Збірник задач з математики 1-4 класи - Л. С. Сухарева 2019

3-4 класи
Нестандартні, логічні та олімпіадні задачі

51 • Андрійко і Дмитрик грають у гру п’ятнадцятьма фішками. Вони беруть за кожний хід по 1 або по 2 фішки. Хід пропускати не можна. Хто бере останню фішку, той програє. Як повинен грати перший хлопчик, щоб примусити супротивника взяти останню фішку?

■ Зауваження. Слід знайти виграшну стратегію для першого гравця. Активізувати розумову діяльність дітей допоможуть запитання.

1) Якщо на столі лишилася одна фішка й Андрійко (можемо, наприклад, його надалі вважати першим гравцем) має зробити хід, то хто виграє? (Дмитрик, бо останню фішку мусить узяти Андрій.)

2) Якщо хід за Дмитриком і лишилося 2 фішки, то скільки фішок він повинен взяти? (Звичайно, одну, щоб не програти.)

3) Якщо лишилося 3 фішки, скільки фішок повинен взяти Андрійко у своєму наступному ході? (Дві фішки.)

Відповідати на основне запитання доцільно з кінця. Тоді неважко помітити, що передостаннім ходом першому гравцю необхідно лишити супротивнику 4 фішки: тоді, скільки б той не взяв, він не залишить першому менше двох і більше трьох фішок, тобто перший, у будь-якому випадку, наступним ходом зможе останню фішку лишити другому. Для цього треба на попередньому ході лишити другому хлопчикові 7, а ще на попередніх — 10 і 13 фішок.

■ Відповідь: перший гравець починає з того, що бере 2 фішки, а подальшими ходами залишає супротивникові 10, 7, 4 фішки, внаслідок чого остання фішка обов’язково дістанеться другому гравцеві.

52 • У зоопарку є три вольєри для утримання верблюдів. У кожному вольєрі — три групи верблюдів. На картках показана кількість верблюдів кожної з трьох груп у кожному вольєрі.

Зоопарк хоче перевести одну групу верблюдів з одного вольєра до іншого, бо кількість верблюдів в усіх трьох вольєрах має бути однаковою. Яку групу слід перевести?

■ Розв'язання. Спочатку треба з’ясувати питання про кількість верблюдів у кожному вольєрі (15, 6 і 24); потім — визначити, в якому вольєрі верблюдів найбільше, а в якому найменше (найбільше їх у третьому, а найменше — у другому вольєрі). Це наштовхує на думку, що для того, аби кількість верблюдів у вольерах стала однаковою, треба перевести групу з дев’яти верблюдів із третього вольєра до другого. Тоді в усіх трьох вольєрах буде по 15 верблюдів.

53 • У квіткарки в спеціальній ємності стояли троянди. 2/5 усіх троянд були червоними, а 1/2 всіх троянд — білими. Червоних троянд було на 3 менше, ніж білих. Скільки всього троянд стояло в ємності?

■ Розв'язання. Скористаємося моделлю:

Білих троянд на 3 більше, ніж червоних. На 1/10 всіх троянд припадає 3 троянди. Отже, усього троянд у ємності 30 (3 • 10 = 30).

■ Відповідь: 30 троянд.

54 • Якщо помістити на терези з одного боку 6 однакових апельсинів, а з другого — 2 однакові дині, вони наберуть положення, зображеного на малюнку.

Якщо на одну шальку докласти 1 диню, а на другу — 2 апельсини, то терези будуть урівноважені. Скільки апельсинів потрібно, щоб урівноважити одну диню?

■ Розв'язання. Зрозуміло, що для встановлення рівноваги докладати диню треба на шальку з апельсинами, а 2 апельсини — на шальку з динями:

Не порушуючи рівноваги, можна зняти з правої та лівої шальок по одній дині та по два апельсини. Тоді маємо:

■ Відповідь: потрібно 4 апельсини, щоб урівноважити диню.

55 • У Тараса є три однакові на вигляд монети. Проте він знає, що одна з них фальшива і дещо легша за інші. Як виявити фальшиву монету за допомогою одного зважування на терезах без гирок?

■ Розв'язання. Слід порівняти за допомогою терезів вагу будь-яких двох із трьох монет, поклавши на кожну шальку терезів по одній монеті. Якщо одна з монет легша, ніж друга, то вона — фальшива. Якщо терези врівноважились, тобто маса вибраних монет однакова, то фальшива монета — третя.

56 • Як за допомогою терезів із шальками і трьох гир масою 1, 3 і 9 кг відміряти будь-яке ціле число кілограмів борошна від 1 до 13?

■ Розв'язання. 1 або 3 кг борошна відважити просто: треба на одну шальку терезів поставити відповідну гирю, а на другу мішечок, у який слід насипати борошно доти, доки терези не врівноважаться. Щоб відміряти 2 кг борошна, можна поставити гирю в 1 кг до мішечка борошна, а гирю в 3 кг — на протилежну шальку і досипати або відсипати борошно, доки терези не врівноважаться.

Чотири кілограми борошна відважити легко: 4 = 3 + 1. Для відважування п’яти й більше кілограмів борошна знадобиться вже й третя гиря масою 9 кг:

5 = 9 - 3 - 1; 6 = 9 - 3; 7 = 9 - 3 + 1; 8 = 9 - 1.

10, 11, 12, 13 кг можна одержати так само, як і 1, 2, 3, 4 кг, але додаючи гирю масою 9 кг:

10 = 9 + 1; 11 = 9 + 3 - 1; 12 = 9 + 3; 13 = 9 + 3 + 1.

57 • Три товариші — Василько, Андрійко й Миколка — грали на майданчику у м’яч, і один із них випадково влучив у вікно і розбив скло. На запитання двірника: «Хто це зробив?» — Василько відповів: «Це не я розбив скло». Андрійко відповів: «Це Миколка розбив скло». Пізніше з’ясувалося, що одна з відповідей правдива, а інша — ні. Хто з хлопчиків розбив скло?

■ Розв'язання. Припустімо, що Андрійко сказав правду і скло дійсно розбив Миколка, але тоді Василько сказав неправду і слід вважати, що скло розбив саме він. Однак це суперечить умові задачі про те, що один із хлопчиків розбив скло. Із цього випливає, що Андрійко сказав неправду, а Василько правду. Із їхніх тверджень можна зробити висновок, що скло розбив Андрійко.

■ Відповідь: Андрійко.

58 • Шматок дроту завдовжки 78 м треба розрізати на декілька частин завдовжки 12 м і декілька частин завдовжки 15 м, але так, щоб обрізків не було. Як це зробити?

■ Відповідь: 12 • 4+ 15 • 2 = 78 (м).

59 • 28 дітей брали участь у змаганнях із бігу. Кількість дітей, котрі прибігли пізніше від Степана, вдвічі більша за кількість дітей, котрі прибігли раніше, ніж Степан. Яким прибіг Степан?

■ Розв'язання. Дітей, які брали участь у змаганнях із бігу, окрім Степана, можна поділити на 3 групи по 9 осіб у кожній. Одна з таких груп прибігла раніше за Степана, а дві інші — після нього. Тобто Степан прибіг десятим.

■ Відповідь: десятим.

60 • Іменинний пиріг масою 8 кг розділили порівну сім хлопчиків, а пиріг масою 7 кг розділили порівну шестеро дівчаток. Хто отримав більше — кожний хлопчик чи кожна дівчинка?

■ Розв'язання. Оскільки 8 кг = 7 кг + 1 кг, а 7 кг = 6 кг + 1 кг, то при розподілі восьмикілограмового пирога між сімома хлопчиками і семикілограмового між шістьма дівчатками кожний із дітей отримає кусень масою понад 1 кг. Тому будемо вважати, що по 1 кг пирога вони вже отримали. Тоді у хлопчиків і в дівчаток неподіленою залишається частка масою 1 кг. Поділивши частку хлопчиків на 7, а частку дівчаток на 6, дізнаємося, яку частину кілограма одержав кожний. Кожний хлопчик одержав 1/7 кг, а кожна дівчинка — 1/6 кг. І оскільки 1/6 > 1/7, то кожна дівчинка отримала більший за масою кусень, ніж кожний хлопчик. Можна сказати інакше: оскільки хлопчикам частину масою 1 кг треба розділити між сімома, а дівчаткам — між шістьома, то в дівчаток додаткові частинки будуть більшими, ніж у хлопчиків. Отже, більшою буде і загальна порція кожної дівчинки, адже спочатку в усіх дітей було порівну. Кожній дівчинці дістанеться 1 кг + 1/6 кг, а кожному хлопчикові — 1 кг + 1/7 кг.

■ Відповідь: кожна дівчинка отримає більше пирога.

61 • У школі навчається 740 учнів. Як довести, що принаймні троє з них народилися в один і той самий день?

■ Розв'язання. Якби щодня двоє учнів святкували свій день народження, то в школі було б 732 учні, що суперечить умові. Цим самим і доведено, що принаймні троє учнів цієї школи народилися в один і той самий день.

62 • У книзі 80 сторінок. Усі вони, крім перших двох, пронумеровані. Скільки цифр знадобилося для нумерації сторінок цієї книги? О Розв'язання. Від 3 до 9 — сім одноцифрових чисел, вони записані сімома цифрами. Від 10 до 80 — двоцифрові числа. Таких чисел 71, для їх нумерації необхідно: 71 • 2 = 142 (цифри). Отже, всього знадобилося: 7 + 142 = 149 (цифр).

■ Відповідь: 149 цифр.

63 • Для нумерації сторінок енциклопедичного словника знадобилося 6869 цифр. Скільки сторінок було в словнику?

■ Розв'язання. Одноцифрових чисел 9, кількість використаних для їх позначення цифр — 9; двоцифрових чисел — 90, кількість цифр, використаних для їх нумерації, — 2 • 90 = 180; трицифрових чисел — 900, кількість використаних для їх нумерації цифр — 3 • 900 = 2700; чотирицифрових чисел 9000, кількість використаних для їх нумерації цифр — 4 • 9000 = 36 000; отже, для нумерації сторінок словника використані всі одноцифрові, двоцифрові, трицифрові і певна кількість чотирицифрових чисел.

Визначимо кількість чотирицифрових чисел: (6869 - 1 • 9-2 • 90-3 • 900): 4 = 995.

Отже, кількість сторінок у словнику дорівнює: 9 + 90 + 900 + 995 = 1994.

■ Відповідь: 1994 сторінки.

64 • У змаганнях брали участь 50 стрільців. Перший вибив 60 очок, другий — 80; третій — середнє арифметичне очок перших двох; четвертий — середнє арифметичне очок перших трьох. Кожний наступний вибив середнє арифметичне очок усіх попередніх. Скільки очок вибив 42-й стрілець?

■ Розв'язання. Третій стрілець вибив: (60 + 80) : 2 = 70 (очок). Кожний наступний також вибив по 70 очок, адже якщо до групи чисел додати число, що дорівнює середньому арифметичному цієї групи, то середнє арифметичне нової групи дорівнюватиме середньому арифметичному групи, що була спочатку.

65 • Середній вік гравців футбольної команди — 22 роки. Під час матчу одного з гравців було травмовано, і він був змушений залишити поле. Середній вік гравців, що залишилися, склав 21 рік. Скільки років футболісту, який зазнав травми?

■ Розв'язання. У футбольній команді — 11 гравців. Загальний вік цих 11 гравців дорівнює: (роки). Після того як один гравець залишив поле, загальний вік становив: 21 • 10 = 210 (років). Отже, гравцеві, що залишив поле через травму, було: 242 - 210 = 32 (роки).

■ Відповідь: 32 роки.

66 • Пасічник помітив, що під час липового медозбору бджола вилітає з вулика зі швидкістю 4 м/с і повертається назад через 7 хвилин зі швидкістю 2 м/с. На якій відстані від вулика розташована липа, з якої бджола взяла взяток? Слід урахувати, що на забір узятку з липи під час одного польоту бджола витрачає 1 хвилину.

■ Розв'язання. Тривалість польоту становить: 7 - 1 = 6 (хв). Якби бджола летіла зі швидкістю 4 м/с (тобто без узятку), то за цей час вона пролетіла б відстань між вуликом і липою та ще дві такі самі відстані (оскільки швидкість бджоли без меду вдвічі більша за її швидкість із медом) — усього 3 такі відстані. Отже, одну таку відстань бджола пролетить за 6 : 3 = 2 (хв) = 120 (с). Значить, відстань між вуликом і липою становить: 4 • 120 = 480 (м).

■ Відповідь: 480 м.

67 • Кавун і лимон важать стільки ж, скільки диня. Два кавуни важать стільки ж, скільки диня і лимон разом. Скільки треба лимонів, щоб урівноважити диню?

■ Розв'язання. Пригадаємо умови:

В умові 2) слід замінити диню рівними їй за масою кавуном і лимоном. Тоді:

Якщо зняти з обох шальок терезів по кавуну, рівновага не порушиться, зате можна дізнатися, що маса одного кавуна дорівнює масі двох лимонів. Повертаючись до умови 1, замінимо кавун двома лимонами. Тоді диня врівноважиться трьома лимонами.

■ Відповідь: 3 лимони.

68 • Водному класі разом навчаються чотири пари близнюків. Одного разу на спортивне свято класу разом із дітьми прийшли всі мами й татусі. Батьків і дітей разом виявилося 85 осіб. Скільки учнів у цьому класі?

■ Розв'язання. Чотири пари близнюків — це 2 • 4 = 8 (учнів). У кожної пари — по двоє батьків, разом — 8 близнюків і їх восьмеро батьків.

85 - 16 = 69 — звичайних учнів із двома батьками;

69 : 3 = 23 — звичайних учнів;

23 + 8 = 31 — учень у класі.

■ Відповідь: 31 учень.

69 • Лікар Айболить зважує на терезах горобців і ластівок. П’ять горобців виявилися важчими за 6 ластівок. Коли лікар Айболить поміняв місцями одного горобця і одну ластівку, то ваги врівноважилися. Скільки важить горобець і скільки важить ластівка, якщо загальна маса 5 горобців і 6 ластівок становить 1 кг 140 г?

■ Розв'язання. Проаналізуємо умови і зробимо висновки.

Якщо зняти по 1 горобцю і 1 ластівці з обох шальок терезів (умова 2), то рівновага не порушиться, а ми дістанемо висновок: маса 3 горобців така сама, як і 4 ластівок, тобто на одній шальці — 3 горобці, на другій — 4 ластівки, і терези врівноважені. Проаналізуємо третю умову.

3)

Масу зліва і справа на терезах будемо збільшувати, не порушуючи рівноваги доти, доки не дістанемо кількість горобців, що ділиться на 3, а саме:

Тоді, оскільки 15 г. = 3 г. • 5, а 3 г. = 4 л., дістанемо: 15 г. = 20 л. і 20 л. + 18 л. = 3400 г, а отже,

3420 : 38 = 90 (г) — маса ластівки;

4 • 90 = 360 (г) — маса 3 горобців,

360 : 3 = 120 (г) — маса горобця.

■ Відповідь: 90 г важить ластівка; 120 г важить горобець.

70 • Колоду закріпили з двох боків. Під час її розпилювання п’ятнадцять кругляків упали, а крайні лишилися на місці. Скільки всього було зроблено розпилів?

■ Відповідь: 16.

71 • У шкільній бібліотеці є книжки з історії, математики та фізики. Обкладинки цих книг червоні, зелені і сині. Відомо, що обкладинки книг з історії не сині, обкладинки математичних книг або сині, або зелені, а обкладинки книг із фізики не червоні і не зелені.

Якого кольору обкладинки історичних книг?

Для отримання відповіді необхідно укласти таблицю правдивості:

■ Відповідь: історичні книжки мають червоні обкладинки.

72 • Під час літнього відпочинку сім’я Петренків зупинилася у п’ятиповерховому готелі біля моря. На кожному поверсі готелю є однакова кількість кімнат, за винятком цокольного поверху, де кімнат 12. Кімнати поверхів із першого по п’ятий мають трицифровий номер. Перша цифра цього номера вказує на номер поверху, а дві останні цифри вказують на номер кімнати на цьому поверсі. Наприклад, номер четвертої кімнати на третьому поверсі — 304.

Де кімнат більше: на цокольному поверсі чи на поверсі, котрий розташований вище цокольного (наприклад, на першому), і на скільки більше, коли використано 255 цифр, щоб пронумерувати всі кімнати в готелі?

■ Розв'язання. Числа від 1 до 12 (номери кімнат цокольного поверху) містять 15 цифр; 255 - 15 = 240 (цифр) для нумерації кімнат на 1-5-му поверхах разом; 240 : 5 = 48 (цифр) використано для нумерації кімнат на будь-якому з поверхів вище цокольного, у тому числі й на першому; 48 : 3 = 16 (кімнат) — на першому поверсі; 16 - 12 = 4 (кімнати) — настільки кімнат більше на першому поверсі, ніж на цокольному.

■ Відповідь: на першому поверсі.

73 • У меню невеличкого ресторану є три супи: грибний, м’ясний і фруктовий; чотири другі страви: фрикадельки і спагеті, макарони і гуска, котлети з капусти і запечене курча; два десерти: млинці та солодкі каштани в шоколаді. Скільки різних варіантів обідів із трьох страв може скласти відвідувач, якщо захоче замовити суп, другу страву і десерт?

■ Розв'язання. Для однієї першої страви можна замовити 4 різні другі, і для кожної другої страви 2 різні десерти. Тому для однієї першої страви буде: 4 • 2 = 8 (варіантів). А перших страв 3. Тому треба: 8 • 3 = 24 (усіх варіантів).

■ Відповідь: 24 варіанти.

74 • На званій вечері на честь дня народження Королеви зі столу зник шматок нарізаного пирога в той момент, коли гостей ще й не запрошували до столу.

Щоб відвести від себе підозру, офіціант, який обслуговував цю вечерю, сказав: «Ті, хто заперечують, що я не їв пирога, говорять неправду». Чи з’їв офіціант шматочок пирога, якщо те, що він говорить, правда?

■ Розв'язання. «Я не їв пирога» — заперечують, значить, говорять, що я їв пиріг. Але офіціант стверджує, що вони говорять неправду, отже, він не їв того шматочка пирога.

75 • Якщо Андрій дасть Борису 3 грн, а Борис дасть 5 грн 60 к. Миколі, а Микола дасть Андрію 3 грн 70 к., тоді у кожного з них буде по 20 грн. Скільки грошей в Андрія і Миколи разом насправді?

■ Розв'язання. Стосовно Андрія відомо, що в нього буде 20 грн після того, як він дасть Борисові 3 грн і йому дасть Микола 3 грн 70 к. Отже, насправді в Андрія 19 грн 30 к. (20 грн + 3 грн - 3 грн 70 к. =19 грн 30 к.) У Миколи буде 20 грн після того, як Борис дасть йому 5 грн 60 к., а сам Микола дасть Андрію 3 грн 70 к. Значить, у нього насправді: 20 грн + 3 грн 70 к. - 5 грн 60 к. = 18 грн 10 к. Тоді в Андрія і в Миколи разом насправді: 19 грн 70 к. + 18 грн 10 к. = 37 грн 40 к.

■ Відповідь: 37 грн 40 к.

76 • Гуска-мати вишикувала своїх чотирьох гусенят в одну лінію так, як вона це робила й раніше, щоб повести малечу на озеро поплавати й попірнати.

На шляху до озера гусенята порушили початковий порядок слідування, і про це ось що відомо:

1. Га-Го повільно перевалюється з ніжки на ніжку, та тепер ніхто не буде наступати їй на п’яти, як це робив Ги-Га раніше;

2. Га-Га перебіг на інше місце, тому що не любить ходити попереду кусючого Го-Го;

3. Ги-Га йде там, де він зазвичай і ходив;

4. першим до озера прийде гусеня Га-Га, а не Ги-Га, як це бувало раніше.

Яким був попередній порядок слідування гусенят і на якому місці у шерензі тепер буде гусеня Го-Го?

■ Відповідь: Го-Го буде третім тому, що першим прийшов (а отже, й був у шерензі) Га-Га, другим, як і було раніше, прийшов Ги-Га, третім, як відомо, прийшов Го-Го, а четвертим Га-Го.

77 • Людмила помітила, що її калькулятор працює не так як слід: дві кнопки із числами переплутані. Якщо Людмила натискає на одну із цих кнопок, на екрані висвічується число, написане на другій кнопці, і навпаки. Якщо дівчинка вводить: 8 • 45, результат — 360. Якщо вона вводить 239 • 10, результат 2390. Якщо Людмила вводить: 6 • 87, то одержує результат 602. Які числа написані на переплутаних кнопках?

■ Розв'язання. Оскільки два перші приклади правильні, то кнопки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8 і 9 працюють справно, лишаються кнопки 6 і 7. Перевіримо:, отже, переплутані кнопки 6 і 7.

■ Відповідь: на кнопці «6» написано «7», на кнопці «7» написано «6».

78 • Усі 30 учнів одного класу саджали в саду кущі бузку. Кожний хлопчик посадив по 5 кущів бузку, а кожна дівчинка — по 3 кущі. Усього вони посадили 122 кущі бузку. Скільки хлопчиків було в цьому класі?

■ Розв'язання.

1) 5 - 3 = 2 (к.) — на стільки кущів більше саджав 1 хлопчик, ніж 1 дівчинка;

2) 30 • 3 = 90 (к.) — стільки кущів посадили б усі учні класу, якби кожний хлопчик саджав стільки ж, скільки й кожна дівчинка (тобто 3 кущі);

3) 122 - 90 = 32 (к.) — на стільки кущів більше посадили насправді, ніж тоді, коли б кожен хлопчик саджав 3 кущі;

4) 32 : 2 = 16 (хл.) — стільки хлопчиків у цьому класі.

■ Відповідь: 16 хлопчиків.

79 • Марійка дала Сергію почитати останню з книжок про Гаррі Поттера лише на 3 дні. Першого дня Сергій прочитав книги, 1/3 книги, другого — 1/4 того, що лишилося, а третього дня — половину того обсягу, що встиг прочитати за перші два дні. Чи встигне Сергій прочитати книгу за відведений проміжок часу?

■ Розв'язання.

■ Відповідь: ні, не встигне.

80 • У садку на відстані одного метра одне від одного лежать рядком 100 яблук, і на відстані метра від першого яблука дідусь поставив кошик. Його онук Тимко хоче допомогти дідусеві зібрати яблука в кошик. Якої довжини шлях доведеться Тимкові здолати, якщо він візьметься збирати ці яблука так, щоб брати їх послідовно одне за одним і кожне окремо відносити до кошика, що весь час стоїть на одному й тому самому місці?

■ Розв'язання. Кількість пройдених Тимком метрів дорівнюватиме подвоєній сумі перших ста чисел. Доцільним буде тут (якщо це не було розглянуто раніше) розглянути питання про раціональне (швидке) обчислення суми перших ста натуральних чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +... + 97 + 98 + 99 + 100 = (100 + 1) + (99 + 2) + (98 + 3) + (97 + 4) + ... = = 101 • 50. Тоді відстань, пройдена Тимком, дорівнює: 101 • 50 • 2 = 101 • 100 = 10 100 (м).

■ Відповідь: 10 100 м.

81 • Коли йде дощ, кішка сидить у підвалі або в кімнаті. Коли кішка в кімнаті, мишка сидить у норі, а сир лежить у холодильнику. Якщо сир на столі, а кішка в підвалі, то мишка в кімнаті. Зараз іде дощ, а сир лежить на столі. Де за цих умов є кішка і мишка?

■ Розв'язання. Спочатку слід поміркувати над тим, де сидить кішка цього дощового дня. За умовою задачі, вона може бути у двох місцях: у кімнаті або в підвалі. Проте в кімнаті кішка не може бути, оскільки сир не лежить у холодильнику (він лежить на столі). Значить, кішка сидить у підвалі. Отже, нам відомо, що сир лежить на столі, а кішка — у підвалі. Згідно з умовою, у цьому випадку мишка — у кімнаті.

■ Відповідь: кішка — у підвалі; мишка — у кімнаті.

82 • 2 лютого 2009 року був понеділок. Яким днем тижня було 2 березня 2009 року?

■ Розв'язання. Спочатку слід з’ясувати, скільки днів минуло від 2 лютого 2009 року до 2 березня 2009 року. У результаті 2009 рік не був високосним, тож у лютому було 28 днів. Потім слід поміркувати, яким днем тижня було 2 березня. У результаті «понеділок + 28 днів» (оскільки 28 днів — це рівно 4 тижні), то «понеділок + 28 днів» — знову понеділок.

■ Відповідь: понеділок.

83 • У вельми неуважної господарки є три ящики розсади з написами «Огірки», «Квіти» і «Ромашки». Вона посадила насіння ромашок, огірків і чорнобривців у ці ящики так, що всі написи виявилися неправильними.

Що росте в ящику з написом «Ромашки»?

■ Розв'язання. Неуважна господарка, згідно з умовою задачі, не могла посадити в ящик із назвою «Квіти» ані ромашки, ані чорнобривці. Значить, вона посадила у цей ящик огірки.

Для ромашок і чорнобривців лишилося два ящики з написами: «Ромашки» й «Огірки». Але неуважна господарка не посадила ромашки в ящик із написом «Ромашки», як це слід було б зробити, а посадила їх у ящик із написом «Огірки». Тоді у ящику з написом «Ромашки» в неї виростуть чорнобривці.

■ Відповідь: чорнобривці.

84 • На острові Чудового Відпочинку надзвичайний клімат: по понеділках і середах там завжди йдуть дощі, по суботах — туман, а решта днів — сонячні. З ранку якого дня тижня слід розпочинати свій відпочинок групі туристів, якщо вони бажають пробути там 44 дні і застати при цьому якомога більше сонячних днів?

■ Розв'язання. 44 дні — це 6 повних тижнів і ще 2 дні. Упродовж 6 тижнів кількість сонячних днів стала і не залежить від вибору дня початку відпочинку.

Два дні, що лишилися, мають бути четвер і п’ятниця — два сонячні дні поспіль. Із цього випливає, що туристам слід розпочати свій відпочинок із ранку четверга.

■ Відповідь: з ранку четверга.

85 • Дівчата водять хоровод. Христинка стоїть у хороводі. П’ята зліва від Христинки та сама дівчинка, що й шоста справа. Скільки було дівчат у хороводі?

■ Розв'язання. Між Христинкою і п’ятою зліва (назвемо її Даринкою) — 4 дівчат. Між Христинкою і шостою справа (це та сама Даринка) — 5 дівчат. Усього в хороводі Христинка, Даринка та 4 + 5 = 9 дівчат. Усього — 11.

■ Відповідь: 11.

86 • Матері 47 років, а трьом її синам відповідно 10, 12 і 15 років. Як скоро сума чисел, що позначає загальний вік синів, дорівнюватиме віку матері?

■ Розв'язання. Сьогодні мати випереджає синів за віком на: 47 - (10 + 12 + 15) = 10 (років). Щороку мати стає старшою на 1 рік, а сини «старіють» спільними зусиллями на 3 роки, скорочуючи на 2 роки розрив у віці минулого року.

Для того щоб «наздогнати» матір, синам знадобиться: 10 : 2 = 5 (років).

■ Відповідь: за 5 років.

87 • Мати трьох синів лишила вранці на столі тарілку слив, а сама пішла на роботу. Першим прокинувся старший син. Побачив на столі сливи, з’їв їх третину й пішов. Другим прокинувся середній. Подумав, що його брати ще не їли слив, з’їв третину того, що було на тарілці й пішов. Пізніше за всіх прокинувся молодший. Побачивши сливи, він вирішив, що його брати ще не їли їх, а тому з’їв лише третю частину слив, які були на тарілці, після чого на тарілці залишилося 8 слив. Скільки всього слив було на тарілці спочатку?

■ Розв'язання. Задачу найкраще розв’язувати з кінця. Оскільки молодший із братів з’їв третину слив, що були на тарілці, а лишив 8 (дві третини того, що було), то на тарілці до нього було: 8 : 2 • 3 = 12 (слив). Ці 12 слив йому лишив середній брат, з’ївши третю частину слив, які були в нього на тарілці, й лишивши дві третини своїх слив. Отже, у середнього брата на тарілці було: 12 : 2 • 3 = 18 (слив). Ці 18 слив лишив старший брат, з’ївши третину слив, які він побачив на тарілці. Значить, на дві третини всіх слив припадає 18 слив. Таким чином, усього слив було: 18 : 2 • 3 = 27 (слив).

■ Відповідь: 27 слив.

88 • Твори відомого автора у восьми томах публікувалися впродовж 8 років: кожного року видавалося по одному тому. Сума цих років дорівнює 15 716.

У якому році був опублікований перший том?

■ Розв'язання. Число, що позначає кожний наступний рік, збільшується на 1 порівняно з попереднім. Знайдемо суму, на яку збільшиться число, що позначає суму всіх наступних (за роком видання першого тому) років: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Щоб знайти рік видання першого тому, слід: (15 716 - 28) : 8 = 1961.

■ Відповідь: 1961 рік.

89 • У відділі ялинкових прикрас магазину подарунків продаються набори іграшок різної форми для міні-ялинок. Ціна кожного набору дорівнює сумі цін іграшок у ньому. (Іграшки однієї форми коштують однаково.)

Ціни наборів зліва направо такі: 21 грн, 19 грн, 24 грн. Скільки коштує четвертий набір іграшок?

■ Розв'язання. Порівняємо перший і третій набори. Вони відрізняються один від одного тим, що в першому — коло, а в третьому — трикутник. Але третій набір коштує на 3 грн дорожче (24 - 21 = 3), отже, трикутник коштує на 3 грн дорожче за коло.

Порівняємо перший і другий набори. Один від одного вони відрізняються тим, що в першому наявний квадрат, а в другому — коло. Перший коштує на 2 грн дорожче, отже, квадрат коштує на 2 грн дорожче за коло.

Далі використаємо модель і умову про те, що перший набір (або другий чи третій) коштує 21 грн. Тоді:

Якби вартість усіх названих фігур-іграшок була такою, як вартість кола, то вони коштували б 14 грн (21 - 3 - 2 - 2 = 14). Оскільки 14 грн — це 1400 к., то ціна кола дорівнює: (к.) або 3 грн 50 к. Тоді вартість трикутника: 3 грн 50 к. + 3 грн = 6 грн 50 к., а вартість квадрата: 3 грн 50 к. + 2 грн = 5 грн 50 к. Значить, ціна четвертого набору: 5 грн 50 к. • 2 + 3 грн 50 к. • 3 + 6 грн 50 к. = 28 грн.

■ Відповідь: 28 грн.

90 • Жабка Сите Черевце спіймала за 5 днів 512 комарів. Кожного дня вона ловила стільки комарів, скільки в усі попередні дні разом. Скільки комарів спіймала жабка за кожний із цих днів?

■ Розв'язання. За останній день вона спіймала стільки комарів, скільки у перші 4 дні, тобто половину всіх комарів. Четвертого дня — половину комарів, спійманих за 4 дні. І так далі.

■ Відповідь: п’ятого дня жабка спіймала 256 комарів, четвертого — 128, третього — 64, другого — 32, першого — 32.

91 • По круговій біговій доріжці завдовжки 400 м біжать Олег і Андрій. Олег біжить швидше й обганяє Андрія кожні 12 хвилин. Через 36 хв після початку біг було зупинено. Хто пробіг більше і на скільки більше?

■ Розв'язання. Олег пробіг більше, ніж Андрій, оскільки біг упродовж того самого часу з більшою швидкістю. За кожні 12 хвилин Олег пробігав на 1 коло більше, ніж Андрій. Значить, за 36 хв Олег пробіг на 3 кола більше, а три кола — це 400 • 3 = 1200 (м).

■ Відповідь: Олег; на 1200 м більше.

92 • Лисиця й Ведмідь зварили кашу. Лисиця дала дві кружки крупи, а Ведмідь — чотири. Тільки-но зібралися попоїсти — прилетів журавель: «Доброго вам дня! Бачу, ви каші наварили. Чи не пригостите мене?» А Лисиця йому: «Ти диви, який хитрий! А що ти нам за це даси?» Журавель у відповідь: «А я вам 6 рибин дам». На тому й порішили. Поділили кашу порівну на трьох. Журавель попоїв та й полетів. А Лисиця з Ведмедем заходилися рибу ділити. Як вони по справедливості мають це зробити?

■ Розв'язання. Лисиця свою долю з’їла під час обіду, а Ведмідь половину своєї каші віддав Журавлеві, отже, всю винагороду — 6 рибин, має отримати саме Ведмідь.

93 • Два туристи варили в казанці суп. Один поклав у нього З пакети сухої супової суміші, а другий 5 таких самих пакетів. До них підійшов ще один турист, і вони утрьох з’їли весь суп. Третій турист заплатив за обід 8 грн. Як мають розділити між собою ці гроші перші два туристи?

■ Розв'язання. Слід врахувати, що перші два туристи також їли суп. Перший з’їв третину супу, другий — третину і третій — третину. 8 грн, які заплатив третій турист, — вартість третини супу. Значить, увесь суп коштував 24 грн, а кожний пакет сухої супової суміші коштував 3 грн (24 : 8 = 3). Перший турист з’їв супу на 8 грн, а поклав у страву 3 пакети суміші, тобто вклав у загальну страву 9 грн. Йому належить отримати 1 грн. Другий турист вклав 5 пакетів, тобто 15 грн, а з’їв супу на 8 грн. Йому належить отримати 7 грн.

■ Відповідь: 1 грн і 7 грн відповідно.

94 • Мураха і Стонога вирішили влаштувати змагання з бігу. Коли Мураха пробіг 1/3, а Стонога здолала 5/6 усієї дистанції, виявилося, що між ними 8 метрів. Якої довжини була дистанція?

■ Розв'язання. Слід урахувати, що 1/3 = 2/6, знайти, яку частину всієї дистанції становлять 8 метрів:

Виявляється, 8 м становлять половину всієї дистанції. Тоді довжина дистанції — 8 • 2 = 16 м.

95 • На столі лежать 10 пронумерованих капелюхів. У кожному капелюсі лежить по 10 золотих монет. В одному з капелюхів усі монети фальшиві. Справжня монета має масу 10 г, а фальшива — лише 9 г. Є терези зі шкалою в грамах. Як за допомогою лише одного зважування визначити, у якому з капелюхів лежать фальшиві монети? За допомогою цих терезів можна зважувати не більше 750 г.

■ Розв'язання. Візьмемо з першого капелюха 1 монету, з другого — 2, з третього — 3 і т. д. — усього 55 монет, загальна маса яких мае бути 550 г. Але оскільки серед них е фальшиві, то вказана маса буде відрізнятися від тієї, що показують терези, на кількість грамів, що дорівнює номеру капелюха з фальшивими монетами. Тобто якщо на терезах буде маса 544 г, то фальшиві монети в шостому капелюсі (550 - 544 = 6). Також можна брати монети лише з 9 капелюхів. Якщо загальна маса буде 450 г, то це означає, що фальшиві монети в десятому капелюсі.

96 • На одну шальку терезів поклали кусень мила, на іншу — 3/4 такого самого кусеня та ще 3/4 кг. Терези врівноважилися. Якою є маса цілого кусеня мила?

■ Розв’язання: 3/4 кусеня мила та 3/4 кг мають таку саму масу, як і цілий кусень. Але цілий кусень складається з 3/4 кусеня та ще и з 1/4 кусеня. Отже, 1/4 кусеня має масу 3/4 кг, значить, цілий кусень має масу в 4 рази більшу, ніж 3/4 кг (3/4 кг = 750 г), тобто 3 кг (750 г • 4 = 3000 г = 3 кг).

■ Відповідь: 3 кг.

97 • Два велосипедисти виїхали назустріч одне одному з пунктів, що розташовані на відстані 20 км. Швидкість кожного велосипедиста — 10 км/год. Одночасно разом із першим вибіг собака. Собака бігав між велосипедистами: добігши до другого, він повертався до першого, потім знову біг до другого і так доти, доки вони не зустрілися. Скільки пробіг собака, якщо його швидкість дорівнює 20 км/год?

■ Розв’язання. До зустрічі велосипедисти їхали впродовж 1 години, і стільки ж часу бігав собака зі швидкістю 20 км/год. Отже, він пробіг: 20 • 1 = 20 (км).

■ Відповідь: 20 км.

98 • Є 9 кг круп і гирі масою 50 г та 200 г. Як за три рази на терезах відміряти 2 кг круп?

■ Розв'язання. Перше зважування — на обох шальках зрівноважених терезів по 4 кг 500 г круп, друге зважування — на кожній шальці зрівноважених терезів по 2 кг 250 г круп; трете зважування — на одній шальці 2 кг круп і гирі масою 50 га 200 г, на другій — 2 кг 250 г круп.

99 • П’ятеро переможців конкурсу «Міцний горішок» отримали в нагороду однакову кількість горіхів. Троє з них одразу з’їли по 5 горіхів і помітили, що в них разом лишилося стільки горіхів, скільки було видано двом іншим. Скільки всього горіхів було видано всім п’ятьом?

■ Розв'язання. Троє з’їли 15 горіхів. Після цього в них лишилося стільки, скільки було видано двом іншим. А до цього в них було стільки, скільки видали трьом. Значить, 15 горіхів було видано кожному, а всім — 15 • 5 = 75 (горіхів).

■ Відповідь: 75.

100 • Є банка соку місткістю Злі дві порожні банки: одна — місткістю 1 л, друга — місткістю 2 л. Як розлити сік так, щоб у всіх трьох банках було по 1 л?

■ Розв'язання. Сік можна розлити по банках так:

1) наповнити банку місткістю 1 л;

2) вилити її вміст у банку місткістю 2 л;

3) наповнити банку місткістю 1 л з банки місткістю 3 л. Тепер у всіх банках буде по 1 л соку.

Однак сік можна розлити і так:

1) наповнити банку місткістю 2 л;

2) наповнити з неї банку місткістю 1 л.

Тепер у всіх банках по 1 л соку.

101 • Є два пісочні годинники: на 7 і на 11 хв. Каша має варитися 15 хв. Як зварити її, перевернувши годинники найменшу кількість разів?

■ Розв'язання цієї задачі задається числовим виразом (11 - 7) + 11. Отже, необхідно перевернути годинники одночасно і через 7 хв почати варити кашу. Коли пісок із 11-хвилинного годинника висиплеться, його необхідно перевернути ще раз.

102 • Гном Скнарчик розклав свої скарби в три скрині різного кольору, що стоять біля стіни: в одну — дорогоцінні камінці, у другу — золоті монети, у третю — магічні книги. Він пам’ятає, що червона скриня розташована правіше, ніж та, де лежать камінці, і що скриня з книгами стоїть правіше, ніж червона скриня. У якій скрині лежать книги, якщо зелена скриня стоїть лівіше, ніж синя?

■ Розв'язання. За умовою скриня з камінцями стоїть лівіше, ніж червона, а скриня з книгами — правіше за червону. Значить, червона скриня стоїть посередині, і в ній лежать золоті монети. Оскільки зелена і синя скрині — крайні та зелена стоїть лівіше від синьої, то зелена — крайня зліва, а синя — крайня справа. Пригадуючи, що камінці — лівіше, а книги — правіше червоної скрині, доходимо висновку, що камінці лежать у зеленій, а книги — у синій скрині.

■ Відповідь: у синій скрині.

103 • Необхідно розподілити 2 кг цукру-піску по 200-грамових пакетах. Є лише одна 500-грамова гиря та ще молоток, маса якого 900 г. Як отримати всі 10 пакетів, користуючись цією гирею і молотком?

■ Розв'язання. Спочатку кладуть на одну шальку молоток, на другу — гирю і стільки цукру, щоб терези врівноважилися. Зрозуміло, що маса насипаного на цю шальку цукру: 900 - 500 = 400 (г). Це саме повторюють ще тричі, маса залишку цукру — 400 г. Тепер залишається вміст кожного з п’яти отриманих пакетів по 400 г поділити навпіл, на два пакети однакової маси. Це дуже просто здійснити без гир: розсипають цукор, що міститься у пакеті (400 г) по двох пакетах, розміщених на різних шальках, доки терези не врівноважаться.

104 • В одному ящику 50 кульок, а в другому — 80. Кожен із двох гравців по черзі виймає з будь-якого ящика будь-яку кількість кульок. Суть гри полягає в тому, щоб урівнювати кількість кульок у ящиках. Виграє той, хто візьме останню кульку. Тобі дозволяється розпочати гру або надати партнеру право першого ходу. Як ти будеш грати?

■ Розв'язання. Зрівняти кількість кульок можна першим ходом, взявши з другого ящика 30 кульок. Партнер неодмінно порушить одержану рівність, а ми маємо знову її відновити. Кількість кульок весь час зменшується, і коли-небудь гравець, який зрівнює кількість кульок у ящиках, доведе цю рівність до 0 - 0, тобто виграє.

Тож слід розпочати гру, взявши з другого ящика 30 кульок і в подальшому кожного разу своїм ходом урівнювати їх кількість.

105 • Два поїзди однакової довжини рухаються назустріч один одному. Швидкість першого поїзда — 36 км/год, швидкість другого — 45 км/год. Пасажир, що сидить у купе вагона другого поїзда, помітив, що перший поїзд ішов повз нього 6 секунд. Якою є довжина кожного поїзда?

■ Розв'язання. Якби перший поїзд стояв на місці, то пасажир другого поїзда їхав би повз нього зі швидкістю 45 км/год. А оскільки перший поїзд їхав назустріч зі швидкістю 36 км/год, то пасажир другого поїзда їхав повз нього зі швидкістю: 36 + 45 = 81 (км/год). Значить, шлях завдовжки у поїзд він пройшов зі швидкістю 81 км/год за 6 секунд. Помноживши швидкість на час, одержимо відповідь.

81 км/год = 2250 см/с, отже, 2250 • 6 = 13 500 (см) = 135 (м).

■ Відповідь: 135 м.

106 • Електричний настінний годинник зі стрілками відстає кожної доби на 6 хвилин. Власник цього годинника виставив на ньому правильний час, а сам поїхав у відрядження. Коли він повернувся, годинник знову показував час правильно. Скільки діб він був відсутній?

■ Розв'язання: Циферблат годинника поділений на 12 частин, тобто на 12 годин. Відстаючи кожної доби на 6 хвилин, годинник знову буде показувати час правильно, коли відстане на 12 годин, тобто через 12 год: 6 хв = (12 • 60) хв: 6 хв = 120 обертів, або через 60 діб. Отже, господар був відсутній 60 діб (або декілька разів по 60 діб).

■ Відповідь: 60 діб або декілька разів на 60 діб.

107 • У футбольному турнірі беруть участь 5 команд із Києва, Харкова, Одеси, Полтави і Львова. Турнір проводиться у два кола. Кожна пара команд зустрічається двічі: у себе вдома і в місті суперника. Скільки матчів відбудеться в кожному місті? Скільки всього матчів у цьому турнірі?

■ Розв'язання. Щоб зрозуміти умову, слід розібратися, які ігри і в яких містах проведе кожна команда. Почнемо, наприклад, з команди Києва. Вона проведе дві гри з харків’янами: одну в Києві, одну в Харкові. Вона проведе дві гри з командою Одеси: одну у себе вдома, другу — у гостях і т. д.

Результатом таких досліджень стає рисунок, на якому зображено п’ять стадіонів і позначено, які команди приїдуть у гості на ці стадіони. Тепер стає зрозумілим, що в кожному місці відбудеться по 4 матчі, а всього матчів буде: 5 • 4 = 20.

■ Відповідь: 4 і 20 матчів відповідно.

108 • Мотоцикліст проїхав 100 км зі швидкістю 50 км/год та ще 120 км зі швидкістю 40 км/год. Якою була середня швидкість руху мотоцикліста на всій відстані?

■ Розв'язання.

1) 100 : 50 = 2 (год) — долав 100 км;

2) 120 : 40 = 3 (год) — долав 120 км;

3) 2 + 3 = 5 (год) — був у путі;

4) 100 + 120 = 220 (км) — всього проїхав;

5) 220 : 5 = 44 (км/год) — середня швидкість мотоцикліста.

■ Відповідь: 44 км/год.

109 • Одній пані у кав’ярні подали одну філіжанку кави і невеликий глечик молока. Після того як пані випила півфіліжанки кави, вона доповнила її молоком. Випивши третину утвореного напою, вона знову долила молока, щоб чашка була повною. І нарешті, випивши шосту частину кави з молоком, востаннє долила молока, повністю наповнивши філіжанку, і випила все до останньої краплини. Чого більше випила пані — кави чи молока?

■ Розв'язання. Оскільки цій пані була подана одна філіжанка кави, і більше кави вона не замовляла, то пані, звісно, випила рівно 1 філіжанку кави. Що стосується молока, то його було налито й випито спочатку півфіліжанки, потім — третину філіжанки, і нарешті — шосту частину філіжанки:

Як бачимо, 1/2, 1/3 і 1/6 філіжанки разом становлять 1 філіжанку. Отже, молока, як і кави, пані випила одну філіжанку.

■ Відповідь: однакову кількість.

110 • У вазочці лежали цукерки. Одна із сестер з’їла 1/2 всіх цукерок і ще дві цукерки. Друга з їла 1/4 всіх цукерок та ще одну цукерку. Після цього цукерок не лишилося. Скільки цукерок було у вазочці?

■ Розв'язання. Слід нагадати, що 1/2 складається з двох четвертих частин. Тоді стає зрозумілим, що 1/4 всіх цукерок з’їла друга сестра, а ще на 1/4 припадає: 2 + 1 = 3 (цукерки). Значить, усього у вазочці було: 3 • 4 = 12 (цукерок).

■ Відповідь: 12 цукерок.

111 • Батьки купили 2 кг мандаринів першого сорту і 3 кг мандаринів другого сорту. Середня ціна 1 кг куплених мандаринів дорівнює 34 грн 92 к. Яка ціна 1 кг мандаринів першого сорту, якщо 1 кг мандаринів другого сорту коштує 33 грн?

■ Розв'язання. Обчислимо, скільки коштують 3 кг мандаринів другого сорту: 3300 • 3 = 9900 (к.) і скільки всього кілограмів мандаринів було куплено: 2 + 3 = 5 (кг). Далі визначимо, скільки заплатили за 2 кг мандаринів першого сорту: 3492 • 5 - 9900 = 7560 (к.). Отже, 1 кг мандаринів першого сорту коштує: 7560 : 2 = 3780 (к.), або 37 грн 80 к.

■ Відповідь: 37 грн 80 к.

112 • Група туристів підійшла до річки, через яку їм необхідно було переправитися. Та місток виявився зламаним, а річка — глибокою. Як тут бути? Раптом старший групи помітив двох хлопців, які плавали у човні неподалік від берега. Проте їх човен був такий малий, що в ньому міг переправитися або лише один турист, або лише двоє хлопчиків — не більше! Однак всі туристи переправилися через річку саме цим човном. Як вони це зробили?

■ Розв'язання. Діти в човні перепливли річку. Один із хлопчиків залишився на березі, а другий пригнав човен туристам і виліз. Тоді у човен сів турист і переправився на інший берег. Хлопчик, що лишався там, пригнав човен туристам, узяв товариша, відвіз його на інший берег і знову пригнав човен назад, після чого виліз, а в човен сів другий турист і переправився. Таким чином — після кожних двох перегонів човна через річку і назад — переправлявся один турист. Так повторювалося стільки разів, скільки було туристів.

113 • Дев’ятнадцять учнів одного класу займаються спортом. Із них 17 уміють їздити на велосипеді, 13 уміють плавати, а 8 ходити на лижах. Жодний з учнів не володіє трьома видами спорту. Скільки пловців уміють ходити на лижах?

■ Розв'язання. Неважко пересвідчитися, що кожний з учнів-спортсменів займається одночасно двома видами спорту. Дійсно, сумарна кількість велосипедистів, пловців і лижників (17 + 13 + 8 = 38) удвічі більша, ніж число 19. Отже, в сумі 38 кожного спортсмена пораховано двічі. Ніхто з 19 спортсменів не займається одразу трьома видами спорту, таким чином, ті пловці, які вміють ходити на лижах, — це лише ті з дев’ятнадцяти, хто не їздить на велосипеді. Таких учнів: 19-17 = 2.

■ Відповідь: 2.

114 • Три лицарі, кожен у супроводі зброєносця, з’їхалися на березі річки, маючи намір переправитись на протилежний берег. Їм вдалося знайти маленький човен на два місця і переправилися б вони з легкістю (адже коні могли подолати перешкоду самотужки, бо вміють плавати), та одне ускладнення ледь не завадило цьому. Усі зброєносці, ніби змовившись, категорично відмовились залишатися у товаристві незнайомих лицарів без своїх господарів. Не допомогли ані умовляння, ані погрози. І все ж таки переправа відбулась, усі шестеро благополучно переправилися на протилежний берег за допомогою двомісного човна. При цьому виконувалась вимога, на якій наполягали зброєносці. Як це відбувалося?

■ Розв'язання. Позначимо буквами А, Б, В лицарів, а їх зброєносців відповідно буквами а, б, в.

Маємо:

1) Спочатку переправляються два зброєносці.

2) Повертається один зі зброєносців і перевозить третього.

3) Повертається один зі зброєносців і лишається зі своїм лицарем. Два інші лицарі переправляються до своїх зброєносців.

4) Один із лицарів повертається зі своїм зброєносцем, лишає його й забирає із собою лицаря.

5) Зброєносець а перепливає човном і забирає одного зі зброєносців, що лишилися.

6) Лицар забирає свого зброєносця.

115 • Зі 100 іноземних туристів 75 знають німецьку мову і 83 — французьку. Іншими мовами вони не володіють. Скільки туристів знають і французьку, і німецьку мову одночасно?

■ Розв'язання. Не знають французької мови: 100 - 83 = 17 (туристів). Знають і німецьку, і французьку: 75 - 17 = 58 (туристів).

■ Відповідь: 58 туристів.

116 • Є 3 замки і 3 ключі до них. Чи достатньо трьох перевірок, щоб визначити, до якого замка який ключ підходить?

■ Розв'язання. Візьмемо для першої перевірки будь-який ключ (К1) і замок (З1). Далі можливі два варіанти:

а) К1 підходить до З1. Залишається встановити відповідність між рештою — двома ключами і двома замками; для цього потрібна одна спроба — перевірка (див. розв’язання попередньої задачі).

У цьому випадку для трьох ключів і трьох замків досить двох перевірок.

б) К1 не підходить до З1. Спробуємо цим самим ключем (К1) відкрити інший замок (З2). На це знадобиться ще одна перевірка.

Якщо К1 підходить до З2, третьою перевіркою встановлюємо відповідність між двома іншими парами ключів і замків. Якщо К1 не підходить до З2, отже, К1 відповідає З3 (цей випадок не потребує додаткової перевірки). Третьою перевіркою співвідносимо два інші ключі і замки. В обох варіантах випадку б) знадобиться три перевірки. Отже, трьох перевірок у випадках а) і б) достатньо.

■ Відповідь: так.

117 • Серед студентів, присутніх у кімнаті, 6 знають англійську мову, стільки ж — німецьку і 7 студентів — французьку. Один студент знає всі три ці мови, 4 студенти знають німецьку й англійську, 2 — французьку й англійську і 3 студенти знають німецьку і французьку мови. Скільки присутніх у цій кімнаті, якщо кожний із них знає хоча б одну мову?

■ Розв'язання. Для відшукання відповіді скористаємося табличним записом умови задачі:

Якби з кімнати вийшов той студент, який знає всі три мови, то таблиця мала б вигляд:

Якщо ж вийдуть студенти, які знають по дві мови, таблиця матиме такий вигляд:

У кімнаті залишилося б 4 студенти (з них лише один знає тільки англійську мову). Оскільки могло б вийти 7 студентів, то всього в кімнаті було: 4 + 7 = 11 (студентів).

■ Відповідь: 11.

118 • Скільки необхідно зробити спроб, щоб знайти відповідність між шістьма замками і шістьма ключами?

■ Розв'язання. Щоб знайти кількість перевірок, які необхідно зробити, уявімо, що нам повсякчас не щастить: перший ключ

не підійшов до п’яти із шести замків — для з’ясування цього факту знадобиться п’ять перевірок. Проте шостий, останній замок ми можемо цим ключем не перевіряти, він має підійти. Припустімо далі, що другий ключ не підходить до чотирьох із п’яти замків, що залишилися. До п’ятого замка він підійде напевно, на це знадобиться 4 перевірки. Якщо третій ключ не підходить до трьох із чотирьох замків, то він підходить до четвертого — ще 3 перевірки. Після 5 + 4 + 3 = 12 перевірок із шести невпорядкованих пар замків і ключів залишається три; на їх упорядкування необхідні ще три перевірки (див. попередню задачу). Повністю впорядкувати шість замків і 6 ключів можна не більш ніж за 12 + 3 = 15 перевірок.

■ Відповідь: 15 спроб.

119 • У деякій області є 5 міст. Кожні 2 міста сполучає дорога (кожна дорога сполучає лише 2 міста). Скільки доріг є в цій області між містами?

■ Розв'язання. Із першого міста слід прокласти чотири дороги (до решти чотирьох міст), із другого — три, оскільки друге з першим уже з’єднані, із третього — дві (до четвертого і п’ятого міст), із четвертого — одну (до п’ятого міста); п’яте місто вже сполучене з усіма іншими. Усього в області: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 — доріг між містами:

■ Відповідь: 10 доріг.

120 • Є 2 замки і 2 ключі до них. Взяли ключ і спробували, чи підходить він до одного із замків. Чи достатньо однієї перевірки, щоб визначати, від якого замка цей ключ?

■ Розв'язання. Якщо взятий навмання ключ не підходить до взятого навмання замка, то цей ключ — від другого замка, а до першого замка підійде другий ключ. Якщо ж узятий навмання ключ підходить до взятого навмання замка, то і ключ, що лишився, підходить до замка, що лишився. Отже, однієї перевірки достатньо.

■ Відповідь: так.

121 • Із міста А до міста Б ведуть 3 дороги, а з міста Б до міста В — 2. Скільки існує способів потрапити з А до В (не заїжджаючи до міста Б, з А до В потрапити неможливо — немає прямої дороги).

■ Розв'язання. Існує 6 способів. 2 способи — користуючись першою дорогою з А до Б, 2 способи — користуючись другою дорогою з А до Б, і 2 способи — користуючись третьою дорогою. Якщо позначити дороги цифрами, як на малюнку нижче, то всі можливі шляхи з А до Б записуємо так: 1,4; 1,5; 2,4; 2,5; 3,4; 3,5.

■ Відповідь: 6.

122 • Четверо друзів — Леонід, Борис, Олег і Денис — вирішили подорожувати автомобілем. В автомобілі два сидіння спереду і два позаду. Лише Леонід і Денис уміють керувати автомобілем. Скількома різними способами друзі можуть зайняти місця в автомобілі?

■ Розв'язання.

Попереду — Леонід (за кермом) і Денис. Позаду — Олег і Борис.

Попереду — Леонід і Олег. Позаду — Денис і Борис.

Попереду — Леонід і Борис. Позаду — Олег і Денис.

Попереду — Денис (за кермом) і Леонід. Позаду — Олег і Борис.

Попереду — Денис і Олег. Позаду — Леонід і Борис.

Попереду — Денис і Борис. Позаду — Леонід і Олег.

Ураховуючи, що пара пасажирів, яка позаду, може обрати два різні способи сидіти там (або перший із пасажирів сидить за водієм, або другий), то всього способів зайняти місця в автомобілі у друзів 12.

■ Відповідь: 12.

123 • Якщо рухатися за стрілками, то скільки можна дістати різних способів, щоб утворити слово ХАРКІВ?

■ Відповідь: 12.

124 • У класі 35 учнів. 20 із них відвідують математичний гурток, 11 — біологічний, а 10 — гуртки взагалі не відвідують. Скільки учнів цікавляться і математикою, і біологією?

■ Розв'язання. Хоча б якийсь гурток відвідують: 35 - 10 = 25 (учнів).

Обидва ці гуртки відвідують 20 + 11 - 25 = 6 (учнів).

■ Відповідь: 6.

125 • Паркування велосипеда коштує 60 к. за першу годину пар кування (або її частину). Кожна наступна година паркування (або її частина) коштує 20 к. Хлопчик припаркував велосипед о 9 год 30 хв і забрав його того ж дня об 11 год 25 хв. Скільки грошей він заплатив?

■ Розв'язання. Слід порахувати час, який простояв припаркований велосипед хлопчика: від 9 год 30 хв до 10 год 30 хв — перша година паркування, від 10 год 30 хв до 11 год 25 хв — неповна друга година (тобто частина години). Отже, хлопчик заплатив:

■ Відповідь: 80 копійок.

126 • Дарина виходить зі свого будинку о 6 год 55 хв. До школи приходить о 7 год 32 хв. Її подруга Мар’яна приходить до школи лише о 7 год 45 хв, хоча живе значно ближче, ніж Дарина. Мар’яні потрібно йти на 12 хв менше, ніж Дарині. О котрій годині Мар’яна виходить зі свого будинку?

■ Розв'язання. Дарина виходить із дому о 6 год 55 хв, до школи приходить о 7 год 32 хв. Дорогу від дому до школи вона проходить за 37 хв. Мар’яна приходить до школи о 7 год 45 хв, витративши на дорогу 25 хв. Отже, Мар’яна виходить із дому о 7 год 20 хв.

■ Відповідь: о 7 год 20 хв.

127 • Для приготування фруктового напою потрібно змішати 4 л яблучного соку, 2 л виноградного соку та 1 л цукрового сиропу. Скільки літрів яблучного соку потрібно для приготування 350 л такого напою?

■ Розв'язання. Одна порція напою — це 7 л рідини (4 + 2 + 1 = 7). 350 л рідини — це 50 порцій напою. 50 порцій напою — це 4 • 50 = 200 (л) яблучного соку.

■ Відповідь: 200 л.

128 • У літньому таборі відпочинку за круглим столом опинилися п’ятеро хлопчиків — із Мелітополя, Стаханова, Ніжина, Пирятина й Хорола — Юрко, Тимко, Олексій, Микола і Сашко. Хлопець із Мелітополя сидів між хлопцем із Хорола і Сашком, хлопець зі Стаханова — між Юрком і Тимком, а навпроти нього сиділи хлопець із Пирятина й Олексій. Микола ніколи не був у Стаханові, Юрко ніколи не був ні в Мелітополі, ні в Хоролі, а хлопець із Хорола регулярно листується з Тимком. У якому місті мешкає кожен із хлопців?

■ Розв'язання. Слід укласти таблицю правдивості, користуючись умовами, наведеними в задачі, заповнити її знаками «+» (так) і «—» (ні). При цьому слід ураховувати, що хлопчики сидять за круглим столом (у разі потреби зробити рисунок).

Користуючись заповненою таблицею, легко відповісти на запитання.

129 • 50 тек для паперу коштують більше, ніж 51 грн, але менше, ніж 54 грн. Скільки коштує одна така тека?

■ Розв'язання. Якщо 50 тек коштують більше, ніж 51 грн, але менше, ніж 54 грн, то 100 таких тек коштують більше, ніж 102 грн, але менше, ніж 108 грн (або 100 тек коштують більше, ніж 10 200 к., але менше, ніж 10 800 к.) Отже, одна тека коштує 105 к.)

■ Відповідь: 1 грн 5 копійок.

130 • Один грек народився у 40 році до нашої ери, а помер у 40 році нашої ери. Скільки років прожив цей грек?

■ Відповідь: 81 рік прожив цей грек: 40 + 40 + 1 = 81 (слід враховувати й нульовий рік — початок нової ери).

131 • Дехто має 12 пінт соку (пінта — одиниця місткості в США, Великій Британії та деяких інших країнах, 1 пінта = 568 мл) і хоче пригостити половиною соку свого друга. Але в нього немає посудини місткістю 6 пінт, а є дві посудини місткістю 8 і 5 пінт відповідно. Яким чином можна налити 6 пінт у посудину, місткість якої — 8 пінт?

■ Розв'язання. Необхідно наповнити посудину місткістю 8 пінт, вилити з неї 5 пінт у другу посудину, а 3 пінти, що лишилися, перелити в посудину місткістю 5 пінт. Удруге наповнити посудину місткістю 8 пінт і відлити з неї 2 пінти в посудину місткістю 5 пінт. У посудині місткістю 8 пінт залишиться 6 пінт соку.

132 • Жінка несла на продаж кошик із яйцями. Необачливий перехожий штовхнув жінку, кошик упав на землю, і всі яйця розбилися. Перехожий виявив бажання повернути жінці вартість розбитих яєць і запитав, скільки їх було. «Я цього не пам’ятаю, — відповіла жінка, — знаю лише, що коли я перекладала їх по два, лишалося одне яйце. Так само лишалося по одному яйцю, коли я перекладала їх по 3, 4, 5 і 6, а всього їх було менше, ніж 100». Скільки було яєць?

■ Розв'язання. Необхідно знайти число, яке під час ділення на 2, 3, 4, 5 і 6 дає в остачі 1. Якби в жінки було на одне яйце менше, їх кількість ділилася б на 2, 3, 4, 5 і 6 націло. Існує лише одне таке число менше, ніж 100 — це число 60. Але яєць було на 1 більше, ніж 60, тобто 61.

■ Відповідь: 61 яйце.

133 • На столі три купки сірників. В одній купці — 11 сірників, у другій — 7, у третій — 6. Як, перекладаючи сірники з будь- якої купки до будь-якої іншої, за 3 ходи зрівняти кількість сірників у всіх трьох купках (щоб у кожній стало по 8 сірників)? До будь-якої купки дозволяється додавати стільки сірників, скільки в ній є.

■ Відповідь: (11, 7, 6) (4, 14, 6) → (4, 8, 12) (8, 8, 8).

134 • Сумлінна й акуратна в усьому Настуся купила зошит з 96 аркушів і пронумерувала всі сторінки поспіль числами від 1 до 192. Її сусід по парті неохайний Остапчик вирвав із цього зошита 25 аркушів і додав усі 50 чисел — номерів сторінок, які на них були написані. Він дістав відповідь — 2002. Чи не помилився він?

■ Розв'язання. Сума номерів на одному аркуші — непарна, оскільки це — сума двох послідовних натуральних чисел. Усього сторінок 25. Сума 25 непарних чисел має бути непарним числом, а в Остапчика у відповіді — парне число. Отже, Остапчик помилився у своїх обчисленнях.

■ Відповідь: так, помилився.

135 • Три чоловіки купили бутель, повністю заповнений 24 унціями бальзаму. (Унція — одиниця маси в англійській системі мір; 1 унція = 23 г 350 мг). Пізніше вони придбали три порожні посудини місткістю 5, 11 і 13 унцій. Як їм поділити бальзам порівну за допомогою цих чотирьох посудин? Як розв’язати задачу за найменшу кількість переливань (ходів)?

Для розв’язання задачі доцільно намалювати таблицю.

136 • Якщо Зіна йде до школи пішки, а назад повертається автобусом, то на всю дорогу вона витрачає 1 год 30 хв. Якщо ж вона їде автобусом в обидва кінці, то на всю дорогу вона витрачає 30 хв. Скільки часу витратить Зіна на дорогу, якщо і в школу і зі школи вона буде йти пішки?

■ Розв'язання. Дорога в обидва кінці автобусом займає 30 хв, отже, дорога в один кінець автобусом займе 15 хв. На дорогу в один кінець пішки знадобиться 1 год 30 хв - 15 хв = 1 год 15 хв. Значить, на дорогу пішки в обидва кінці Зіна витратить 2 год 30 хв.

■ Відповідь: 2 год 30 хв.

137 • У трьох ящиках лежать горіхи. У першому ящику на 6 кг горіхів менше, ніж у двох інших разом. А у другому — на 10 кг менше, ніж у двох інших разом. Скільки кілограмів горіхів лежить у третьому ящику?

■ Розв'язання. Об’єднаємо обидві задані умови і одержимо твердження: «У першому і другому ящиках горіхів на 6 кг + 10 кг менше, ніж у першому, другому і двох третіх». Звідси випливає, що у двох третіх ящиках — 16 кг горіхів, тобто у третьому ящику — 8 кг горіхів.

■ Відповідь: 8 кг.

138 • Є барильце місткістю 12 л, наповнене квасом, і 2 порожні барильця — на 5 та 8 л. Як, користуючись цими барильцями, розділити квас на дві частини — 3 і 9 л?

Для розв’язання задачі доцільно намалювати таблицю.

139 • У Данила і Семена був велосипед, на якому вони вирушили до сусіднього села. їхали вони по черзі, проте кожного разу, коли один їхав, інший ішов пішки, а не біг. При цьому вони примудрилися прибути до села майже вдвічі швидше, ніж коли б обидва йшли пішки. Як це їм вдалося?

■ Розв'язання. Данило проїхав на велосипеді пів відстані, зліз із нього і далі пішов пішки. А Семен першу половину відстані пройшов пішки, дістався велосипеда, сів на нього й поїхав. Таким чином вони зберегли час.

140 • Трос туристів повинні перебратися з одного берега річки на інший. У їхньому розпорядженні є човен, який може витримати навантаження у 100 кг. Маса одного з туристів 45 кг, другого — 50 кг, третього — 80 кг. Як вони мають діяти, щоб перебратися на другий берег?

■ Розв'язання. Туристи мають діяти так:

1) два з меншою масою сідають у човен і переправляються на протилежний берег;

2) один із них приганяє човен назад;

3) найважчий турист сідає в човен і переправляється;

4) другий легкий сідає в човен і повертає його до протилежного берега (назад);

5) два легких сідають у човен і остаточно переправляються на потрібний їм берег.

141 • Данило і Семен вирішили влаштувати змагання з бігу. Семен усю дистанцію біг з однією й тією самою швидкістю, а Данило першу половину відстані біг удвічі швидше, ніж Семен, а другу половину — удвічі повільніше, ніж Семен. Хто переміг?

■ Розв'язання. На другу половину дистанції Данило витратив стільки ж часу, скільки Семен на всю дистанцію. Але ж певна кількість часу у Данила пішла й на першу половину шляху. Тож переміг Семен.

■ Відповідь: Семен.