Методика навчання математики: теорія і практика - Л.В. Коваль, С.О. Скворцова 2011

Тема 5. Методика навчання додавання та віднімання багатоцифрових чисел
Теоретичний блок
Змістовий модуль 6. Методика навчання арифметичних дій (додавання та віднімання) та формування обчислювальних умінь і навичок

Більшість з методистів вважає, що вивчення теми «Додавання та віднімання багатоцифрових чисел» доцільно розпочинати з упорядкування та узагальнення теоретичних відомостей про дії додавання та віднімання. Таким чином здійснюватиметься перспективна підготовка учнів до навчання в наступному — 5 класі, в якому основним змістовим компонентом є теоретичний матеріал. Назвемо основні теоретичні питання в такому порядку, в якому вони розглядаються перед вивченням теми «Додавання та віднімання багатоцифрових чисел».

1. Узагальнення знань про конкретний зміст дії додавання та віднімання: назви компонентів та результатів дій додавання та віднімання, взаємозв'язок додавання та віднімання, правила знаходження невідомого компоненту.

2. Закони додавання: переставний — а + b = b + а; сполучний — (а + b) + с = а + (b + с).

3. Властивості дії додавання (а + 0 = 0 + а = а), дії віднімання (а - 0 = а; а - а = 0).

4. Правила додавання (віднімання) суми до (від) числа, додавання (віднімання) числа до (від) суми.

Зазначимо, що за методичною системою Л.П. Кочиної всі випадки додавання й віднімання відпрацьовувались у межах 100 і 1000 у наступному порядку: спочатку випадки без переходу через десяток, а потім з переходом; спочатку усно, потім письмово. Але таку послідовність додавання та віднімання в межах багатоцифрових чисел цими авторами змінено. Діти поступово ознайомлюються з додаванням одноцифрового числа до багатоцифрового і відніманням одноцифрового числа від багатоцифрового, причому одночасно вводяться усні й письмові прийоми з переходом і без переходу через десяток. Потім розглядаються такі ж випадки, але вже додають або віднімають двоцифрові числа, а далі трицифрові і т. п. Така методика дає можливість сконцентрувати увагу дітей на важливості аналізу виразу, на кількості розрядів у числах, над якими виконуються дії, підкреслити прийом порозрядного додавання чи віднімання.

Розкриємо детально порядок формування обчислювальних умінь та навичок у межах багатоцифрових чисел, які розкриваються за методичною системою Л.П. Кочиної.

1. Додавання до багатоцифрового числа одноцифрового і віднімання від багатоцифрового числа одноцифрового.

2. Додавання до багатоцифрового числа двоцифрового і віднімання від багатоцифрового числа двоцифрового.

3. Додавання до багатоцифрового числа трицифрового і віднімання від багатоцифрового числа трицифрового.

4. Додавання до багатоцифрового числа чотирицифрового і віднімання від багатоцифрового числа чотирицифрового.

5. Додавання до багатоцифрового числа п'ятицифрового і віднімання від багатоцифрового числа п'ятицифрового.

Під час письмових обчислень учитель має пильно стежити за вміннями учнів обчислювати різноманітні види випадків додавання та віднімання. Додавання:

1) без переходу у сусідній розряд (62514 + 32345);

2) одиниці одного із розрядів при додаванні дають число, яке дорівнює або більше 10 (48646 + 21234; 448652 + 21263);

3) одиниці двох або більше розрядів при додаванні дають число, яке дорівнює або більше 10 (4656 + 21264, 284746 + 321 62);

4) числа з нулями всередині і на кінці (13247 + 4508, 490025 + 409970);

5) другий або третій доданок має більше чи менше розрядів, для того, щоб діти щоразу визначали правильне розташування розрядів у стовпчиках.

Віднімання:

1) без роздроблення (94546 - 32415);

2) роздроблення одиниць одного розряду (48646 - 21363, 48646 - 21329);

3) роздроблення одиниць кількох розрядів (48646 -21729, 48646 - 23987);

4) числа з нулями на різних місцях і т. п. (57000 - 39006, 234002 - 25131);

5) випадки, в яких зменшуване і від'ємник мають різну кількість цифр.

Запропонований підхід до вивчення дій додавання та віднімання багатоцифрових чисел є новим у методиці викладання математики в початкових класах і характеризується певними позитивними рисами. Назвемо окремі з них.

1) Така система подачі обчислювальних випадків є новою для дітей, вона не повторює системи вивчення дій із трицифровими числами в 3-му класі. Це має сприяти підвищенню інтересу до навчання.

2) Паралельне вивчення дій додавання й віднімання сприятиме вихованню в дітей оперативності в міркуваннях. Діти мають швидко переключатися від однієї дії до другої і при цьому щоразу швидко пригадувати властивості та особливості виконання дій і на цій основі виконувати їх швидко й правильно.

3) Одночасний розгляд усних і письмових способів обчислення потребує від дітей використання правила раціональності обчислень (якщо приклад для усного обчислення для мене важкий, я застосовую письмовий). Міркуючи, дитина здійснює самоаналіз та самоконтроль власних навчальних умінь.

4) Така система вивчення дій додавання і віднімання багатоцифрових чисел є логічною, вона будується за дидактичним принципом від важкого до складного. Цю логіку сприймає як педагог, так і учень. Учень відчуває поступове ускладнення, він стає більш уважним до тих виразів, які починає обчислювати. Отже, ця система має для дитини як навчальний зміст (навчитися обчислювати значення різних виразів), так і розвивальний (треба бути уважним, спостережливим, щоб застосувати найраціональніші дії під час обчислення).

5) Така система організації теми дозволяє раціонально використати навчальний час. Як бачимо, достатньо 5-6-ти уроків для розгляду різних випадків обчислення на додавання й віднімання багатоцифрових чисел. Ефективне використання навчального часу дає змогу виділити окремі уроки для вивчення іншого, не менш важливого математичного змісту.

Розкриємо особливості реалізації ще одного з методичних підходів, який можна обирати під час ознайомлення учнів з додаванням і відніманням багатоцифрових чисел.

При вивченні додавання і віднімання багатоцифрових чисел продовжується формування навичок усних обчислень. До усних обчислень у межах багатоцифрових чисел відносяться випадки додавання і віднімання на підставі десяткового складу числа:

35000 + 900 = 35900

35900 - 900 = 35000

35900 - 35000 = 900

а також випадки, які призводяться до обчислень у межах 100 та 1000 на підставі укрупнення розрядних одиниць:

72000 + 800 = 720 сот. + 8 сот. = 728 сот. = 72800

3000 - 1800 = 30 сот. - 18 сот. = 12 сот. = 1200

У концентрі «Багатоцифрові числа» паралельно з усними обчисленнями продовжується робота по формуванню навичок письмового додавання і віднімання.

Письмове додавання і віднімання спирається на знання нумерації багатоцифрових чисел (читання і запис, знання їх класного і розрядного складу, співвідношення розрядних одиниць), а також на уміння виконувати письмове додавання і віднімання чисел у межах 1000. Тому вправи, що актуалізують ці знання, можуть служити підготовкою перед ознайомленням з письмовим прийомом додавання і віднімання багатоцифрових чисел.

При ознайомленні з письмовим додаванням багатоцифрових чисел можна застосовувати аналогію. Наприклад, учні коментують розв'язання:

Далі їм пропонуються випадки додавання чотирицифрових чисел, потім п'ятицифрових і шестицифрових чисел. Порівнюючи кожний наступний випадок додавання з попереднім, з'ясовуємо, що лишилося додати тільки одиниці вищого розряду.

На підставі міркування за аналогією учні роблять висновок, що чотирицифрові числа додаються так само, як і трицифрові. Аналогічно робляться висновки про додавання п'яти- і шестицифрових чисел. У такий же спосіб діти ознайомлюються з відніманням багатоцифрових чисел.

Після розв'язування завдань учні дістають висновку, що письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел здійснюється так само, як додавання і віднімання трицифрових чисел.

Письмове додавання та віднімання

1. Підписую числа стовпчиком: розряд під відповідним розрядом.

2. Виконую додавання/віднімання порозрядно, починаючи з нижчого розряду (справа наліво).

Письмове додавання і віднімання вивчається паралельно, що дозволяє актуалізувати взаємозв'язок цих дій і виконувати перевірку правильності розв'язання, а також зберігає час на опрацювання кожного вміння, розвиває гнучкість мислення, тому що майже одночасно учні виконують взаємно обернені дії.

З метою засвоєння алгоритму письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел учням пропонуються такі числа, які містять як однакове число знаків, так і різне.

Труднощі являють випадки віднімання, коли в запису зменшуваного є кілька нулів підряд. Тому пояснення повинно бути ґрунтовним і детальним. На етапі підготовчої роботи слід повторити особливості десяткової системи числення, співвідношення між розрядними одиницями. Діти мають добре знати, що кожна одиниця старшого розряду містить 10 одиниць сусіднього, нижчого розряду. Також треба актуалізувати випадки віднімання 1 на підставі нумерації чисел. 10000 - 1: 10000 - це 9тис.9сот.9дес.10од.; 9тис.9сот.9дес.10од. - 1од. = 9тис.9сот.9дес.9од. = 9999.

Наприклад:

Починаємо віднімання з розряду одиниць, але з 0 не можна відняти 2. Треба позичити 1 десяток. В розряді десятків стоїть 0, тому треба позичити 1 сотню. 1сот. = 10 дес.

Тепер можемо позичити 1 десяток. 1 десяток роздробляємо в одиниці: 1 дес. = 10 од., 10 од. - 2 од. = 8 од. - пишемо в розряді одиниць. Переходимо до віднімання десятків: було 10 десятків, позичили 1 десяток, залишилося 9 десятків. 9 дес. - 3 дес. = 6 дес. - пишемо в розряді десятків. Переходимо до сотень: було 7 сотень, позичили 1 сотню, залишилося 6 сотень. Пишемо під сотнями цифру 6, а цифру 4 - під тисячами.

Далі розглядаються прийоми додавання трьох і більше доданків. Учитель пропонує додати три числа: 3408 + 237569 + 18440.

Учні можуть обчислити цю суму таким чином: додати перші два доданки і до отриманого результату додати третє число. Учитель звертає увагу учнів на те, як вони знаходили суми чисел (письмово - у стовпчик), і запитує, чи не можна письмовий прийом додавання застосувати відразу для трьох доданків. Далі з'ясовується, яке число зручно записати першим, другим, третім.

Звертаємо увагу, що при такому записі знак «+» пишеться тільки один раз. Учні виконують додавання цим способом і порівнюють відповідь з відповіддю, отриманою раніше.

Треба зазначити, що віднімання трьох чисел аналогічним чином виконувати не можна - це одна з імовірних помилок учнів.

Додавання та віднімання іменованих чисел

Поряд з додаванням і відніманням багатоцифрових чисел учням пропонується виконати додавання та віднімання іменованих чисел (величин). Якщо іменовані числа записуються з назвою лише однієї одиниці вимірювання, це просте іменоване число, наприклад 345 г. Якщо іменоване число записується за допомогою кількох одиниць вимірювання, то це складене іменоване число, наприклад 4 ц 67 кг.

Наприклад: 53 м 08 см - 9 м 37 см = 43 м 71 см.

Існують два способи обчислення. Розглянемо перший спосіб.

1) обидва числа подають у дрібних одиницях вимірювання - записують у вигляді простих іменованих чисел;

2) виконують арифметичну дію з простими іменованими числами, як із звичайними натуральними числами;

3) в отриманому результаті виділяють крупну одиницю вимірювання і записують складене іменоване число.

За другим способом обчислення виконуються із складеними іменованими числами:

1) підписують іменовані числа так, щоб числа одних найменувань були одне під одним;

2) виконують дії з числами, поданими в дрібних одиницях вимірювання;

3) виконують дії з числами, поданими в крупних одиницях вимірювання.

З 8 см не можна відняти 37 см, тому позичаємо 1 м та роздрібнюємо його в сантиметри: 1 м = 100 см та ще 8 см, маємо

Аналогічно виконують додавання і віднімання з іменованими числами, поданими в одиницях вимірювання маси, вартості, часу.

Наприклад, треба знайти суму та різницю чисел 14 ц 70 кг та 9 ц 09 кг

Знайти суму та різницю чисел 19 грн 73 к та 6 грн 89 к

Таким чином, розглянуто методику вивчення арифметичних дій додавання та віднімання за різними концентрами, визначено зміст обчислювальних прийомів та подано методику формування обчислювальних навичок. Також приділено увагу способам додавання та віднімання іменованих чисел.

Питання для самоконтролю

1. Розкрийте процес первинного ознайомлення учнів з діями додавання та віднімання за обраним методичним підходом. Сконцентруйте увагу навколо формування конкретного змісту арифметичних дій додавання та віднімання.

2. Розкрийте методику вивчення теми «Додавання та віднімання в межах 10» за різними методичними підходами. Відповідь побудуйте за планом: 1) прийоми обчислення в межах 10; 2) методика формування обчислювальних навичок; 3) складання та аналіз таблиць.

3. Прокоментуйте, яку наочність доцільно використовувати на уроках під час ознайомлення з діями додавання та віднімання. На конкретних прикладах розкрийте, як вона сприяє засвоєнню основних математичних понять.

4. Якому з методичних підходів до вивчення теми «Табличного додавання та віднімання з переходом через десяток» Ви надаєте перевагу?

5. Назвіть основні відмінності різних методичних підходів до вивчення теми «Додавання та віднімання двоцифрових чисел».

6. Порівняйте особливості вивчення тем «Додавання та віднімання двоцифрових чисел» та «Додавання та віднімання в межах 1000» за різними методичними системами.

7. Назвіть основні переваги методичного підходу Л.П.Кочиної до вивчення теми «Додавання та віднімання багатоцифрових чисел».