Нова українська школа: методика навчання математики у 1-2 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2019

3.2.2. Формування вміння розв'язувати складені задачі. Навчання запису розв'язання складеної задачі виразом
3.2. Складені задачі
Розділ 3. Методика навчання розв'язування задач у 1-2 класах

Пропонуємо учням розглянути кілька задач, працюємо ко­лективно під керівництвом учителя, звертаємося до пам’ятки № 3 «Працюю над задачею».

1. Розв'яжіть задачу.

У шкільній їдальні було 16 л олії. На сніданок витратили 1 л олії, а на обід — 6 л. Скільки літрів олії залишилося?

Прочитайте задачу. Про що йдеться в задачі? [У задачі роз­повідається про олію, яка спочатку була в їдальні, потім частину її витратили, а решта залишилася.]

Виділяємо ключові слова та складаємо короткий запис. Які ключові слова можна виділити? [«Було», «витратили», «залиши­лося».] Запишемо ключові слова у стовпчик.

Чи відомо, скільки літрів олії було в їдальні? [Так, 16 л.] За­пишемо це. Чи відомо, скільки літрів олії витратили? [Ні.] А що про це відомо? [Відомо, що витратили на сніданок 1 л олії, а на обід 6 л.] Запишемо ці числові значення. Чи відомо, скільки лі­трів залишилося? [Ні це шукане число.] Поставимо знак питан­ня і візьмемо його в кружечок. За коротким записом пояснюємо числа задачі. [Число 16 означає, скільки літрів олії було в їдальні, число 1 означає, скільки літрів олії витратили на сніданок, чис­ло 6 означає, скільки літрів олії витратили на обід.]

Виконаємо схему задачі:

Повторіть запитання задачі. [Скільки літрів олії залиши­лося в їдальні?] Що потрібно знати, щоб відповісти на запитан­ня задачі? [Треба знати два числових значення: І — скільки лі­трів олії було (відомо, 16), II — скільки літрів олії витратили (невідомо).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на за­питання задачі? [Дією віднімання, тому що залишилося менше, ніж було.] Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Не можна, тому що ми не знаємо, скільки літрів олії витрати­ли.] Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати два числових значення: І — скільки літрів олії витратили на сніданок (відомо, 1) та II — скільки літрів олії витратили на обід (відомо, 6).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запитання? [Дією додавання, тому що всього витратили на сніданок і на обід олії більше, ніж окремо на сніданок та окремо на обід.] Таким чином, ми від запитання перейшли до числових даних, аналіз закінчено.

На яке запитання можна відповісти відразу? [Скільки всього літрів олії витратили?] Покажіть на схемі аналізу першу просту задачу. На яке запитання ми можемо відповісти потім? [Скільки літрів олії залишилося?] Покажіть на схемі аналізу дру­гу просту задачу.

Про що ми дізнаємося в першій простій задачі? [У першій простій задачі ми дізнаємося, скільки всього літрів олії витратили на сніданок та обід.] Сформулюйте першу просту задачу. [На сні­данок витратили 1 л олії. На обід витратили 6 л олії. Скільки лі­трів олії витратили всього на сніданок та обід?] Покажіть опорну схему до цієї задачі. (Учні показують опорну схему до простих за­дач на знаходження суми.)

Учні виконують короткий запис цієї простої задач.

Про що ми дізнаємося у другій про­стій задачі? [Ми дізнаємося, скільки лі­трів олії залишилося.]

Сформулюйте другу просту задачу. [Було 16 л олії. На сніда­нок і обід всього витратили [ ] л олії. Скільки літрів олії залиши­лося?] Покажіть опорну схему до цієї задачі. (Учні показують опорну схему до простих задач на знаходження різниці.)

Покажіть другу просту задачу на ко­роткому записі. Про що ми дізнаємося пер­шою дією? [Першою дією ми дізнаємося про те, скільки всього олії витратили на сніданок та обід.] Про що ми дізнаємося другою дією? [Другою дією ми дізнаємося про те, скільки літрів олії залишилося.]

Запишіть розв’язання задачі по діях із поясненням. Назвіть запитання задачі. Запишіть відповідь.

Розв’язання:

1) 1 + 6 = 7 (л) всього витратили;

2) 16 - 7 = 9 (л) залишилося.

Розв’язання задачі можна записати виразом:

16 - (1 + 6) = 9 (л).

Відповідь: 9 літрів олії залишилося.

З’ясовуємо, до якого виду задач належить задача. [Це скла­дена задача, тому що вона складається з двох простих задач.] Яку першу просту задачу вона містить? [Перша проста задача — на знаходження суми.] Яку другу просту задачу вона містить? [Дру­га проста задача — на знаходження різниці.] Потрібно зазначити, що розглянута задача має два способи розв’язання, тому після її розв’язання доцільно запропонувати учням розв’язати задачу ін­шим способом.

Щоб знайти інші способи розв’язування задачі, варто вико­ристовувати переформулювання запитання задачі та схематичну інтерпретацію заданного формулювання.

Ще раз повертаємося до тексту задачі, ілюструємо події, що описуються. На схемі показуємо, що спочатку було 16 л олії. Щоб показати, що на сніданок витратили 1 л олії, вилучаємо з цілого відрізка його частину, інша частина позначатиме олію, що зали­шилася після сніданку. Далі олію витрачали з тієї кількості, що лишилася після сніданку: з цього відрізка вилучаємо частину, що позначає олію, що витратили на обід, і показуємо іншу частину — залишок олії після обіду.

Отже, запитання задачі можна переформулювати так: «Скіль­ки олії залишилося в їдальні після обіду?». Що достатньо знати, щоб відповісти на це запитання? [Достатньо знати два числових значення: І — скільки літрів олії залишилося після сніданку (не­відомо), II — скільки літрів олії витратили на обід (відомо — 6 л).]

За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитан­ня задачі? [Дією віднімання.] Чи можна відповісти на запитання задачі відразу? [Ні, ми не знаємо, скільки літрів олії залишило­ся після сніданку.] Що достатньо знати, щоб дізнатися, скіль­ки літрів олії залишилося після сніданку? [Достатньо знати два числових значення: І — скільки літрів олії було в їдальні (відо­мо 16 л), II — скільки літрів олії витратили на сніданок (відо­мо — 1 л).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на за­питання задачі? [Дією віднімання.] Чи можна відразу відповісти на це запитання? [Так, нам відомі обидва числових значення.] Аналіз закінчено.

Ділимо задачу на прості: позначаємо трикутниками прості задачі на схемі аналізу. На яке запитання ми можемо відповісти відразу? [Скільки літрів олії залишилося після сніданку?] Це за­питання першої простої задачі. Сформулюйте першу просту зада­чу. [У їдальні було 16 л олії. На сніданок витратили 1 л олії. Скільки літрів олії залишилося після сніданку?] Покажіть опорну схему цієї задачі. (Учні показують опорну схему задачі на знаходження різниці.) На яке запитання ми зможемо відповісти потім? [Скільки літрів олії залишилося після обіду?] Це запитан­ня другої простої задачі. Сформулюйте другу просту задачу. [Піс­ля сніданку залишилося [ ] л олії. На обід витратили 6 л олії. Скільки літрів олії залишилося після обіду?] Покажіть опорну схему цієї задачі. (Учні показують опорну схему задачі на знахо­дження різниці.)

Складаємо план розв’язування задачі. Першою дією відповімо на запитання першої простої задачі. Про що ми дізнаємось у пер­шій простій задачі? Про що ми дізнаємось першою дією? [Скільки літрів олії залишило­ся після сніданку?] Другою дією відповімо на запитання другої простої задачі. Про що ми дізнаємось другою дією? [Скільки літрів олії залишилося після обіду?]

Записуємо розв’язання задачі:

1) 16 - 1 = 15 (л) олії залишилося після сніданку;

2) 15 - 6 = 9 (л) олії залишилося після обіду.

Розв’язання задачі можна записати виразом: (16 - 1) - 6 = 9 (л).

Відповідь: 9 л олії залишилося у їдальні.

2. Розв'яжіть задачу.

На урок учні принесли 7 аркушів зеленого паперу і 5 жовтого. На виготовлення коробки витратили 4 аркуші. Скільки аркушів за­лишилося?

Пропонуємо учням прочитати задачу.

Про що йдеться в задачі? Покажіть її опорну схему. Виділіть ключові слова, складіть короткий запис задачі. Поясніть значення числових даних. Назвіть запитан­ня задачі. Виконайте схему.

На які дві прості задачі можна розбити цю складену задачу? Сформулюйте ці задачі, покажіть їх опорні схеми. Виділіть прості задачі на короткому записі. [1) На урок учні принесли 7 аркушів зеленого паперу і 5 жовтого. Скільки всього аркушів паперу при­несли на урок? 2) На урок учні принесли [ ] аркушів паперу. На виготовлення коробки витратили 4 аркуші. Скільки аркушів па­перу залишилося?]

Складіть план розв’язування задачі. Запишіть розв’язання задачі по діях з поясненнями. Повторіть запитання. Запишіть від­повідь.

Учитель пропонує учням розв’язати цю задачу іншим спо­собом.

Оскільки в задачі не зазначено, аркуші якого кольору витратили, вважатимемо, що це аркуші зеленого кольору. Складіть таку задачу. Виконайте схему.

Поділіть задачу на прості. [1) На урок учні принесли 7 ар­кушів зеленого кольору та 5 жовтого. 4 аркуші зеленого кольо­ру витратили. Скільки аркушів зеленого кольору залишилось? 2) На урок учні принесли аркуші зеленого та жовтого кольо­рів. Після того як витратили кілька аркушів зеленого кольору, в учнів залишилося [ ] зелених аркушів; а аркушів жовтого ко­льору учні принесли 5 штук і не витрачали їх. Скільки аркушів паперу залишилося?]

Сформулюйте план розв’язування задачі. Запишіть роз­в’язання по діях із поясненнями. Повторіть запитання. Запишіть відповідь.

Ще раз повернемося до змісту задачі. Згадаємо, що в задачі не сказано, якого ко­льору аркуші паперу витратили учні, і ми вважали, що витратили зелені аркуші. Але можна було вважати, що витратили жовті аркуші. Складіть таку задачу. Виконайте схему.

Поділіть складену задачу на прості. Розкажіть план розв’я­зування задачі. Розкажіть розв’язання. Назвіть відповідь.

За яких умов задача має лише один спосіб розв’язування? [Якщо витратили більше ніж 7 аркушів паперу: (7 + 5) - [9].] За яких умов задача матиме лише два способи розв’язування? [Якщо витратили більше ніж 5 аркушів паперу.]

1 сп.: (7 + 5) - [6].

2 сп.: (7 - [6]) + 5.

За яких умов задача матиме три способи розв’язування? [Якщо витратили менше ніж 5 аркушів паперу.)

1 сп.: (7 + 5) - [4].

2 сп.: (7 - [4]) + 5.

3 сп.: (5 — [4]) + 7.

Подальше формування умінь учнів розв’язувати складе­ні задачі в 2 класі здійснюється під час розв’язування різнома­нітних видів складених задач, робота над якими проводиться за пам’яткою № 3 «Працюю над задачею».

ВИДИ СКЛАДЕНИХ ЗАДАЧ У 2 КЛАСІ

Пропонуємо класифікацію складених задач на підставі останньої простої задачі, яку вона містить. Виходячи з цього, у 2 класі початкової школи розглядаються складені задачі таких видів: на знаходження різниці; на знаходження суми; на зна­ходження невідомого доданка; на збільшення (зменшення) чис­ла на кілька одиниць; на різницеве порівняння; на знаходження частки.

Зазначимо, що в межах одного виду існують різні типи за­дач, які відрізняються один від одного математичною структу­рою — складом простих задач. Розглянемо докладно типи задач у межах кожного виду, які розв’язуються в курсі математики 2 класу чотирирічної початкової школи.

1. Задачі на знаходження різниці

2. Задачі на знаходження суми

3. Складені задачі на знаходження невідомого доданка

4. Складені задачі на збільшення (зменшення) числа на кілька одиниць

5. Складені задачі на різницеве порівняння

6. Складені задачі на знаходження частки

Ми розглянули види складених задач для 2 класу і запро­понували опорні схеми до них. Слід ще раз наголосити, що ро­бота над задачею здійснюється за пам’яткою № 3 «Працюю над задачею». Разом із тим, якщо після читання задачі й складання її короткого запису та схеми учень може відразу розбити задачу на прості задачі та сформулювати план розв’язування, то попе­редні пункти пам’ятки пропускаються (тобто в дитини кількість дій із розв’язування складених задач скорочується). Однак кож­на задача нового виду обов’язково розбирається за пам’яткою № 3 «Працюю над задачею», виділяються особливості структури її ко­роткого запису (математичної структури), аналізується її склад із простих задач, узагальнюється план розв’язування задач даної математичної структури.

Складені задачі нової математичної структури вводяться на основі або порівняння з простими задачами, або продовження сюжету простої задачі, або зміни запитання простої задачі, або зміни умови чи запитання складеної задачі відомої математич­ної структури. Таким чином, досліджується вплив цих змін на розв’язання задачі. Крім того, застосовується й такий методич­ний прийом, коли задача нової структури подається без зістав­лення з відомими структурами, що спонукає до відтворення по­вного комплексу дій, які складають загальне уміння розв’язувати складені задачі.

Задачі розв’язують усно або письмово: усно — без запису арифметичних дій у зошит, письмово — із записом дій у зошитах. Розглянемо кілька прикладів роботи над задачами.

1. Розв'яжіть задачу.

На кролефермі було 25 білих кролів, 43 чорні, а сірих — на 12 менше, ніж білих і чорних разом. Скільки сірих кролів було на кролефермі?

Про що йдеться в задачі? Складіть короткий запис задачі. Які ключові слова можна виділити? [«Білі», «чорні», «сірі».] За­пишемо їх у стовпчик.

Чи відомо, скільки було білих кролів? [Відомо, 25.] Запише­мо це. Чи відомо, скільки було чорних кролів? [Відомо, 43.] Чи знаємо ми, скільки було сірих кролів? [Ні, не знаємо.] Поставимо знак питання. Що ми знаємо про сірих кролів? [Сірих кролів було на 12 менше, ніж білих і чорних разом.] Що це означає? [Це озна­чає, що сірих кролів стільки, скільки білих і сірих кролів разом, але без 12.] Як це показати на короткому записі? [Щоб показати, що сірих кролів стільки, скільки білих і чорних разом, але без 12, треба слова «Білі» й «Чорні» об’єднати фігурною дужкою, а біля неї записати «Сірі — ?, на 12 менше.»]

За коротким записом поясніть числові дані задачі. [Чис­ло 25 означає кількість білих кролів, число 43 — чорних кролів. Фігурна дужка означає, що сірих кролів стільки, скільки білих і чорних разом, але без 12. Число 12 означає, що сірих кролів на 12 менше, ніж сірих і чорних кролів разом.]

Виконайте схему та поясніть, що позначає кожний відрізок.

Яке запитання задачі? [Скільки сірих кролів було на кролефермі? Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати два числових значення: І — скільки білих і чорних кролів разом (невідомо), II — на скільки менше сірих кролів, ніж білих і чорних разом (відомо, на 12).] За допомогою якої арифме­тичної дії відповімо на запитання задачі? [Дією віднімання.]

Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки білих і чорних кролів ра­зом.] Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати два числові значення: І — скільки білих кролів (відомо, 25), II — скільки чорних кролів (відомо, 43).] За допомогою якої ариф­метичної дії відповімо на це запитання? [Дією додавання.]

Поділіть задачу на прості. Сформулюйте кожну просту задачу й покажіть опорні схеми до них. [Перша проста задача: «На кролефермі було 25 білих кролів і 43 чорні. Скільки було білих і чорних кролів разом?». Друга проста за­дача: «На кролефермі було [ ] білих і чорних кролів разом, а сірих — на 12 менше, ніж білих і чорних разом. Скільки сірих кролів було на кролефермі?»]

Складемо план розв’язування задачі. Про що дізнаємося першою дією? [Першою дією відповімо на запитання першої про­стої задачі, дізнаємося, скільки було білих і чорних кролів разом.] Про що ми дізнаємося другою дією? [Другою дією ми відповімо на запитання другої простої задачі і дізнаємося, скільки сірих кролів було на кролефермі.)

Запишемо розв’язання:

1) 25 + 43 = 68 (кр.) білих і чорних разом;

2) 68 - 12 = 56 (кр.) сірих.

Запишемо відповідь. [Відповідь: 56 сірих кролів на кроле­фермі.]

2. Розв'яжіть задачу.

У бібліотеці класу було 56 книжок. 37 книжок видали учням для читання. На скільки більше книжок видали, ніж залишилося в біб­ліотеці?

Прочитайте задачу. Про що в ній ідеться? [У задачі йдеться про книжки, які спочатку були, потім кілька книжок видали для читання і кілька книжок залишилося. Запитується, на скільки більше книжок видали, ніж залишилося в бібліотеці.]

Складаємо короткий запис, для цього виділимо ключові слова. Які ключові слова можна виділити? [«Було», «видали», «залишилося».] Запишемо їх у стовпчик. Чи відомо, скільки кни­жок було? [Відомо, 56.] Запишемо це. Чи відомо, скільки книжок видали? [Відомо, 37.] Запишемо це. Чи знаємо ми, скільки кни­жок залишилося? [Ні.] Поставимо знак питання. Яке запитання задачі і як його позначити на короткому записі? [Оскільки в за­дачі запитується, на скільки більше книжок видали, ніж зали­шилося, то слід з’єднати слова «видали» і «залишилося» круглою дужкою зі знаком питання.]

За коротким записом поясніть числові дані задачі. [Чис­ло 56 означає, скільки було книжок у бібліотеці. Число 37 озна­чає, скільки книжок видали для читання. Кругла дужка означає, на скільки більше книжок видали, ніж залишилося.]

Виконайте схему та поясніть, що позначає кожний відрізок. Яке запитання задачі? [На скільки більше книжок видали, ніж залишилося в бібліотеці?] Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати два числових значення: І — скільки книжок видали (відомо, 37), II — скільки книжок залишилося (невідомо).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на за­питання задачі? [Дією віднімання.]

Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки залишилося книжок.] Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати два числових значення: І — скільки книжок було в бібліотеці (відо­мо, 56), II — скільки книжок видали для читання (відомо, 37).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запитання? [Дією віднімання.]

Поділіть задачу на прості. Сформулюйте кожну просту задачу й покажіть опорні схеми до них. [1) У класній бібліотеці було 56 книжок. 37 книжок видали учням для читання. Скільки книжок залишилося в бібліотеці? 2) Після того як учням для читання видали із бібліотеки 37 книжок, то в ній залишилося [ ] книжок. На скільки більше книжок видали, ніж залишилося в бібліотеці?]

Складемо план розв’язування задачі. Про що дізнаємося першою дією? [Першою дією ми відповімо на запитання першої простої задачі, дізнаємося, скільки книжок залишилося в бібліо­теці.] Про що дізнаємося другою дією? [Другою дією ми відповімо на запитання другої простої задачі і дізнаємося, на скільки більше книжок видали, ніж залишилося в бібліотеці.]

Запишемо розв’язання:

1) 56 - 37 = 19 (кн.) залишилося;

2) 37 - 19 = 18 (кн.) на стільки більше книжок видали, ніж за­лишилося.

Запишемо відповідь. [Відповідь: на 18 книжок більше вида­ли, ніж залишилося в бібліотеці.]

3. Розв'яжіть задачу.

Кравчиня за годину шиє 24 мішки для посилок, а її учениця — 17 мішків. Скільки мішків для посилок пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години?

Прочитайте задачу. Про що йдеться в задачі? [Про мішки, які шиють кравчиня та її учениця. У задачі говориться, скільки мішків шиють за годину кравчиня та її учениця окремо. Запиту­ється, скільки мішків пошиють кравчиня та її учениця за 2 годи­ни разом. За одну годину кравчиня шиє 24 мішки, а її учениця за одну годину шиє 17 мішків. Скільки мішків пошиють разом кравчиня та її учениця за 2 години?] Запитання передбачає, що кравчиня та її учениця працювали 2 години.

Складаємо короткий запис, для цього виділимо ключові слова. Які ключові слова можна виділити? [«Кравчиня», «уче­ниця».] Запишемо їх у стовпчик. Чи відомо, скільки мішків по­шила кравчиня за 2 години? [Ні, не відомо, але ми знаємо, що за годину вона пошила 24 мішки. Отже, за 2 години кравчиня всього пошиє стільки мішків, скільки буде, якщо по 24 мішки взяти 2 рази.] Запишемо це. Чи відомо, скільки мішків пошиє учениця за дві години? [Ні, не відомо, але ми знаємо, що вона шиє за одну годину 17 мішків, отже, за 2 години вона всього пошиє стільки мішків, скільки буде, якщо по 17 мішків взяти 2 рази.] Запишемо це.

Яке запитання задачі? Як його позначити на короткому за­писі? [У задачі запитується, скільки всього пошили мішків за 2 години кравчиня та учениця разом. Оскільки в задачі запиту­ється, скільки мішків пошили разом кравчиня й учениця, то слід поставити фігурну дужку зі знаком питання.]

За коротким записом поясніть числові дані задачі. [Число 24 означає кількість мішків, що шиє кравчиня за 1 годину. Число 2 означає, скільки годин працювала кравчиня. Знак питання озна­чає, що кравчиня пошила всього мішків стільки, скільки буде, якщо по 24 мішки взяти 2 рази. Число 17 означає, скільки міш­ків шиє учениця. Число 2 означає, скільки годин працювала уче­ниця. Знак питання означає, що учениця всього пошила стільки мішків, скільки буде, якщо по 17 взяти 2 рази. Фігурна дужка означає, скільки мішків усього пошили за дві години кравчиня й учениця разом.]

Виконайте схему. Поясніть, що означає кожний відрізок.

Яке запитання задачі? [Скільки мішків пошиють разом кравчиня та учениця за 2 години?] Що потрібно знати, щоб від­повісти на запитання задачі? [Треба знати два числових значення: І — скільки всього мішків за 2 години пошиє кравчиня (невідо­мо), II — скільки всього мішків за 2 години пошиє учениця (не­відомо).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запи­тання задачі? [Дією додавання.] Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Ні, не можна, бо ми не знаємо, скільки всього мішків пошиє кравчиня, і не знаємо, скільки всього мішків по­шиє учениця.]

Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання: «Скільки всього мішків за 2 години пошиє кравчиня?» [Треба знати два чис­лових значення: І — скільки мішків шиє кравчиня за годину (ві­домо, 24), II — скільки разів слід взяти по 24, тобто скільки годин вона працювала (відомо, 2).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запитання? [Дією множення, тому що по 24 взято 2 рази.] Чи можна відразу відповісти на це запитання? [Можна, тому що ми знаємо обидва числових значення.] Чи можна тепер відповісти на запитання задачі? [Ні, тому що ми не знаємо, скіль­ки всього мішків за 2 години шиє учениця.]

Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати два числових значення: І — скільки мішків шиє учениця за годину (відомо, 17), II — скільки разів слід взяти по 17, тоб­то скільки годин працювала учениця (відомо, 2).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запитання? [Дією множен­ня, тому що по 17 взято 2 рази.] Чи можна відразу відповісти на це запитання? [Можна, тому що ми знаємо обидва числових значення.] Чи можемо ми тепер відповісти на запитання задачі? [Можемо.] Ми від запитання перейшли до числових даних, аналіз закінчено.

Поділіть задачу на прості. Як ви вважаєте, скільки буде простих задач? [Буде три прості задачі, тому що на схемі три за­питання.] Покажемо на схемі кожну просту задачу. Сформулюй­те кожну просту задачу, покажіть опорні схеми до них. [Перша проста задача: «Кравчиня за годину шиє 24 мішки для посилок. Скільки мішків для посилок вона пошиє за 2 години?». Дру­га проста задача: «Учениця кравчині за годину шиє 17 мішків для посилок. Скільки мішків для посилок вона пошиє за 2 годи­ни?». Третя проста задача: «Кравчиня шиє за 2 години [ ] мішків для посилок, а учениця за 2 години шиє [ ] мішків для посилок. Скільки мішків для посилок пошиють разом кравчиня та учениця за 2 години?».]

Якщо задача складається із трьох простих задач, тоді план розв’язування буде складатися із трьох дій. Про що ми дізнаємо­ся першою дією? [Першою дією ми відповімо на запитання першої простої задачі, тому ми дізнаємося, скільки мішків пошиє крав­чиня за 2 години.] Про що ми дізнаємося другою дією? [Другою дією ми відповімо на запитання другої простої задачі, тому ми дізнаємося, скільки мішків пошиє учениця кравчині за 2 години.] Про що ми дізнаємося третьою дією? [Третьою дією ми відповімо на запитання третьої простої задачі і дізнаємося, скільки мішків пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.]

Запишемо розв’язання:

1) 24 • 2 = 24 + 24 = 48 (м.) пошиє кравчиня за 2 години;

2) 17 • 2 = 17 + 17 = 34 (м.) пошиє учениця за 2 години;

3) 48 + 34 = 82 (м.) пошиють разом кравчиня й учениця за 2 години.

Запишемо відповідь. [Відповідь: 82 мішки пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.]

Учитель пропонує учням поміркувати, чи можна розв’язати цю задачу іншим способом.

Спробуємо дещо інакше виконати схему. Що означає від­різок, позначений дужкою з числом 24? Що означає відрізок, що позначений дужкою з числом 17? Що означає відрізок, який є об’єднанням цих відрізків? Що означає великий відрізок?

Щоб знайти інший спосіб розв’язування, потрібно відпові­сти на додаткове запитання: «Скільки мішків пошиють кравчиня й учениця за 1 годину?».

Запишемо розв’язання:

1) 24 + 17 = 41 (м) пошиють кравчиня й учениця за 1 годину;

2) 41 • 2 = 41 + 41 = 82 (м) пошиють разом кравчиня й учениця за 2 години.

4. Розв'яжіть задачу.

Столяр зробив 6 рам за 2 дні, виготовляючи щодня однакову кількість рам. За третій день він зробив на одну раму більше, ніж за попередній день. Скільки рам зробив столяр за третій день? Прочитайте задачу. Про що йдеться в задачі? [У задачі йдеться про те, що столяр виготовляв рами три дні. За два дні він виготовив 6 рам, виготовляючи щодня однакову кількість рам. А за третій день він зробив на одну раму більше, ніж за поперед­ній день.] Що означає, що за третій день він виготовив на 1 раму більше, ніж за попередній день? [Це означає, що за третій день він виготовив стільки рам, скільки й за другий день, і ще 1 раму.] Про що запитується в задачі? [Запитується, скільки рам зробив столяр за третій день.]

Складаємо короткий запис, для цього виділимо ключові сло­ва «перший день», «другий день, «третій день». Запишемо:

Чи відомо нам, скільки рам виготовив столяр за другий день? [Ні, не відомо.] А що нам відомо? [Нам відомо, що за по­передні два дні він зробив 6 рам, виготовляючи щодня однакову кількість рам.] Якщо він за два дні зробив 6 рам, тоді скільки рам він зробив за один день, тобто за перший або за другий? [За пер­ший або другий день він зробив стільки, скільки буде якщо 6 разів розділити на 2 порівну.] Позначимо кількість рам, які виготовив столяр за перший або другий день, знаком питання, поставимо кому й запишемо: 6 розділити на 2 порівну. А скільки рам зробив столяр за третій день? [Невідомо, але ми знаємо, що на одну раму більше, ніж у попередній день.] Запишемо це. Яке запитання за­дачі? [Скільки рам зробив столяр за третій день?]

За коротким записом поясніть числові дані задачі. [Число 6 означає, скільки рам зробив столяр за два дні, якщо щодня він виготовляв однакову кількість рам. Число 2 означає, за скільки днів він зробив 6 рам, виготовляючи за кожен день однакову кіль­кість рам. Число 1 означає, на скільки рам більше зробив столяр за третій день, ніж за другий день.]

Виконайте схему та поясніть, що означає кожний відрізок.

Яке запитання задачі? [Скільки рам зробив столяр за третій день?] Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? [Треба знати два числових значення: І — скільки рам зробив сто­ляр у попередній день (поки ще невідомо), II — на скільки більше рам виготовив столяр за третій день, ніж за другий (відомо, на 1).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитання зада­чі? [Дією додавання.]

Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки рам виготовив столяр у попередній день.] Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати два числових значення: І — скільки всього рам зроблено (відомо, 6), II — за скільки днів зробили ці рами (відомо, за 2).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запитання? [Дією ділення, тому що рами ви­готовляли порівну в кожний день.] Чи можна відразу відпові­сти на запитання задачі? [Можна, тому що ми знаємо обидва числових значення.]

Поділіть задачу на прості. Сформулюйте кожну просту задачу та покажіть опорні схеми до них. [1) Столяр зробив 6 рам за 2 дні, виготовля­ючи щодня однакову кількість рам. Скільки рам виготовляв столяр за 1 день? 2) За попередній день столяр зробив [ ] рами, а за третій день він зробив на 1 раму більше. Скільки рам зробив сто­ляр за третій день?]

Складемо план розв’язування задачі. Про що ми дізнаємося першою дією? [Першою дією ми дізнаємося, скільки рам вигото­вив столяр за один день: перший або другий, тобто за попередній день.] Про що ми дізнаємося другою дією? [Другою дією ми дізна­ємося, скільки рам зробив столяр за третій день.]

Запишемо розв’язання задачі по діях з поясненням:

1) 6 : 2 = 3 — стільки рам зробив столяр за перший чи другий день;

2) 3 + 1 = 4 (р.) зробив столяр за третій день.

Запишемо відповідь до задачі. [Відповідь: 4 рами зробив сто­ляр за третій день.)

5. Розв'яжіть задачу.

Уранці від першої корови надоїли 6 л молока, а від другої коро­ви — 8 л молока. Усе це молоко розлили в бідони, по 2 л в кож­ний. Скільки потрібно було бідонів?

Про що розповідається в задачі? [У задачі йдеться про мо­локо, яке розлили в бідони порівну, по 2 л у кожний. Запитуєть­ся, скільки потрібно бідонів. Бідонів буде стільки, скільки разів у всьому молоці вміщується по 2 л; тобто все молоко треба розді­лити по 2 л.]

Складаємо короткий запис. Для цього виділимо ключові слова: «перша корова», «друга корова». Скільки літрів молока надоїли від першої корови? [6 Л] Запишемо це. Скільки літрів молока надоїли від другої корови? [8 л] Запишемо це. За умо­вою задачі відомо, що все це молоко потім розлили в бідони. Як у короткому записі показати, що далі працювали не з молоком, яке надоїли від кожної корови окремо, а з молоком, яке надоїли від обох корів? [Треба поставити фігурну дужку.] Усе це молоко розлили в бідони, по 2 л в кожний. Скільки буде бідонів? [Бі­донів буде стільки, скільки загалом літрів молока вміщується по 2 л.] Як це показати на короткому записі? [Поряд із фігур­ною дужкою поставимо знак питання й покажемо, що це молоко розділили по 2 л, і ще поставимо знак питання, який позначає, скільки разів уміщується у всьому молоці по 2 — тобто кількість бідонів із молоком.]

За коротким записом поясніть числові дані задачі. [Число 6 означає, скільки літрів молока надоїли від першої корови; чис­ло 8 — скільки літрів молока надоїли від другої корови. Фігурна дужка означає, скільки літрів молока надоїли від обох корів ра­зом. Знак питання означає, що бідонів потрібно стільки, скільки у всьому молоці вміщується по 2 л. Число 2 означає, скільки лі­трів молока налили в кожний бідон.]

Виконайте схему і поясніть, що означає кожний відрізок.

Яке запитання задачі? [Скільки потрібно бідонів?] Що можна сказати про кількість бідонів? [Що бідонів буде стільки, скільки у всьому молоці вміщу­ється по 2 л.] Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? [Щоб відповісти на запитання задачі, треба знати, що бідонів стільки, скільки у всьому молоці вміщується по 2 л.] Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання: «Скільки у всьому молоці вміщується по 2 л?» [Треба знати два числових значення: І — загальну кількість літрів молока від обох корів (невідомо), II — по скільки літрів молока розлили в кожний бідон (відомо, по 2).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запи­тання? [Дією ділення, тому що треба дізнатися, скільки вміщу­ється по...] Чи можна відразу відповісти на це запитання? [Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки літрів молока всього надоїли від обох корів.] Що потрібно знати, щоб відповісти на це запитання? [Треба знати: І — скільки літрів молока надоїли від першої корови (відомо, 6), II — скільки літрів надоїли від другої корови (відомо, 8).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запитання? [Дією додавання.] Чи можна відразу відповісти на це запитання? [Так, можна, тому що нам відомі обидва числових значення.] Аналіз закінчено.

Поділіть задачу на прості. Сформулюйте кожну просту задачу, покажіть опорні схеми до них. [Перша проста задача: «Від першої корови надоїли 6 л молока, від другої корови надоїли 8 л молока. Скільки літрів молока на­доїли від обох корів?» Друга проста задача: «[ ] л молока розлили в бідони, по 2 л у кож­ний. Скільки потрібно було бідонів?»]

Складемо план розв’язування задачі. Про що ми дізнаємо­ся першою дією? [Першою дією дізнаємося, скільки всього літрів молока надоїли від обох корів, тому що першою дією ми відпо­вімо на запитання першої простої задачі.] Про що ми дізнаємося другою дією? [Другою дією ми дізнаємося, скільки потрібно було бідонів, тому що другою дією ми відповімо на запитання другої простої задачі.]

Запишемо розв’язання задачі:

1) 6 + 8 = 14 (л) молока всього надоїли від двох корів;

2) 14 : 2 = 7 бідонів (зауваження: при діленні на вміщення ми отримаємо відлучене число, тому в дужках нічого не пи­шемо).

Запишемо відповідь. [Відповідь: 7 бідонів потрібно.]

Потрібно наголосити, що ця задача припускає й інший спо­сіб розв’язання:

1) 6 : 2 = 3 — у стільки бідонів розлили молоко від першої ко­рови;

2) 8 : 2 = 4 — у стільки бідонів розлили молоко від другої ко­рови;

3) 3 + 4 = 7 (б.) — усього.

Відповідь: 7 бідонів потрібно.

6. Розв'яжіть задачу.

У двох однакових каструлях 10 л молока, а в банці — 3 л. На скільки літрів молока більше в одній каструлі, ніж у банці?

Прочитайте задачу. Про що в ній ідеться? [У задачі йдеться про молоко, налите в каструлі та банку. У двох однакових кастру­лях налито 10 л молока, тобто 10 л молока розлили в 2 каструлі порівну. У банку налили 3 л молока. Запитується, на скільки лі­трів молока більше в одній каструлі, ніж у банці. Запитання сто­сується однієї каструлі та банки.]

Виділимо ключові слова й складемо короткий запис. [Оскільки запитання стосується лише однієї каструлі і банки, то ключовими словами будуть слова «каструля» і «банка».] Запише­мо ключові слова у стовпчик, а поряд із ними числові дані, що їх стосуються. Чи знаємо ми, скільки літрів молока в каструлі? [Ні, не знаємо, але знаємо, що 10 л молока розділили порівну у дві каструлі. Таким чином, у каструлі стільки молока, скіль­ки буде, якщо 10 л розлити в 2 каструлі порівну.] Запишемо — «каструля», поставимо знак питання, запишемо «10 л розділити на 2 порівну». Чи знаємо ми, скільки літрів молока в банці? [Відомо, 3 л.] Запишемо — «банка» — 3 л. Про що запитується в задачі? [У задачі запитується, на скільки літрів молока більше в каструлі, ніж у банці.] Як позначити запитання задачі на корот­кому записі? [Якщо потрібно дізнатися, на скільки більше, слід поставити круглу дужку та поряд з нею написати «На ?».] Запи­шемо це.

За коротким записом пояснимо числові дані задачі. [Чис­ло 10 означає, скільки літрів молока у двох однакових каструлях. Число 2 означає, у скільки однакових каструль розлили 10 л мо­лока, тобто на скільки рівних частин розділили 10 л молока. Знак питання означає, скільки літрів молока в каструлі. У каструлі стільки молока, скільки буде, якщо 10 л розділити на 2 порівну. Число 3 означає, скільки літрів молока в банці.]

Виконайте схему та поясніть, що означає кожний відрізок.

Про що запитується в задачі? [У задачі запитується, на скільки літрів молока більше в каструлі, ніж у банці.] Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? [Треба знати два числових значення: І — скільки літрів молока в каструлі (поки не знаємо), II — скільки літрів молока в банці (відомо — 3).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитання задачі? [Дією віднімання: щоб дізнатися, на скільки одне число більше за інше, потрібно від більшого числа відняти менше число.]

Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Ні, не можна, оскільки ми не знаємо, скільки літрів молока в каструлі.] Що потрібно знати, щоб дізнатися, скільки літрів молока в кастру­лі? [Треба знати два числових значення: І — скільки літрів молока взагалі (відомо — 10), II — на скільки рівних частин його розділили (відомо — на 2).] За допомогою якої арифметичної дії відповімо на це запитання? [Дією ділення, тому що молоко розді­лили порівну між каструлями.] Чи можна відразу відповісти на це запитання? [Можна, тому що нам відомі обидва числових значен­ня. Таким чином, ми від запитання задачі перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.]

Розбийте цю задачу на прості. Сформу­люйте кожну просту задачу та покажіть їхні опорні схеми. [1) У двох однакових каструлях 10 л молока. Скільки літрів молока в одній ка­струлі? 2) У каструлі [ ] л молока, а в банці — 3 л. На скільки літрів молока більше в каструлі, ніж у банці?]

Сформулюйте план розв’язання задачі. [Першою дією дізнаємося, скільки літрів моло­ка в одній каструлі, відповімо на запитання першої простої зада­чі. Другою дією ми дізнаємося, на скільки більше літрів молока в каструлі, ніж у банці, тому що другою дією ми відповімо на за­питання другої простої задачі.]

Запишемо розв’язання задачі по діях з поясненнями:

1) 10 : 2 = 5 — стільки літрів молока в каструлі;

2) 5 - 3 = 2 (л) більше в каструлі, ніж у банці.

Запишемо відповідь. [Відповідь: на 2 л молока більше в ка­струлі, ніж у банці.]

На етапі формування умінь і навичок багато уваги приділя­ється роботі над задачею після її розв’язання. Робота над задачею полягає в перевірці правильності виконаного розв’язання.

Перевірити розв'язання задачі — це означає з’ясувати, пра­вильне воно чи ні. Учні початкових класів не відчувають потре­бу в обґрунтуванні своїх суджень. Потрібно поступово виховувати в дітей почуття необхідної самоперевірки.

У молодших класах доцільно запроваджувати такі прийоми самоперевірки, як встановлення відповідності одержаного резуль­тату умові; розв’язування задач різними способами; складання та розв’язування обернених задач; попередня прикидка числових меж шуканого результату. Розглянемо кожен із них.

Встановлення відповідності одержаного результату умові. Суть цього способу полягає в тому, що відповідно до опису подій, про які йдеться в задачі, учні виконують необхідні дії над задани­ми й знайденими числами. Якщо після виконання дій отримують число, яке є в умові, то вважають, що задачу розв’язано правиль­но. Наприклад: «За альбом, ручку та олівці заплатили 27 гривень. Альбом коштує 8 гривень, а ручка — 12 гривень. Скільки кошту­ють олівці?»

Розв’язавши задачу, діти встановили, що олівці коштують 7 гривень. Щоб перевірити правильність розв’язання, доцільно додати вартість усіх речей, що купили: 8 + 12 + 7 = 27 (грн) — вартість усієї покупки. Це число подано в умові задачі, тому за­дачу розв’язали правильно.

Розв’язання задач різними способами. Розв’язування задачі двома способами є одночасно і прийомом перевірки. Діставши од­накові відповіді, можна стверджувати, що задачу розв’язано пра­вильно. Приклади розв’язування задач різними способами нами розглянуто вище.

Складання та розв’язання оберненої задачі. Вважають, що задачу розв’язано правильно, якщо під час розв’язування обер­неної задачі отримують те число, яке було задано в умові прямої задачі. Наприклад: «В Андрія було 12 марок із тваринами і 14 ма­рок із містами світу. Тато подарував 13 марок. Скільки марок ста­ло в Андрія?» (Розв’язавши задачу, учні дізнаються, що в Андрія стало 39 марок.)

Складаємо обернену задачу: «В Андрія було 12 марок із тва­ринами та 14 марок із містами світу. Після того як тато подарував кілька марок, у нього стало 39 марок. Скільки марок подарував Андрію тато?»

Розв’язування задачі відбувається за пам’яткою № 3 «Пра­цюю над задачею».

1) 12 + 14 = 26 (м.) було в Андрія;

2) 39 - 26 = 13 (м.) подарував тато.

Таким чином, у відповіді на запитання оберненої задачі діс­тали число, що було дано в прямій задачі. Це свідчить, що задачу було розв’язано правильно.

На етапі формування вмінь розв’язувати задачі здійснюєть­ся узагальнення способу розв’язання задач; формуються вміння розв’язувати будь-які задачі на дві дії, встановлювати зв’язки між ними. Задачі для закріплення повинні містити труднощі, що їх мають долати учні в процесі розв’язування. Більшість різних типів творчої роботи над задачами також запроваджуються в про­цесі закріплення.

На цьому кроці застосовують такі вправи творчого характе­ру, як задачі підвищеної складності; розв’язання задач кількома способами; розв’язання задач із зайвими або недостатніми дани­ми; розв’язання задач, які мають декілька розв’язків; вправи із складання задач і перетворення умов.