне (ділення можна замінити відніманням однакових чисел, доки не одержимо нуль; і при відніманні, і при діленні в результаті одержуємо менше число; і при відніманні, і при діленні компоненти називаються по-різному - за характером дій, що відбуваються з числами: зменшуване - ділене, від'ємник -дільник, причому зменшуване чи ділене має бути не менше, а більше від'ємника чи дільника або дорівнювати їм відповідно).

Отже, зменшуване та ділене - «велике» число. Учні згадують, що велике число на першому ступені знаходять додаванням (тому зменшуване знаходять додаванням), а на другому ступені - множенням (тому ділене знаходять множенням). Формулюємо правило знаходження невідомого зменшуваного та за аналогією відтворюємо правило знаходження невідомого діленого:

Щоб знайти невідоме зменшуване/ділене, треба додати/помножити до від’ємника/дільник різницю/на частку.

З'ясовуємо, що від'ємник має бути менший від зменшуваному або дорівнювати йому, так само дільник - менший за ділене або дорівнює йому. Менше число на першому ступені знаходять дією віднімання, тому від'ємник знаходять відніманням; а на другому ступені менше число знаходять дією ділення, тому дільник знаходять діленням. За аналогією з правилом знаходження невідомого від'ємника учні формулюють правило знаходження невідомого дільника:

Щоб знайти невідомий від’ємник/дільник, треба відняти/поділити від зменшуваного/ділене різницю/на дільник.

Ці правила школярі мають формулювати та застосовувати при виконанні вправ на знаходження невідомого компонента арифметичних дій.

Збільшення або зменшення числа в кілька разів. Кратне порівняння

Відношення кратного порівняння вводиться на основі паралельного порівняння різницевого та кратного відношень. Розглянемо зміст підготовчих завдань.

Пропонуємо учням покласти в рядок 3 квадрати, а нижче покласти стільки квадратів, щоб їх було на 2 більше, ніж у верхньому рядку. Діти визначають, що в нижньому рядку квадратів на 2 більше - «стільки, скільки й у верхньому та ще 2»; стільки ж та ще 2 знаходять дією додавання; у верхньому рядку на 2 квадрати менше - «стільки ж, але без 2»; стільки ж, але без 2 знаходять дією віднімання.

Після відповідної роботи учні викладають у верхньому рядку 3 квадрати, а нижче під ними - два рази по три квадрати. З'ясовуємо, що в нижньому рядку квадратів більше, тому що поклали два рази по стільки, скільки й у першому рядку. Учитель повідомляє, що в цьому випадку кажуть, що в нижньому рядку в 2 рази більше квадратів, ніж у першому. Визначаємо, де квадратів менше. У верхньому рядку лише один раз по 3 квадрати, а в нижньому - два рази по 3 квадрати, тому у верхньому рядку в 2 рази менше квадратів, ніж у нижньому. Діти дістають висновку:

Для того, щоб стало в 2 рази більше, ніж 3, треба по 3 взяти 2 рази.

Для того, щоб стало в 2 рази менше, ніж 6, треба 6 розділити на дві рівні частини.

З метою засвоєння понять «збільшення або зменшення числа в кілька разів», учні виконують практичні вправи типу:

Покладіть ліворуч 2 квадрати, а праворуч в 4 рази більше. Що треба зробити, що покласти в 4 рази більше квадратів? (По 2 квадрати взяти 4 рази) Якою дією можна обчислити, скільки квадратів треба покласти? (Дією множення). Скільки буде, якщо по 2 взяти 4 рази? Діти обчислюють і перевіряють перерахунком.

Покладіть до верхнього рядка 15 трикутників, а до нижнього - в 3 рази менше. Що слід зробити, щоб покласти в 3 рази менше, ніж 15 трикутників? (Треба 15 розділити порівну на 3.) Якою арифметичною дією можна обчислити, скільки трикутників треба покласти до нижнього рядка? (Дією ділення.) Обчислюємо та перевіряємо перерахунком.

Результати співставлення збільшення або зменшення на кілька одиниць та в кілька разів можна подати у вигляді опорного конспекту.

Більше число знаходять або дією додавання, або дією множення. Додаванням знаходимо число, яке на кілька одиниць більше за дане, а множенням знаходимо число, яке в кілька разів більше даного числа.

Менше число знаходимо або відніманням, або діленням.

Віднімаємо тоді, коли шукане число на кілька одиниць менше даного, а ділимо тоді, коли шукане число в кілька разів менше певного числа.

Правило кратного порівняння також вводиться на підставі паралельного порівняння з різницевим порівнянням. Актуалізуємо правило різницевого порівняння (щоб дізнатися, на скільки одне число більше чи менше за інше число, треба від більшого числа відняти менше), збільшення (зменшення) числа на кілька одиниць або в кілька разів.

Пропонуємо учням накреслити відрізок АВ довжиною 2 см. Під ним накреслити відрізок МК, довжина якого в 5 разів більша за довжину відрізка АВ. З'ясовуємо, який відрізок довший. У скільки разів відрізок МК довший за відрізок АВ? Щоб про це дізнатися, треба підрахувати скільки разів у довжині відрізка МК міститься по 2 см, що знайдемо арифметичною дією ділення. Отже, щоб дізнатися, в скільки разів одне число більше за інше, треба розділити більше число на менше.

Визначаємо, який відрізок має меншу довжину та в скільки разів. Довжина відрізка АВ у стільки разів менша за довжину відрізка МК, скільки разів довжина відрізка МК більша за довжину відрізка АВ. Таким чином, щоб дізнатися, в скільки разів одне число менше за інше, треба більше число поділити на менше.

Зіставляємо правила різницевого та кратного порівняння і формулюємо узагальнене правило:

Щоб дізнатися на/у скільки разів одне число більше чи менше за інше, треба від більшого/е числа/о відняти/розділити на менше число.

На цьому етапі корисні вправи, у яких треба дізнатися, на скільки одне число більше чи менше іншого та в скільки разів воно більше чи менше даного числа, тобто для однієї й тієї самої пари чисел (в тому числі й величин).

Зміна добутку залежно від зміни одного з множників. Зміна частки в залежності від зміни діленого. Зміна частки в залежності від зміни дільника

Порівнюючи табличні випадки множення, з'являється можливість для дослідження характеру зміни добутку залежно від зміни одного з множників. Наприклад, порівнюємо дві рівності з таблиці множення на 3: 3 ^. 2 = 6 та 3 ^. 4 = 12. З'ясовуємо, що в цих добутках однакові перші множники, відрізняються вони другими множниками: в першій рівності другий множник 2, а в другій - 4; число 4 більше за 2 у 2 рази; значення першого добутку 6, а другого - 12, 12 більше за 6 у 2 рази. Дістаємо висновку: якщо другий множник збільшити в 2 рази, то й значення добутку так само збільшується в 2 рази. Аналогічно, порівнявши другу рівність із першою, робимо висновок: якщо другий множник зменшиться в 2 рази, то й значення добутку так само зменшиться в 2 рази.

Можна обмежитися лише визначенням характеру зміни значення добутку в залежності від зміни одного з множників: значення добутку та множник змінюються в одному напрямку: якщо множник збільшується, то й значення добутку так само збільшується!

Аналізуючи певні випадки з таблиці ділення (6 : 3 = 2 та 12 : 3 = 4; 18 : 3 = 6 та 18 : 9 = 2), можна дістати наступних висновків:

1) значення частки та ділене змінюються в одному напрямку: якщо ділене збільшиться в кілька разів, то значення частки так само збільшиться в стільки ж разів; якщо ділене зменшиться в кілька разів, то значення частки також зменшиться в стільки ж разів;

2) значення частки та дільник змінюються в протилежних напрямках: якщо дільник збільшиться в кілька разів, то значення частки, навпаки, зменшиться в стільки ж разів; якщо дільник зменшиться в кілька разів, то значення частки, навпаки, збільшується в стільки ж разів.