Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

2.2.10. Методика вивчення ділення багатоцифрового числа на двоцифрове
2.2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами в 4 класі
Розділ 2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами

Логіка вивчення письмового ділення багатоцифрового числа на двоцифрове число така сама, як і логіка вивчення письмового ділення трицифрового числа на двоцифрове число, — спочатку переносимо прийом письмового ділення трицифрового числа на кругле число на багатоцифрові числа. Після опанування учнями дії письмового ділення багатоцифрового числа на кругле двоцифрове число вводяться випадки письмового ділення багатоцифрового числа на двоцифрове, а потім і на трицифрове число. На цьому етапі вважається, що прийом письмового ділення учні засвоїли і мають його перенести на випадки ділення в межах багатоцифрових чисел.

Оскільки письмове ділення на кругле число передбачає заміну круглого числа добутком числа та розрядної одиниці, а потім послідовне ділення на розрядну одиницю й на число, то перед вивченням письмового ділення багатоцифрового числа на кругле двоцифрове число доцільно актуалізувати множення та ділення на розрядну одиницю. Докладніше методику актуалізації множення та ділення числа на розрядну одиницю див. за посиланням.

Письмове ділення багатоцифрового числа на кругле двоцифрове число

Міркуємо так. Ділення починаємо з найвищого розряду: у найвищому розряді 7 сотень, 7 сотень не можна поділити на 30 так, щоб одержати хоча б одну сотню. Переходимо до наступного розряду: маємо 78 десятків — це перше неповне ділене.

Таким чином визначати перше неповне ділене нераціонально, тому що очевидно, що число сотень не можна поділити на двоцифрове число так, щоб одержати хоча б одну сотню. Тому відразу потрібно в діленому ліворуч відділити дві цифри і починати міркувати саме з числа десятків: 78 десятків можна поділити на 30 так, щоб одержати хоча б один десяток, тому 78 десятків — це перше неповне ділене.

Найвищий розряд частки — десятки, тому в значенні частки буде дві цифри.

Ділимо 78 десятків на 30. Для цього число 30 подаємо у вигляді добутку розрядної одиниці 10 та числа 3. Послідовно ділимо: 78 : 10 ≈ 7 (щоб поділити число на 10, достатньо справа прикрити в числі одну цифру): 7 : 3 ≈ 2. Пишемо в значенні частки на місці десятків цифру 2.

Дізнаємося дією множення, скільки десятків розділилося, — 60 десятків розділилося.

Дізнаємось дією віднімання, скільки десятків не розділилося, — 18 десятків не розділилося.

Перевіряємо, чи правильно знайдено цифру значення частки: остача 18 менша від дільника 30. Цифру значення частки знайдено правильно.

Утворюємо друге неповне ділене: 18 десятків — це 180 одиниць; 180 одиниць — друге неповне ділене.

Ділимо 180 одиниць на 30 послідовно: 180 : 10 = 18; 18 : 3 = 6. Пишемо цифру 6 у значенні частки на місці одиниць.

Дією множення дізнаємося, скільки одиниць розділилося, — розділилося 180 одиниць, усі одиниці розділилися. Ділення закінчено.

Пропонуємо учням порівняти наступну частку чисел із попередньою і встановити, чи можна міркувати так само при діленні на кругле число, як і в попередньому випадку.

Міркуємо так. Перше неповне ділене 247 сотень, тому в значенні частки буде три цифри. Ділимо 247 на 30. 247 : 10 ≈ 24; 24 : 3 = 8. Дізнаємося множенням, скільки сотень розділилося: 240 сотень розділилося. Дізнаємося відніманням, скільки сотень не розділилось: 7 сотень не розділилося. Порівнюємо остачу з дільником: 7 менше від 30, тому цифру сотень знайдено правильно. Утворюємо друге неповне ділене: 7 сотень = 70 десятків. 70 десятків і ще 8 десятків буде 78 десятків — це друге неповне ділене. Ділимо 78 десятків на 30. 78 : 10 ≈ 7; 7 : 3 ≈ 2. Дізнаємося дією множення, скільки десятків розділилося, — 60 десятків розділилося. Дізнаємося дією віднімання, скільки десятків не розділилося, — 18 десятків не розділилося. Перевіряємо, чи правильно знайдено цифру значення частки. Для цього остачу 18 порівнюємо з дільником: 18 менше від 30, тому цифру значення частки знайдено правильно. Утворюємо третє неповне ділене: 18 десятків = 180 одиниць. Ділимо 180 одиниць на 30. 180 : 10 = 18; 18 : 3 = 6. Дізнаємося, скільки одиниць розділилося, дією множення. Дізнаємося, скільки одиниць не розділилося, дією віднімання, — усі одиниці розділилися. Ділення закінчено.

Аналогічно виконується ділення на круглі сотні.

Письмове ділення багатоцифрового числа на двоцифрове число

Міркування здійснюється за відомою пам’яткою ділення на двоцифрове число.

Міркуємо так. У дільнику дві цифри, тому в діленому відділяємо ліворуч дві цифри: 31 тисяча. 31 тисячу не можна поділити на 71 так, щоб одержати хоча б одну тисячу. Тому переходимо до наступного розряду. 315 сотень — перше неповне ділене. Оскільки перше неповне ділене — сотні, то в значенні частки в найвищому розряді теж будуть сотні, тобто три цифри.

Ділимо перше неповне ділене на дільник: 315 : 71. Для цього дільник замінюємо найближчим меншим круглим числом 70. Подаємо кругле число у вигляді добутку 10 і числа. Ділимо послідовно. 315 : 10 ≈ 31; 31 : 7 ≈ 4. 4 — це пробна цифра, її слід перевірити: 4 множимо на десятки дільника: 4 • 70 = 280; віднімаємо одержане число від неповного діленого: 315 - 280 = 35; порівнюємо остачу з добутком «пробної цифри» значення частки на одиниці дільника: 35 > 4 • 1, остача більша, тому пробна цифра підходить, пишемо її на місці сотень у значенні частки.

Дізнаємося, скільки сотень розділилося, дією множення, — 284 сотні розділилося.

Дізнаємося, скільки сотень не розділилося, дією віднімання, — 31 сотня не розділилася.

Перевіряємо остачу: остача 31 менша від дільника 71, тому цифру значення частки підібрано правильно.

Утворюємо друге неповне ділене з остачі десятків дільника: 319 десятків — друге неповне ділене. Ділимо його на 71. Для цього дільник 71 замінюємо найближчим меншим круглим числом 70. Подаємо його у вигляді добутку числа і розрядної одиниці. Ділимо послідовно. 319 : 10 ≈ 31; 31 : 7 ≈ 4. 4 — це пробна цифра, її слід перевірити: 4 множимо на десятки дільника: 4 • 70 = 280; віднімаємо одержане число від неповного діленого: 319 - 280 = 39; порівнюємо остачу з добутком «пробної цифри» значення частки на одиниці дільника: 39 > 4 • 1; остача більша, тому пробна цифра підходить, пишемо її на місці десятків у значенні частки.

Дізнаємося, скільки десятків розділилося, дією множення, — 284 десятки розділилося.

Дізнаємося, скільки десятків не розділилося, дією віднімання, — 35 десятків не розділилося.

Перевіряємо остачу: остача 35 менша від дільника 71; тому цифру значення частки підібрано правильно.

Утворюємо третє неповне ділене з остачі та одиниць дільника: 355 одиниць — третє неповне ділене.

Ділимо його на 71. Для цього дільник 71 замінюємо найближчим меншим круглим числом 70. Подаємо його у вигляді добутку числа і розрядної одиниці. Ділимо послідовно. 355 : 10 ≈ 35; 35 : 7 ≈ 5. 5 — це пробна цифра, її слід перевірити: 5 множимо на десятки дільника: 5 • 70 = 350; віднімаємо одержане число від неповного діленого: 355 - 350 = 5; порівнюємо остачу з добутком «пробної цифри» значення частки на одиниці дільника: 5 = 5 • 1; остача дорівнює добутку, тому пробна цифра підходить, пишемо її на місці одиниць у значенні частки.

Дізнаємося, скільки одиниць розділилося, дією множення, — 355 одиниць розділилися.

Дізнаємося, скільки одиниць не розділилося, дією віднімання, — усі одиниці розділилися, ділення закінчено.

Далі вивчаються випадки письмового ділення п’яти- та шестицифрового чисел, які закінчуються нулями, на двоцифрове число. Учні вже знайомі з випадками ділення круглого числа на одноцифрове і вміють пояснювати, чому на місці одиниць потрібно записати нуль. Ці знання слід актуалізувати на етапі підготовчої роботи і перенести в нову навчальну ситуацію. Отже, учні можуть самостійно виконати ділення поданих чисел і пояснити, чому саме на місці одиниць буде нуль.

Перше неповне ділене 334 тисячі, тому в значенні частки в найвищому розряді будуть тисячі, а отже, чотири цифри.

Ділимо 334 на 75. Для цього дільник 75 замінюємо меншим круглим числом 70. Подаємо його у вигляді добутку числа і розрядної одиниці. Ділимо послідовно. 334 : 10 ≈ 33; 33 : 7 ≈ 4 — це пробна цифра значення частки, її слід перевірити: 4 • 70 = 280, 334 - 280 = 54, 54 > 4 • 5 — цифра 4 підходить, пишемо її в значенні частки на місці тисяч.

300 тисяч розділилося, 34 тисячі не розділилися. Остача 34 менша від дільника, тому цифру значення частки знайдено правильно.

З остачі 34 тисячі та 5 сотень діленого утворюємо друге неповне ділене — 345 сотень. Працюємо за тим самим алгоритмом. 345 : 10 ≈ 34, 34 : 7 ≈ 4. Перевіряємо пробну цифру значення частки: 4 • 70 = 280, 345 - 280 = 65, 65 > 4 • 5 — цифра 4 підходить, пишемо її на місці сотень у значенні частки.

300 сотень розділилося, 45 сотень не розділилося, остача 45 менша від дільника, тому цифру значення частки знайдено правильно.

45 сотень — це 450 десятків, у діленому 0 десятків, тому третє неповне ділене 450 десятків. Працюємо за вже відомим алгоритмом. 450 : 10 ≈ 45, 45 : 7 ≈ 6. Перевіряємо пробну цифру значення частки: 6 • 70 = 420, 450 - 420 = 30, 30 = 6 • 5; цифра 6 підходить, пишемо її у розряді десятків у значенні частки.

450 десятків розділилися. Усі десятки розділилися, тому в частці ми отримали 446 десятків — це 4460 одиниць.

Або міркувати можна ще й так: четверте неповне ділене 0 одиниць. 0 : 75 = 0 — пишемо нуль на місці одиниць у значенні частки. Ділення закінчено.

Наступний випадок письмового ділення багатоцифрового числа на двоцифрове число, коли в середині запису частки є нуль. Знову потрібно звернутися до аналогічних випадків ділення на одноцифрове число і перенести відомий дітям спосіб міркування в нову навчальну ситуацію.

Перше неповне ділене 450 сотень, тому найвищий розряд значення частки — сотні, тобто три цифри.

Ділимо 450 на 74 за відомим алгоритмом. 450 : 10 ≈ 45, 45 : 7 ≈ 6. 6 — це пробна цифра значення частки, її слід перевірити: 6 • 70 = 420, 450 - 420 = 30, 30 > 6 • 4, цифра 6 підходить, пишемо її у значенні частки на місці сотень.

Розділилося 444 сотні. Не розділилося 6 сотень.

Перевіряємо: остача 6 менша від дільника 74, тому цифру значення частки знайдено правильно.

З остачі та десятків дільника утворюємо друге неповне ділене — 66 десятків. 66 десятків не можна поділити на 74 так, щоб одержати хоча б один десяток, тому на місці десятків у значенні частки пишемо цифру 0. Або 66 : 74 = 0 (ост. 66). 0 десятків розділилося. 66 десятків не розділилося.

Утворюємо третє неповне ділене з остачі та одиниць діленого — 666 одиниць. Ділимо 666 на 74 за вже знайомим алгоритмом. 666 : 10 ≈ 66, 66 : 7 ≈ 9. Перевіряємо пробну цифру значення частки: 9 • 70 = 630, 666 - 630 = 36, 36 = 9 • 4, — цифра 9 підходить, пишемо її на місці одиниць у значенні частки. Розділилися усі одиниці. Ділення закінчено.

Розглядаючи короткий запис таких випадків письмового ділення, потрібно звернути увагу на те, що при множенні дільника 35 на нуль завжди одержимо нуль, а при відніманні нуля від неповного діленого 14 десятків буде те саме число — 14 десятків; тому тут нуль не пишуть, але запам’ятовують, що друге неповне ділене 14 десятків, а третє неповне ділене — 140 одиниць.

У порядку ознайомлення показуємо учням письмове ділення багатоцифрового числа на трицифрове число.

У дільнику 3 цифри, тому в діленому відділяємо зліва також 3 цифри, маємо 252 сотні. 252 сотні не можна поділити на 324 так, щоб одержати хоча б одну сотню, тому переходимо до наступного розряду: 2527 десятків — перше неповне ділене. У частці одержимо десятки, буде дві цифри.

Використовуємо спосіб прикидки. 2527 : 100 ≈ 25, 25 : 3 ≈ 8. Перевіряємо пробну цифру значення частки: 8 • 300 = 2400, 2527 - 2400 = 127, 127 < 8 • 24, тому цифра 8 не підходить; візьмемо по 7: 7 • 300 = 2100, 2527 - 2100 = 427, 427 > 7 • 24, тому цифра 7 підходить, пишемо її на місці десятків у значенні частки.

2268 десятків розділилося. 259 десятків не розділилися. Остача 259 менша від дільника 324, тому цифру значення частки знайдено правильно.

З остачі і одиниць діленого утворюємо друге неповне ділене — 2592 одиниці. Прикидаємо пробну цифру значення частки: 2592 : 100 ≈ 25, 25 : 3 ≈ 8. Перевіряємо: 8 • 300 = 2400, 2592 - 2400 = 192, 192 = 8 • 24 — пишемо цифру 8 на місці одиниць у значенні частки.

2592 одиниці розділилися. Усі одиниці розділилися, ділення закінчено.