Методика навчання математики: теорія і практика - Л.В. Коваль, С.О. Скворцова 2011

Тема 3. Методика навчання додавання та віднімання двоцифрових чисел
Теоретичний блок
Змістовий модуль 6. Методика навчання арифметичних дій (додавання та віднімання) та формування обчислювальних умінь і навичок

Тема "Додавання та віднімання двоцифрових чисел у межах 100" опрацьовується через ознайомлення учнів з питаннями: усне додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток; усне додавання та віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток; письмове додавання та віднімання двоцифрових чисел.

Виокремлення усних і письмових обчислень пояснюється тим, що вони ґрунтуються на різних теоретичних основах. Письмові обчислення відрізняються від усних алгоритмами. Усні обчислення починаються з одиниць вищого розряду і записуються в рядок, а письмові обчислення починаються з нижчого розряду і записуються у стовпчик. Додавання та віднімання у стовпчик проводиться над кожним розрядом окремо і зводиться до додавання і віднімання в межах 20. Свідоме засвоєння письмових прийомів додавання та віднімання двоцифрових чисел є запорукою успішного використання їх для будь-яких чисел.

Під час вивчення додавання та віднімання двоцифрових чисел головним є зосередження уваги на способах виконання цих дій.

Аналіз способів додавання та віднімання чисел в межах 100 свідчить, що для їх свідомого виконання учні мають добре знати нумерацію чисел у межах 100, таблиці додавання одноцифрових чисел і відповідні випадки віднімання та засвоїти правила, які є наслідком з основних властивостей дій додавання і віднімання: додавання числа до суми, віднімання числа від суми, додавання суми до числа і віднімання від числа суми, додавання суми до суми, віднімання суми від суми, віднімання різниці від числа.

У таблиці показано, як групуються способи обчислення відповідно до названих правил.

Треба зазначити, що останні два випадки, наведені в таблиці, мають ще й іншу теоретичну основу - знання зміни суми в залежності від зміни одного з доданків та зміни різниці в залежності від зміни від'ємника. На цих теоретичних засадах здійснюється спосіб округлення.

Крім того, визначені правила здебільшого вводяться на пропедевтичному рівні: їх засвоєння всіма учнями не є обов'язковим.

Із аналізу способів обчислення видно, що всі вони зводяться до заміни одного або двох компонентів дій сумою таких двох доданків, над якими зручно виконувати обчислювальні дії. Такими доданками найчастіше є розрядні доданки. Але, як бачимо, в деяких розв'язаннях більш доцільним є розкладання числа на так звані "зручні" доданки.

З таблиці видно, що значення одного й того самого виразу можна обчислити різними способами. Пропонуючи учням виконати розв'язання різними способами, розвиваємо в них варіативність мислення, формуємо такі властивості обчислювальних навичок, як усвідомленість, раціональність тощо. Крім того, одержання однакового результату в обчисленнях різними способами непрямо свідчить про правильність відповіді.

Отже, ми розкрили загальні теоретичні положення до вивчення теми "Додавання і віднімання двоцифрових чисел у межах 100".

Відносно методичних підходів, то їх основні відмінності, передусім полягають у послідовності опрацювання основних питань теми. Наприклад, за методичною системою Л.П. Кочиної розглядається така послідовність: усне додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток; усне додавання та віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток; письмове додавання та віднімання двоцифрових чисел. На відміну від Л.П. Кочиної, М.В. Богданович пропонує письмовий прийом після вивчення усного додавання та віднімання без переходу через десяток; а усне обчислення з переходом через десяток дає після вивчення письмового прийому.

Власну послідовність розгляду усних та письмових прийомів Л.П. Кочина пояснює тим, що в більшості дітей на даний період уже добре сформовані обчислювальні навички, тому немає потреби відводити багато часу на розгляд письмових обчислень. За такого підходу створюються умови систематичного порівняння обох способів обчислення і формування в учнів уміння орієнтуватися в конкретній ситуації: "вибираю той спосіб обчислення, який для мене зручніший". З цією метою учням пропонуються завдання такого характеру: "За власним вибором розв'яжіть приклади в стовпчик. Решту прикладів розв'яжіть усно, записуючи лише відповіді".

Ще один доказ на користь цього підходу полягає в тому, що якщо не навчити дітей прийомам усного додавання та віднімання з переходом через розряд (які, до речі, є досить важкими), а познайомити їх відразу з письмовим прийомом, то створяться умови, коли діти, навіть звертаючись до хитрощів, не будуть лічити усно, а лише у стовпчик!

Тим часом, М.В. Богданович обґрунтовує введення письмового прийому перед вивченням усного додавання і віднімання з переходом через розряд тим, що спочатку треба познайомити учнів з письмовими обчисленнями як найбільш легкими, а потім з усними - як найбільш складними. У подальшому письмові обчислення використовуються для перевірки усних.

Слід зазначити, що це не є істотним аргументом для вивчення додавання і віднімання в такій послідовності, оскільки дії додавання та віднімання є взаємо оберненими і існує прямий спосіб їх перевірки: правильність додавання перевіряється відніманням, а правильність віднімання можна перевірити додаванням; якщо при цьому одержуємо інший результат, ніж очікувано, то робимо висновок про те, що значення виразу знайдено неправильно.

Порівняння різних підходів до опрацювання теми «Додавання і віднімання двоцифрових чисел у межах 100" дозволяють виокремити основні їх відмінності.

Перша відмінність методичних підходів Л.П. Кочиної та М.В. Богдановича, передбачає різний порядок опрацювання усних та письмових прийомів додавання двоцифрових чисел. Друга відмінність полягає в тому, що за системою Л.П. Кочиної, методика вивчення додавання і віднімання двоцифрових чисел розглядається на основі одночасного опрацювання взаємно обернених дій (додавання і віднімання), а за системою М.В. Богдановича - на основі послідовного вивчення, тобто спочатку вивчається додавання, а потім віднімання. Третя відмінність пов'язується з послідовністю вивчення загальних і часткових випадків додавання і віднімання двоцифрових чисел. Перший методичний підхід Л.П. Кочиної полягає у вивченні спочатку часткових випадків додавання і віднімання двоцифрових чисел, а потім пропонується загальний випадок; за другим, який розкриває М.В. Богданович - учні відразу знайомляться з загальним випадком додавання та віднімання двоцифрових чисел (кожне з них містить і десятки, і одиниці) способом порозрядного обчислення, а потім з частковими випадками. Для віднімання з переходом через десяток автори двох методичних систем дотримуються одного й того ж погляду.

За методичним підходом Л.П. Кочиної додавання і віднімання двоцифрових чисел вивчається в такому порядку: 1) випадки додавання та віднімання виду: 45 + 2, 45 + 20, 45 - 2, 45 -20; 2) випадки додавання виду: 56 + 4; 3) додавання та віднімання виду 34 + 52 і 76 - 44 (по частинах); 4) додавання та віднімання виду 34 + 52 і 76 - 44 (порозрядно).

На думку М.В. Богдановича спочатку доцільно розглядати загальні випадки додавання і віднімання двоцифрових чисел, а потім часткові.

Розглянемо більш докладно опрацювання теми "Додавання та віднімання двоцифрових чисел у межах 100", оскільки такий методичний підхід відповідає вимогам Державного стандарту початкової загальної освіти та нової навчальної програми для учнів початкової школи.

Усне додавання та віднімання без переходу через десяток

Додавання (віднімання) одноцифрового числа до (від) двоцифрового без переходу через розряд. Ознайомлення з такими випадками здійснюється на підставі практичних вправ із намистинками або розгляду малюнків, за якими складають рівності.

Коментар до першого малюнка: було 6 одиниць, приєднали - додали ще 3 одиниці, стало 9 одиниць: 6 + 3 = 9.

Коментар до другого малюнка: було 16 - це 1 десяток і 6 одиниць; до 16 додали 3; 3 одиниці приєднали - додали до 6 одиниць, одержали 9 одиниць; отже, маємо 1 десяток і 9 одиниць -це число 19: 16 + 3 = 19... У результаті аналогічних вправ учні дістають висновку: одиниці додають до одиниць!

Виконуємо розгорнений запис:

Перший доданок - число 15 - подаємо у вигляді суми розрядних доданків: 15 = 10 + 5; до суми 10 і 5 треба додати 4; додаємо 4 одиниці до 5 одиниць: 5 + 4 = 9; до 10 додаємо одержане число 9: 10 + 9 = 19...

Аналогічно розглядається віднімання. За допомогою практичних дій з намистинами або розгляду малюнків діти переконуються, що одиниці віднімають з одиниць.

Зменшуване 17 подаємо у вигляді суми розрядних доданків 10 і 7; будемо від суми 10 і 7 віднімати число 4; 4 одиниці віднімаємо з 7 одиниць, буде 3; до числа 10 додаємо результат віднімання одиниць - число 3, одержимо 13.

У результаті аналізу власної діяльності школярі формулюють ООД (орієнтувальну основу дії):

Додавання/Віднімання одноцифрового числа до/від двоцифрового без переходу через розряд

1) Двоцифрове число замінюю сумою десятків та одиниць;

2) Додаю/Віднімаю одиниці до/від одиниць.

3) До десятків додаю одержаний результат.

Додавання (віднімання) круглого числа до (від) двоцифрового. Ознайомлення з новим способом дії здійснюється аналогічно. Проілюструємо його на прикладі віднімання.

- Яке число позначено намистинками? (84). Скільки в ньому десятків? (8 десятків.) Скільки одиниць? (4 одиниці.) Віднімемо 5 десятків або 50. З 8 десятків віднімемо 5 десятків. Одержимо 3 десятки та ще 4 одиниці. Складаємо рівність: 84 - 50 = 34. Дістаємо висновку: десятки віднімають з десятків!

Виконуємо розгорнений запис:

Двоцифрове зменшуване 57подаємо у вигляді розрядних доданків 50 і 7; з цієї суми будемо віднімати число 40; десятки віднімаємо з десятків: 50 - 40 = 10; до одержаного результату 10 додаємо 7 одиниць, буде 17.

У результаті аналізу власної діяльності школярі формулюють ООД:

Додавання/Віднімання круглого числа до/від двоцифрового

1) Двоцифрове число замінюю сумою десятків та одиниць.

2) Додаю/Віднімаю десятки до/від десятків.

3) До одержаного результату додаю одиниці.

Ознайомлення із способом порозрядного додавання двоцифрових чисел без переходу через розряд. Пояснюємо міркування за малюнком:

Перший доданок число - 51, це 5 десятків та 1 одиниця; другий доданок - число 17, це 1 десяток і 7 одиниць. Десятки додаємо до десятків (5 д. + 1 д. = 6 д.); одиниці додаємо до одиниць (1 + 7 = 8). Одержали число, що містить 6 десятків і 8 одиниць - це число 68.

Таким чином, діти дістають висновку: при додаванні двоцифрових чисел десятки додають до десятків, а одиниці додають до одиниць. Отже, виконуємо дії окремо з десятками і окремо з одиницями - порозрядно, тому цей спосіб називається способом порозрядного додавання.

Ознайомлюємо учнів із способом порозрядного віднімання двоцифрових чисел без переходу через розряд, ставлячи проблемне запитання: Чи можна так само міркувати при відніманні двоцифрових чисел?

Зменшуване - число 75, це 7 десятків та 5 одиниць, від'ємник - 43, це 4 десятки та 3 одиниці. Десятки віднімаємо з десятків (7 д. - 4 д. = 3 д.), а одиниці віднімаємо з одиниць (5 - 3 = 2); одержали число, яке містить 3 десятки і 2 одиниці - це число 32.

Таким чином, дістаємо висновку: при відніманні двоцифрових чисел десятки віднімають з десятків, а одиниці віднімають з одиниць. Отже, виконуємо дії окремо з десятками і окремо з одиницями - порозрядно, тому цей спосіб називається способом порозрядного віднімання.

У результаті аналізу власної діяльності школярі формулюють ООД:

Додавання та віднімання двоцифрових чисел

1. Замінюю кожне число сумою десятків і одиниць.

2. Додаю/Віднімаю десятки.

3. Додаю/Віднімаю одиниці.

4. Додаю одержані числа.

Наприклад:

Додавання та віднімання по частинах. Ознайомлення із способом додавання і віднімання по частинах для двоцифрових чисел здійснюється під час порівняння пар записів:

34 + 10 + 2 = 44 + 2 = 46   47 – 20 – 4 = 27 – 4 = 23   25 + 50 + 3 = 75 + 3 = 78

34 + 12      47 – 24       25 + 53

Обчислюємо значення першого виразу і встановлюємо, що воно може допомогти обчислити значення другого виразу. Аналізуючи виконувані дії, встановлюємо, як можна міркувати при додаванні і відніманні двоцифрових чисел, формулюємо ООД:

Додавання та віднімання двоцифрових чисел по частинах другий доданок

1. Замінюю другий доданок/від’ємник сумою десятків і одиниць.

2. Додаю/Віднімаю десятки.

3. Додаю/Віднімаю одиниці.

Наприклад: 

Корисно порівняти способи порозрядного додавання та віднімання зі способами обчислення по частинах.

При порозрядному обчисленні ми кожне число замінюємо сумою розрядних доданків, а при обчисленні по частинах замінюємо лише другий доданок або від'ємник сумою розрядних доданків.

На наступному етапі вводяться випадки додавання, коли сума одиниць дає число 10, та випадки віднімання з круглих десятків одноцифрового числа.

Ознайомлення з новим випадком додавання здійснюється за допомогою перенесення способу розв'язання відомого дітям випадку в нову ситуацію:

Учні встановлюють, що змінився другий доданок; це вплинуло на те, що при додаванні одиниць до одиниць одержали число 10.

Теоретичною підставою розв'язання в обох випадках є правило додавання числа до суми. Тому це один і той же спосіб міркування.

Аналогічно вводимо новий випадок віднімання.

Учні встановлюють, що змінилося зменшуване. Це вплине на те, що його слід записати не сумою десятків та одиниць, а сумою зручних доданків, яка містить число 10, тому що з 10 відніматимемо від'ємник 8. 8 віднімаємо з 10 і одержаний результат додаємо до іншого доданка.

Усне додавання та віднімання з переходом через розряд

Логіка подання навчального матеріалу така сама, як і у випадках без переходу через десяток. Спочатку розглядаються часткові випадки додавання та віднімання: 1) додавання та віднімання одноцифрового числа з переходом через десяток; 2) додавання та віднімання круглого числа з переходом через десяток) і лише потім - загальний випадок (додавання і віднімання двоцифрових чисел з переходом через розряд). У межах певних випадків обчислення застосовуються різні способи обчислення.

Додавання та віднімання одноцифрового числа з переходом через розряд.

Прийом на підставі правила додавання числа до суми та правила віднімання числа із суми. Ознайомлення здійснюється на підставі перенесення відомого способу міркування в нову ситуацію.

Учні встановлюють, що змінився другий доданок. Це вплинуло на те, що при додаванні одиниць до одиниць одержали число більше за 10 - 11. Тому наступним кроком треба додавати не круглі числа, а круглі десятки та двоцифрове число.

Спосіб міркування в обох випадках однаковий: двоцифровий доданок подають у вигляді суми десятків та одиниць, другий доданок додають до одиниць і отриманий результат додають до десятків. Теоретичною підставою розв'язання є правило додавання числа до суми. Але цей випадок відрізняється від попередніх тим, що в результаті додавання одиниць одержали число більше за 10, тому відбувається перехід через десяток.

Аналогічно відбувається ознайомлення з відніманням одноцифрового числа з переходом через розряд.

У попередньому випадку зменшуване подали у вигляді суми зручних доданків, один з яких 10, і з 10-ти віднімали від'ємник. У цьому випадку від'ємник також подаємо у вигляді суми зручних доданків: 53 = 40 + 13.

З 13 будемо віднімати 8, отримаємо 5; додамо 5 до першого доданка 40, буде 45.

Можна узагальнити спосіб розв'язування розглянутих випадків віднімання, оскільки він базується на правилі віднімання числа від суми, і визначити ООД цього прийому обчислення:

Віднімання одноцифрового числа з двоцифрового з переходом через десяток

1. Подаю двоцифрове зменшуване у вигляді суми зручних доданків (другий доданок: 10 + одиниці зменшуваного).

2. Віднімаю від'ємник з другого доданка.

3. Додаю перший доданок до отриманої різниці.

4. Записую (читаю) відповідь.

З метою розвитку варіативності мислення дітей, можна перенести прийом обчислення по частинах на нові випадки додавання та віднімання. Актуалізуємо спосіб обчислення по частинах у випадках додавання та віднімання з переходом через десяток у межах 20 (12-5 та 7+4). Ставимо проблемне запитання: «Чи можна при обчисленні значень виразів: 72-5 та 67+4 міркувати так само?»

Від'ємник (другий доданок) замінюємо сумою зручних доданків; зменшуємо (доповнюємо) двоцифрове число до круглого; віднімаємо (додаємо) від (до) круглого числа решту одиниць. Отже, спосіб міркування однаковий - на підставі правил віднімання суми з числа або додавання суми до числа.

Далі можна перенести спосіб округлення на ці випадки додавання і віднімання. Зауважуємо, якщо число закінчується цифрою 5, або 6, або 7, або 8, або 9, то його можна замінити близьким круглим числом. Актуалізуємо спосіб округлення для випадків додавання та віднімання з переходом через десяток в межах 20 та переносимо його в нову ситуацію. Наприклад, чи можна міркувати так само?

Незважаючи на те, що перший доданок тут двоцифрове число, спосіб міркування такий самий, як і в попередньому випадку; його теоретична основа - знання зміни суми в залежності від зміни одного доданка та знання зміни різниці в залежності від зміни від'ємника.

Додавання та віднімання двоцифрових чисел. Спосіб обчислення по частинах. Цей спосіб було введено ще в межах 10-ти, перенесено на випадки обчислення в межах 20-ти та застосовано при додаванні (відніманні) одноцифрового числа до (із) двоцифрового. Тому можна вважати, що він найкраще засвоєний учнями, ніж решта способів. Виходячи з цього, саме цей спосіб будемо розглядати першим.

Перенести спосіб додавання по частинах на випадки додавання двоцифрових чисел можна за допомогою співставлення нового випадку обчислення із вже відомими дітям.

З'ясовуємо, чим відрізняється третій випадок обчислення від розглянутих двох (на відміну від двох попередніх, в ньому другий доданок двоцифрове число; він складається із 2 десятків та 6 одиниць). Визначаємо вплив цієї зміни на розв'язання: число 26 замінимо сумою зручних доданків, один з яких число 3, тому що воно доповнює 37 до найближчого круглого числа, а другий доданок - двоцифрове число 23.

Так само, як і у попередніх випадках, ми доповнюємо перший доданок до круглого числа, а далі до нього додаємо інший доданок. Існує можливість узагальнити спосіб додавання по частинах для всіх розглянутих випадків.

Аналогічно ознайомлюємо учнів із способом віднімання по частинах.

Так само, як і при розв'язанні перших двох завдань, від'ємник подаємо у вигляді суми зручних доданків так, щоб зменшити 42 до круглого числа. Але, на відміну від попередніх випадків, тепер від'ємник двоцифрове число 25, і тому, зменшуючи 42 до круглого, треба відняти якнайбільше. Тому від'ємник 25 подамо у вигляді суми зручних доданків: 25 = 22 + 3. І так само, як і в перших двох розв'язаннях, спочатку зменшуване зменшимо до круглого числа, а потім від круглого числа віднімемо решту одиниць.

Спосіб обчислення той самий, заснований на правилі віднімання суми з числа, тому є сенс його узагальнити для розглянутих випадків.

Додавання і віднімання по частинах можна здійснити за допомогою подання другого доданка або від'ємника сумою зручних доданків або розрядних доданків.

Додавання/Віднімання по частинах (на підставі правила додавання суми до числа або правила віднімання суми від числа)

1) Подаю другий доданок/від'ємник сумою розрядних або зручних доданків.

2) Додаю/Віднімаю один доданок.

3) Додаю/Віднімаю до/із одержаного результату інший доданок.

Треба зазначити, що при додаванні по частинах ми другий доданок замінюємо сумою і подальші міркування здійснюються за правилом додавання суми до числа. Однак можна замінити сумою й перший доданок. Тоді подальші міркування здійснюються за правилом додавання числа до суми. Таким чином, переносимо відомий дітям спосіб міркування на підставі правила додавання числа до суми (для випадку 36 - 7) у нову ситуацію.

Аналогічно можна розглянути віднімання з переходом через десяток на підставі правила віднімання числа із суми.

Додавання/Віднімання на підставі правила додавання числа до суми (або правила віднімання числа від суми)

1) Подаю перший доданок/зменшуване сумою розрядних або зручних доданків.

ДоДаю До

2) Додаю до/Віднімаю із одного доданка число.

3) Додаю до одержаного результату інший доданок.

Порозрядне додавання і віднімання двоцифрових чисел з переходом через розряд.

Ознайомлення можна здійснити за допомогою співставлення випадку додавання двоцифрових чисел без переходу через десяток та з переходом через нього.

Учні обчислюють значення першого виразу, замінивши кожний доданок сумою десятків та одиниць; окремо виконавши дію додавання з десятками та окремо з одиницями, додають одержані результати.

Учитель формулює проблемне запитання: «Чи можна при обчисленні значення другого виразу міркувати так само?».

Існує можливість узагальнити спосіб порозрядного додавання для випадків додавання двоцифрових чисел як без переходу, так і з переходом через розряд.

Прийом порозрядного додавання

1. Подаю перший доданок у вигляді суми десятків і одиниць.

2. Подаю другий доданок у вигляді суми десятків та одиниць.

3. Додаю десятки.

4. Додаю одиниці.

5. Додаю отримані суми.

6. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад: 

Ознайомлення з випадком порозрядного віднімання можна здійснити так само, на підставі порівняння випадків порозрядного віднімання без переходу та з переходом через розряд. Учні дістають висновку, що коли з одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від'ємника, то зменшуване подають у вигляді суми зручних доданків, а далі міркують так само, як і у випадках віднімання без переходу через розряд.

Прийом порозрядного віднімання

1. Перевіряю чи можна з одиниць зменшуваного відняти одиниці від'ємника.

Так   Ні

2. Подаю зменшуване у вигляді суми

розрядних доданків     зручних доданків

(друге з яких 10 + одиниці зменшуваного).

3. Подаю від'ємник у вигляді суми десятків та одиниць.

4. Віднімаю десятки.

5. Віднімаю одиниці.

6. Додаю отримані різниці.

7. Читаю (записую) результат.

Наприклад:

Корисним буде перенесення прийому округлення на випадки додавання та віднімання, що розглядаються. Співствляючи міркування способом округлення при додаванні та відніманні одноцифрового числа з міркуванням при додаванні й відніманні двоцифрових чисел, з'ясовуємо, що вони схожі.

Аналізуючи власну діяльність при додаванні та відніманні способом округлення, можна сформулювати узагальнену ООД.

Спосіб округлення

Якщо один з доданків (від'ємник) закінчується цифрою 6, 7, 8, 9, то

1. Замінюю один з доданків (від'ємник) близьким круглим числом.

2. Додаватиму (відніматиму) кругле число. Дивлюся, на скільки більше додали (відняли)?

3. Віднімаю (додаю) стільки ж одиниць.

4. Записую відповідь.

Учні вчаться знаходити значення сум та різниць різними способами і згодом обирають найбільш привабливий.

Методика навчання письмового додавання та віднімання двоцифрових чисел

При ознайомленні з письмовим додаванням та відніманням треба обґрунтувати необхідність введення нового прийому обчислення. Учням пропонується обчислити суму чисел 37 та 59 порозрядно:

Діти впевнюються в тому, що так міркувати дуже довго і складно, тому вчитель показує новий прийом обчислення -письмовий і іншу форму запису - у стовпчик:

Учні розглядають завдання на додавання стовпчиком у нумераційній таблиці. З'ясовують, як підписані числа. Дізнаються, чому не можна залишити 16 одиниць у розряді одиниць: 16 = 1 д.6 од. Розглядають, як записано результат.

Зазначаємо, що починати додавання з розряду десятків не можна, тому що, можливо, що ще один десяток перейде від одиниць; отже, додавання розпочинають з розряду одиниць.

Таким чином, дістаємо висновку: двоцифрові числа можна додавати стовпчиком. Доданки записують так: одиниці під одиницями, десятки під десятками. Додавання починають з розряду одиниць, при цьому пам'ятаючи, що 10 одиниць складають 1 десяток, потім додають десятки. Наприклад:

Записуємо числа стовпчиком: одиниці під одиницями, десятки під десятками. Додавання починаємо з розряду одиниць: 5 одиниць плюс 8 одиниць, отримаємо 13 од. 13 одиниць - це 1 десяток і 3 одиниці; 3 одиниці пишемо під одиницями, а 1 десяток переходить до десятків; стрілочкою показуємо, що один десяток перейшов до десятків, і, додаючи десятки, його слід врахувати. Додаємо десятки: 6 десятків плюс 2 десятки, отримаємо 8 десятків, та ще 1 десяток перейшов, буде 9 десятків; пишемо 9 під десятками.

Після введення письмового додавання двоцифрових чисел знайомимо учнів з письмовим відніманням. Перед ними ставиться проблемне запитання: «Чи можна так само виконувати віднімання - стовпчиком?». Спочатку можна розглянути випадок віднімання без переходу через розряд. Тут учні переносять спосіб запису чисел стовпчиком і порядок міркування: спочатку віднімають одиниці, а потім - десятки:

Але наступний випадок створює проблемну ситуацію:

Записавши числа стовпчиком одиниці під одиницями, десятки під десятками, учні пробують відняти одиниці, але з 6 одиниць не можна відняти 8 одиниць. Тому позичаємо 1 десяток у десятків (показавши це стрілочкою), і роздроблюємо його в одиниці. 1десяток - це 10 одиниць, і ще є 6 одиниць, всього 16 одиниць. Від 16-ти одиниць віднімаємо 8, маємо 8 одиниць, підписуємо результат під одиницями. Переходимо до десятків: було 3 десятки, позичили 1 десяток, лишилося 2 десятки; 2 десятки мінус 1 десяток, отримаємо 1 десяток; результат запишемо під десятками.

При вивченні письмового додавання і віднімання розглядаються випадки без переходу через розряд, випадки з переходом через розряд, а також випадки додавання, коли сума одиниць дорівнює 10, і віднімання, коли треба із 0 одиниць відняти кілька одиниць:

Додавання та віднімання двоцифрових чисел

Письмовий прийом

1. Підписую числа стовпчиком: одиниці під одиницями, десятки під десятками.

2. Виконувати дії починаю з розряду одиниць. Пам'ятаю, що 10 одиниць складають 1 десяток; 1 десяток роздробляється в 10 одиниць.

3. Виконую дії з десятками.