Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

4.1. Види простих задач у 3 класі та методика роботи над ними
Розділ 4. Методика навчання розв'язування задач у 3-4 класах

У 3 класі учні продовжують розв’язувати відомі їм 14 видів простих задач:

• задачі, що містять співвідношення поєднання частин у ціле:

1) задачі на знаходження суми,

2) на знаходження невідомого доданка,

3) на знаходження суми трьох доданків,

4) на знаходження третього числа за сумою двох чисел;

• задачі, що містять співвідношення вилучення частини з цілого:

5) задачі на знаходження різниці,

6) на знаходження невідомого зменшуваного,

7) невідомого від’ємника;

• задачі, що містять співвідношення різницевого порівняння:

8) задачі на різницеве порівняння,

9) на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць;

• задачі, що містять співвідношення поєднання рівних частин у ціле:

10) задачі на суть арифметичної дії множення;

• задачі, що містять співвідношення розбиття цілого на рівні частини:

11) задачі на ділення на рівні частини,

12) на ділення на вміщення;

• задачі, що містять співвідношення кратного порівняння:

13) задачі на кратне порівняння,

14) на збільшення або зменшення числа в кілька разів.

Робота над простими задачами здійснюється за пам’яткою.

ПАМ’ЯТКА

Працюю над простою задачею

1. Читаю задачу й уявляю, про що в ній розповідається.

2. Виділяю ключові слова та складаю короткий запис задачі.

3. За коротким записом пояснюю числові дані задачі. Виконую схематичний рисунок.

4. Повторюю запитання задачі. З’ясовую, що потрібно знати, щоб на нього відповісти.

5. Записую розв’язання задачі.

6. Записую відповідь.

На початку навчального року відбувається узагальнення і систематизація знань учнів про вивчені ними види простих задач. Детальніше див. за посиланням.

Особливу увагу доцільно приділити роботі зі складання та розв’язування обернених задач. Детальніше див. за посиланням.

Зважаючи на те, що задачі, які містять співвідношення кратного порівняння, були введені наприкінці навчального року в 2 класі, під час узагальнення і систематизації знань учнів про прості задачі доцільно приділити особливу увагу задачам на збільшення або зменшення числа в кілька разів та задачам на кратне порівняння. Детальніше див. за посиланням.

У 3 класі учні ознайомлюються з новими видами простих задач:

1) задачі із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами;

2) на знаходження частини від числа;

3) на знаходження числа за величиною його частини;

4) на знаходження периметра многокутника;

5) на час.

Також у 3 класі розглядаються задачі на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць, сформульовані в непрямій формі. Детальніше див. за посиланням.

МЕТОДИКА ОЗНАЙОМЛЕННЯ ІЗ ЗАДАЧАМИ ІЗ ВЗАЄМОПОВ’ЯЗАНИМИ (ПРОПОРЦІЙНИМИ) ВЕЛИЧИНАМИ

Задачі із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами вводяться тоді, коли учні вже добре засвоїли конкретний зміст арифметичних дій множення і ділення, але стикаються з певними труднощами, щоразу зустрічаючись із новими величинами. З огляду на це вважаємо за необхідне проводити спеціальну роботу з ознайомлення школярів із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами.

Отже, ознайомлюємо учнів із такими групами взаємопов’язаних (пропорційних) величин та зв’язками між ними:

✵ маса одного предмета, кількість предметів, загальна маса;

✵ місткість однієї посудини, кількість посудин, загальна місткість;

✵ довжина одного відрізу, кількість відрізів, загальна довжина;

✵ ціна товару, кількість товару, загальна вартість;

✵ продуктивність праці, час роботи, загальний виробіток;

✵ витрата на один виріб, кількість виробів, загальна витрата.

Ці групи взаємопов’язаних (пропорційних) величин можна ввести за планом:

1) ознайомлення з термінами: «загальна маса», «загальна довжина», «загальна місткість»; прямо пропорційна залежність між величинами; знаходження загального значення величини;

2) обернено пропорційна залежність між величинами; знаходження значення величини одиниці виміру або кількості за двома іншими відомими значеннями величин;

3) прості задачі із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами;

4) зміна загальної величини залежно від зміни іншої величини (величини одиниці виміру або кількості) при сталій третій величині (кількості або одиниці виміру);

5) зміна кількості залежно від зміни величини одиниці виміру при сталій загальній величині; зміна кількості залежно від зміни загальної величини при сталій величині одиниці виміру;

6) зміна величини одиниці виміру залежно від зміни загальної величини при сталій кількості; зміна величини одиниці виміру залежно від зміни кількості при сталій загальній величині;

7) ознайомлення з величинами: «ціна», «кількість предметів», «вартість»;

8) задачі з величинами: «ціна», «кількість предметів», «вартість»; зміна однієї величини залежно від зміни іншої при однаковій третій величині;

9) ознайомлення з величинами: «продуктивність праці», «час роботи», «загальний виробіток»;

10) ознайомлення з іншими взаємопов’язаними (пропорційними) величинами.

Ознайомлення з пропорційними величинами здійснюється шляхом розв’язування простих задач.

1. Розв’яжіть задачі.

1) Мама купила на базарі 2 кг огірків, 1 кг помідорів та 3 кг картоплі. Знайдіть масу всіх овочів.

2) Мама купила 3 пачки солі, по 1 кг кожна. Знайдіть загальну масу солі.

Пропонуємо учням виконати схематичний рисунок до задачі 1 і показати масу всіх овочів. Запитуємо, як можна дізнатися про масу всіх овочів. [Слід додати маси всіх овочів: 2 + 1 + 3 = 6 (кг) — усього овочів купила мама.] Масу всіх овочів можна назвати загальною масою овочів.

Пропонуємо учням виконати схематичний рисунок до задачі 2. Просимо порівняти задачі 1 і 2: чим вони схожі [в обох задачах ідеться про масу декількох предметів і треба знайти загальну масу]; чим вони відрізняються [у задачі 1 ідеться про предмети, що мають різну масу, а в задачі 2 — про предмети, що мають однакову масу]. Запитуємо, як можна знайти загальну масу кількох однакових предметів — однакових пачок солі. [Щоб визначити загальну масу солі, можна додати маси усіх пачок солі: 1 + 1 + 1 = 3 (кг) — загальна маса солі; але тут маємо суму однакових доданків, а в математиці суму однакових доданків можна замінити арифметичною дією множення, тому цю задачу можна розв’язати дією множення: 1 • 3 = 3 (кг) — загальна маса солі.] Просимо учнів пояснити числа задачі: що позначає число 1 [масу однієї пачки солі]; що позначає число 3 [стільки пачок солі купила мама]. Запитуємо, як можна інакше пояснити число 3. [«Скільки предметів?» — це кількість предметів.] Зважаючи на це, просимо сформулювати правило про те, як дізнатися величину загальної маси кількох однакових предметів. [Щоб знайти загальну масу кількох однакових предметів, треба масу одного предмета помножити на кількість предметів.]

Аналогічно здійснюється ознайомлення з величинами «загальна довжина» та «загальна місткість». Аналізуючи розв’язки задач, виводимо правила знаходження числового значення загальної величини за двома відомими числовими значеннями інших величин.

Правило знаходження загальної величини

Застосовуючи це правило, учні розв’язують задачі, у яких подано вимогу знайти загальну величину і до яких наведено схематичний рисунок. Наприклад, такі.

2. Розв’яжіть задачу.

У двох бутлях по 3 л соку. Знайдіть загальну місткість соку.

Також пропонуються завдання на переформулювання запитання задачі так, щоб у ньому було явно вказано, значення якої величини слід знайти.

3. Переформулюйте запитання задачі. Розв’яжіть задачу.

Тато приніс 2 сітки по 4 кг картоплі. Скільки всього кілограмів картоплі приніс тато?

Після розв’язання задачі пропонуємо учням додаткові запитання: «Що станеться із загальною масою картоплі, якщо кількість сіток збільшиться? зменшиться?»

4. Не розв’язуючи задачі, змініть числові значення величин так, щоб у відповіді одержати більше (менше) число.

1) Мама купила 4 пакети соку, по 2 л у кожному. Скільки всього літрів соку купила мама?

2) Для виготовлення закладок дівчинка відрізала від стрічки 5 разів по 2 дм. Скільки всього дециметрів відрізала від стрічки дівчинка?

3) 8 школярів збирали полуницю, причому кожний із них назбирав по 2 кг полуниці. Скільки всього кілограмів полуниці назбирали школярі?

Отже, спочатку вводиться правило знаходження загальних величин (маси, довжини, місткості), і лише після цього на основі правил знаходження невідомих множників вводяться правило знаходження величини одиниці виміру та правило знаходження кількості. Учні вчаться застосовувати ці правила при розв’язуванні задач.

5. Числове значення якої величини є шуканим? Згадайте правило, як знайти невідому величину.

У супермаркеті 25 кг цукру розфасували по пакетах, по 5 кг у кожний. Скільки одержали пакетів із цукром?

Далі учні вчаться виділяти в задачах групи величин; з’ясовувати, якими числовими даними вони подані і значення якої величини є шуканим; записувати задачу коротко у вигляді таблиці; актуалізувати правило знаходження шуканої величини та застосовувати його для розв’язування задачі.

На цьому етапі пропонуються задачі з трьома групами взаємопов’язаних (пропорційних) величин (маса одного предмета, кількість предметів, загальна маса; місткість однієї посудини, кількість посудин, загальна місткість; довжина одного відрізу, кількість відрізів, загальна довжина). Розв’язуючи задачі на знаходження загальної величини, або на знаходження величини одиниці виміру, або на знаходження значення кількості з опорою на наочне подання відповідних правил або груп величин, учні опрацьовують дію виділення величин, що містяться в задачі.

При розв’язуванні задач на знаходження однієї з трьох величин учням спочатку подаються зразки коротких записів у вигляді таблиці, а потім вони складають короткий запис задачі самостійно на основі знання груп взаємопов’язаних (пропорційних) величин та володіючи загальним підходом до їх визначення:

1) на основі найменувань, що стоять поряд із числами задачі, визначити, про яку величину йде мова в задачі: якщо в задачі є іменоване число, подане в кілограмах (грамах, тоннах тощо), то в задачі йдеться про масу; якщо іменоване число подане в сантиметрах (метрах, дециметрах тощо), то мова йде про довжину; якщо іменоване число подано в літрах, то йдеться про місткість;

2) згадати групу величин, що пов’язані із масою, або довжиною, або місткістю.

Широко застосовується складання і розв’язування трійок взаємно обернених задач із заданою групою пропорційних величин.

6. Розв’яжіть задачу.

Теслярі розпиляли колоду завдовжки 12 м на 6 рівних частин. Яка довжина кожної частини?

Розглянемо методику роботи над задачею.

Прочитайте задачу та уявіть, про що в ній ідеться. [У задачі йдеться про те, що теслярі розрізали колоду завдовжки 12 м на 6 рівних частин.] Яке запитання задачі? [Яка довжина кожної частини?]

Як ви думаєте, які величини можна виділити в задачі? [Можна виділити довжину всієї колоди, тобто загальну довжину, і на скільки рівних частин її розрізали, тобто кількість частин.]

Яке запитання задачі? [Запитується, яка довжина кожної частини, тобто довжина однієї частини — одиниці виміру.] Запишемо умову задачі у вигляді таблиці з використанням виділених величин.

За коротким записом поясніть числа задачі. Що позначає число 6? [Кількість частин, на які розрізали колоду.] Що позначає число 12? [Загальну довжину колоди, виражену в метрах.]

Яке запитання задачі? [Яка довжина однієї частини?] Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? [Потрібно знати два числові значення: І — загальну довжину колоди (відомо, 12 м) та ІІ — кількість частин, на які розрізали колоду (відомо, на 6 частин).] Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? [Діленням.] Чи можна відповісти на запитання задачі відразу? [Так.] Чому? [Тому що відомі обидва числові значення.]

Запишемо розв’язання. Як слід міркувати, щоб 12 поділити на 6? [12 поділити на 6 — це означає знайти таке число, яке при множенні на 6 дає 12, це число 2 — 12 : 6 = 2 (м).]

Запишемо відповідь. [Відповідь: 2 м — довжина однієї частини колоди.]

Значення якої величини ми знайшли в цій задачі? Розкажіть правило, як знайти довжину однієї частини. Як ви його вивели? [На підставі розв’язання цієї задачі.] А як можна міркувати, не спираючись на розв’язок цієї задачі? Чому дорівнює загальна довжина? [Загальна довжина дорівнює добутку довжини однієї частини і кількості частин, тобто загальна довжина — це добуток, довжина однієї частини — це перший множник, кількість частин — це другий множник.]

Правило знаходження загальної довжини

Як на підставі взаємозв’язку між добутком і множником вивести правило для знаходження довжини одного предмета? [Якщо добуток — загальну довжину — поділити на другий множник — кількість, то одержимо перший множник — довжину одного предмета.] Розкажіть правило, як знайти довжину одного відрізу.

Розкажіть правило, як знайти кількість предметів.

Випишіть числа задачі: 12, 2, 6. Поясніть, що позначають ці числа. Складіть обернену задачу так, щоб невідомою була кількість частин. Розв’яжіть одержану задачу.

Складіть обернену задачу так, щоб невідомою була загальна довжина. Розв’яжіть цю задачу.

Потім обговорюються запитання про залежність загальної величини від зміни однієї з двох інших величин при сталій третій величині та залежність величини одиниці виміру від зміни кількості при сталій загальній величині.

Наприклад, розглянемо зміну кількості залежно від зміни величини одиниці виміру при сталій загальній величині.

Пропонуємо учням уявити, що 24 кг борошна спочатку розсипали в пакети по 3 кг кожний, а потім таку ж саму масу борошна розсипали в пакети по 4 кг кожний. Запитуємо, у якому випадку отримали більшу кількість пакетів борошна; у якому — меншу. Пропонуємо висловити припущення, що стане з кількістю предметів (при однаковій загальній масі), якщо маса одного предмета збільшиться (зменшиться).

Пропонуємо учням знайти підтвердження свого висновку в таблиці. Просимо уважно розглянути три випадки, подані в таблиці. Запитуємо, значення якої величини не змінюються; значення якої величини змінюються. Це змінна величина. Запитуємо, значення якої величини треба відшукати. Просимо знайти кількість предметів у кожному випадку.

Пропонуємо учням розглянути одержані результати. Запитуємо, у якому випадку кількість найбільша; найменша. Запитуємо, чому так відбувається; яка існує залежність між кількістю та масою одного предмета при однаковій загальній масі.

Далі учні виконують аналогічні завдання з іншими групами взаємопов’язаних величин.

Докладніше про методику ознайомлення учнів із групами взаємопов’язаних величин див. за посиланням.

Після ознайомлення з групами величин, які пов’язані з масою, довжиною та місткістю, вводимо наступну групу величин: «ціна», «кількість», «вартість».

На підставі порівняння трьох відомих груп взаємопов’язаних величин учні встановлюють, що в кожній групі є загальна величина, величина одиниці виміру та кількість. Учитель повідомляє, що якщо об’єктом задачі є процес купівлі або продажу, то вона містить величини: ціну, кількість товару і вартість. Далі йде пояснення, що вартість — це кількість грошей, які сплачують за всю покупку, а ціна — це вартість однієї речі. Отже, уся покупка характеризується: вартістю, або загальною вартістю, — кількістю грошей, які заплатили за покупку; ціною — вартістю однієї речі — та кількістю речей. Учні порівнюють нову групу взаємопов’язаних величин із кожною з трьох розглянутих раніше груп та визначають, що спільними є наявність загальної величини (вартість, загальна маса, загальна довжина, загальна місткість), величини одиниці виміру (ціна, маса одного предмета, довжина одного відрізу, місткість однієї посудини) та кількості. Далі згадується, що загальна величина — це добуток величини одиниці виміру та кількості; робиться висновок про знаходження вартості покупки. На основі правила знаходження невідомого множника з правила знаходження вартості отримуємо правила знаходження ціни і кількості. Це можна зробити шляхом виконання таких завдань.

7. Складіть задачі з кожною із трьох груп взаємопов’язаних величин із числами: ?, 5, 9.

Записуємо, якою арифметичною дією знаходять загальне значення величини в кожному випадку; чому; чи можна такою ж дією знайти загальну вартість покупки. Просимо сформулювати це правило.

Правило знаходження загальної вартості

Щоб знайти загальну вартість, треба ціну помножити на кількість.

8. Складіть задачу з цими ж числами, але про покупку. Запишіть одержану задачу коротко у вигляді таблиці.

Наводимо методику роботи над задачею.

За коротким записом поясніть числа задачі. Яке запитання задачі? Більше чи менше число від 5 одержимо у відповіді? Чому?

Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? [Потрібно знати два числові значення: І — ціну (відомо, 5 грн) та II — кількість (відомо, 9 шт.).] Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? [Дією множення.] Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? [Так, оскільки нам відомі обидва числові значення.]

Запишіть розв’язання задачі. [5 • 9 = 54 (грн).] Запишіть відповідь. [54 грн — вартість покупки.]

Після розв’язання задачі учні додають нову групу величин до узагальненої таблиці пропорційних величин. Отже, ми розглянули чотири основних правила на знаходження загального значення величини. Просимо учнів сформулювати ці правила. Запитуємо, які правила можна з них вивести і на підставі чого. Просимо висловити думку, чи є щось спільне в знаходження величини (маси, довжини, місткості) однієї одиниці. [Так, щоб знайти величину (масу, довжину, місткість) одного предмета, потрібно загальне значення (маси, довжини, місткості) поділити на кількість.]

Запитуємо, чи можна так само знайти вартість одного предмета — ціну. Просимо сформулювати відповідне правило.

Правило знаходження ціни

Щоб знайти ціну, потрібно загальну вартість поділити на кількість.

Запитуємо учнів, чи є щось спільне в знаходженні кількості. [Так, щоб знайти кількість, потрібно загальне значення величини (маси, довжини, місткості) поділити на значення величини (маси, довжини, місткості) одного предмета.]

Запитуємо, як можна знайти кількість предметів, які купили. Просимо сформулювати відповідне правило.

Правило знаходження кількості

Щоб знайти кількість, потрібно загальну вартість поділити на ціну.

Учні розв’язують задачі на знаходження вартості, або ціни, або кількості. Далі можна розглянути питання про зміну вартості залежно від зміни кількості або ціни; про зміну ціни залежно від зміни вартості або кількості; про зміну кількості залежно від зміни вартості або ціни. Докладніше див. за посиланням.

Величини «продуктивність праці», «час роботи» та «загальний виробіток» вводимо на основі порівняння двох задач, у яких дуже схожа ситуація (наприклад, йде мова про кравчиню), але в першій задачі містяться величини однієї з відомих груп пропорційних величин (загальна довжина (витрата) тканини, довжина (витрата) тканини на один виріб, кількість виробів), а в другій — описується процес роботи, тому міститься нова група взаємопов’язаних (пропорційних) величин: продуктивність праці, час роботи й загальний виробіток.

9. Розв’яжіть задачі.

1) Кравчиня пошила 8 наборів серветок, витрачаючи на кожний набір по 3 м тканини. Скільки всього метрів тканини витратила кравчиня на серветки?

2) Кравчиня щогодини шиє по 4 набори серветок. Скільки наборів серветок пошиє кравчиня за 3 год роботи?

Над задачею 2 працюємо аналогічно. Виділяємо групу величин, яку поки що називаємо відповідно до задачі: «кількість виробів за 1 год», «час роботи» і «загальна кількість виробів». Далі повідомляємо, що загальна кількість виробів називається загальним виробітком, кількість виробів за одиницю часу — продуктивністю праці. Отже, учні ознайомлюються з новою групою взаємопов’язаних величин: «продуктивність праці», «час роботи» і «загальний виробіток». Після розв’язання задачі 2 учні додають нову групу величин до узагальненої таблиці пропорційних величин.

Групи пропорційних величин. Взаємозв’язок між величинами

Школярі формулюють правила знаходження продуктивності праці, часу роботи і загального виробітку. Закріплення цих правил здійснюється при розв’язуванні задач, які описують роботу різних виконавців: друкарки, робітника, насоса тощо, а також при складанні й розв’язуванні задач за поданими схематичними рисунками. Широко застосовуємо спосіб перевірки правильності розв’язання задачі на основі складання і розв’язування обернених задач.

Крім поданих груп пропорційних величин, задачі містять ще й інші групи пропорційних величин. Методикою роботи над задачами з пропорційними величинами передбачено під час ознайомлення зі змістом задачі і аналізу її умови проведення спеціальної роботи з виділення величин, які містить задача.

10. Розв’яжіть задачу.

Щоб отримати 1 кг заліза, потрібно 3 кг залізної руди. Скільки кілограмів заліза отримаємо із 18 кг залізної руди?

Розглянемо методику роботи над задачею. Прочитайте задачу та уявіть, про що в ній розповідається. Про що розповідається в задачі? [У задачі розповідається про виготовлення заліза із залізної руди: беруть залізну руду і з неї виплавляють залізо. Залізо отримують не зі всієї залізної руди, а тільки з частини, тому що під час перероблення залізної руди отримують не тільки залізо, а ще й інші продукти. Відомо: для того щоб отримати 1 кг заліза, потрібно 3 кг залізної руди. Запитується, скільки кілограмів заліза отримаємо із 18 кг залізної руди.]

Які величини містяться в задачі? 3 кг — це значення якої величини? [У кілограмах вимірюється маса, тому 3 кг — це маса залізної руди, необхідної для виготовлення 1 кг заліза.] 18 кг — це значення якої величини? [У кілограмах вимірюється маса, тому 18 кг — це маса залізної руди.] Щоб відрізнити ці величини, домовимося 18 кг називати загальною масою залізної руди.

Про що запитується в задачі? [У задачі запитується, скільки кілограмів заліза отримають.] Яка величина вимірюється в кілограмах? [Маса.] Про яку величину запитується? [Про масу заліза.]

Отже, ми виділили величини: загальна маса залізної руди, маса залізної руди на 1 кг заліза, маса заліза.

У подібних задачах загальною величиною буде величина вихідного продукту, величиною однієї одиниці — величина вихідного продукту на одиницю нового продукту, і третьою є величина нового продукту. Докладніше див. за посиланням.

Отже, на основі розв’язування простих задач із взаємопов’язаними величинами навчаємо школярів виділяти величини задачі; записувати такі задачі коротко у вигляді таблиці; пояснювати числові дані і запитання задачі відповідно до виділених величин; установлювати зв’язок між шуканою величиною і даними в задачі величинами. Робота над задачами із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами здійснюється за пам’яткою.

ПАМ’ЯТКА

Працюю над задачею із взаємопов’язаними (пропорційними) величинами

1. Читаю задачу й уявляю, про що в ній розповідається.

2. Виділяю величини, про які йдеться в задачі; виділяю ключові слова.

3. Записую задачу коротко у вигляді таблиці.

4. За коротким записом пояснюю числові дані задачі і виконую схематичний рисунок; визначаю, яка величина є шуканою.

5. Визначаю зв’язок шуканої величини з даними величинами.

6. Записую розв’язання задачі.

7. Записую відповідь.

Методику роботи з простими задачами на знаходження частини від числа та числа за величиною його частини див. за посиланням.

Методику роботи з простими задачами на час (знаходження тривалості події, знаходження часу початку або часу закінчення події) див. за посиланням.