Нова українська школа: методика навчання математики у 1-2 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2019

2.2.3. Додавання і віднімання в межах 100 без переходу через розряд
2.2. Числа 11-100
Розділ 2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами

З метою подальшого засвоєння розрядного складу двоцифро­вих чисел і вдосконалення навичок табличного додавання та відні­мання без переходу через розряд доцільним є вивчення додавання та віднімання двоцифрових чисел без переходу через розряд.

Відповідно до Типової освітньої програми, цю тему від­несено до додаткових тем курсу математики 1 класу. У чин­них підручниках ця тема вивчається на ознайомчому рівні, без контролю набутих результатів. Включення теми до курсу ма­тематики 1 класу викликано методичною доцільністю і законо­мірностями формування вмінь та навичок, які передбачають, по-перше, розтягнення процесу навчання в часі і, по-друге, безперервне повторення і вдосконалення набутих умінь і нави­чок. Треба зазначити, що, виконуючи арифметичні дії дода­вання і віднімання з двоцифровими числами без переходу через розряд, учні постійно використовують набуті навички додаван­ня і віднімання в межах 10. Під час вивчення додавання і від­німання двоцифрових чисел головним є зосередження уваги на способах виконання цих дій.

Наочні посібники та дидактичний матеріал:

✵ лічильні палички;

✵ кружки-намистинки;

✵ бруски кубиків та окремі кубики;

✵ плакати зі змістом прийомів обчислення;

✵ таблиці із розрізними кишенями — схеми способів обчис­лення.

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДВОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ БЕЗ ПЕРЕХОДУ ЧЕРЕЗ РОЗРЯД

У теорії укрупнення дидактичних одиниць при вивченні математики одним із принципів є одночасне вивчення взаємно обернених дій. Отже, додавання і віднімання доцільно вивчати одночасно і в порівнянні. Це має ряд переваг: по-перше, є можли­вість на одному й тому ж уроці виконати перевірку правильності розв’язання (додавання перевірити відніманням, віднімання — до­даванням); по-друге, одночасне вивчення додавання і віднімання заощаджує час — витрачаються не два уроки, а один урок. Крім того, одночасне виконання взаємно обернених дій розвиває гнуч­кість розуму, варіативність мислення; а також знання, які пропо­нуються у порівнянні, засвоюються швидше і міцніше, довше збе­рігаються в пам’яті. Отже, будемо одночасно розглядати окремі випадки додавання і віднімання.

До вивчення усного додавання і віднімання можливі два підходи: перший полягає у вивченні спочатку часткових випадків додавання і віднімання, а потім пропонується загальний випадок; за другим — учні відразу знайомляться із загальним випадком додавання і віднімання двоцифрових чисел (кожне з них містить і десятки, і одиниці) способом порозрядного додавання, а потім з частковими випадками. Розглянемо перший підхід.

Додавання (віднімання) одноцифрового числа до (від) дво­цифрового без переходу через розряд

Ознайомлення здійснюється на підставі практичних вправ із кружками-намистинками або розгляду малюнків, за якими склада­ють рівності.

Коментар до першого малюнка: було 6 одиниць, приєднали (додали) ще 3 одиниці, стало 9 одиниць: 6 + 3 = 9.

Коментар до другого малюнка: було 16 — це 1 десяток і 6 одиниць; до 16 додали 3; 3 одиниці приєднали (додали) до 6 одиниць, одержали 9 одиниць; отже, маємо 1 десяток і 9 оди­ниць — це число 19: 16 + 3 = 19...

На перших етапах засвоєння дії у результаті аналогічних вправ учні доходять висновку:

Одиниці додають до одиниць.

Виконуємо розгорнений запис розв’язання:

Перший доданок — число 15 — подаємо у вигляді суми роз­рядних доданків: 15 = 10 + 5; до суми 10 і 5 треба додати 4; додає­мо 4 одиниці до 5 одиниць: 5 + 4 = 9; до 10 додаємо одержане чис­ло 9: 10 + 9 = 19...

Аналогічно розглядається віднімання. За допомогою прак­тичних дій із кружками-намистинами або розгляду малюнків учні доходять висновку:

Одиниці віднімають від одиниць.

Наприклад:

Скільки в числі десятків та одиниць? Що віднімаємо? Число якого розряду змінюється? на скільки? Який висновок можна зробити? За малюнками складіть рівності.

Коментар до першого малюнка: було 8 одиниць, 5 одиниць вилучили (відняли), залишилось 3 одиниці: 8-5 = 3.

Коментар до другого малюнка: було 18 — це 1 десяток та 8 одиниць; з 8 одиниць вилучили 5 одиниць, залишилося 3 одини­ці; отже, маємо 1 десяток та 3 одиниці — 13: 18-5 = 13.

Від практичних дій переходимо до їх коментування та ви­конуємо розгорнений запис розв’язання:

Зменшуване 17 подаємо у вигляді суми розрядних доданків: 10 і 7; будемо від суми 10 і 7 віднімати число 4; 4 одиниці відні­маємо від 7 одиниць, буде 3; до числа 10 додаємо результат відні­мання одиниць — число 3, одержимо 13.

У результаті аналізу власної діяльності школярі формулю­ють ООД (орієнтувальну основу дії):

Додавання/Віднімання одноцифрового числа до/від двоцифрового без переходу через розряд

1) Двоцифрове число замінюю сумою десятків та одиниць.

2) Додаю/Віднімаю одиниці до/від одиниць.

3) До десятків додаю одержаний результат.

На етапі закріплення розглянутого способу обчислення до­цільним буде запропонувати для обчислення значень пар виразів типу: 4 + 3, 14 + 3, 54 + 3; 7 - 4, 17 - 4, 67 - 4...

Додавання (віднімання) круглого числа до (від) двоциф­рового

Ознайомлення з новим способом дії здійснюється ана­логічно.

Яке число позначено зліва? [54] Скільки в цьому числі десятків? [5 де­сятків.] Скільки в цьому числі одиниць? [4 одиниці.]

Яке число позначено справа? [40 — 4 десятки.] Яку арифметичну дію слід виконати? [Треба об’єднати, а це озна­чає додати.] До чого будемо додавати 4 десятки? [До 5 десятків.] Скільки одержимо? [Буде 9 десятків і ще 4 одиниці — 94.] Складіть рівність. [54 + 40 = 94.] Який ви­сновок можна зробити?

Десятки додають до десятків!

На наступному етапі навчання виконуємо розгорнений запис розв’язання та коментуємо власні дії:

Коментар. Двоцифровий перший доданок 35 замінюємо су­мою розрядних доданків. Замість числа 35 пишемо суму 30 і 5; до цієї суми треба додати число 30; десятки додаємо до десятків: 30 + 30 = 60; до одержаного результату додаємо одиниці: 60 + 5 = 65.

Яке число позначено намистинками? [84] Скільки в ньому десятків? [8 десятків.] Скіль­ки одиниць? [4 одиниці.] Віднімемо 5 десятків, або 50. Від 8 десятків віднімемо 5 десятків. Одержимо 3 десятки та ще 4 одиниці — 34. Складаємо рівність: 84 - 50 = 34. Доходимо ви­сновку:

Десятки віднімають до десятків!

При виконанні наступних завдань з коментарем виконуємо розгорнений запис:

Двоцифрове зменшуване 57 подаємо у вигляді суми розряд­них доданків 50 і 7; від цієї суми будемо віднімати число 40; де­сятки віднімаємо від десятків: 50 - 40 = 10; до одержаного резуль­тату 10 додаємо 7 одиниць, буде 17.

У результаті аналізу власної діяльності школярі формулю­ють ООД:

Додавання/Віднімання круглого числа до/від двоцифрового

1) Двоцифрове число замінюю сумою десятків та одиниць.

2) Додаю/Віднімаю десятки до/від десятків.

3) До одержаного результату додаю одиниці.

Спосіб порозрядного додавання двоцифрових чисел без пе­реходу через розряд

На етапі підготовчої роботи слід актуалізувати розрядний склад двоцифрових чисел; подання числа у вигляді суми розряд­них доданків; додавання і віднімання круглих десятків (способом укрупнення розрядних одиниць) та табличне додавання і відні­мання без переходу через розряд.

Пояснення можна здійснити через практичні вправи із ди­дактичним матеріалом (кружками-намистинками) або коментую­чи малюнок:

Коментар. Перший доданок — число 51, це 5 десятків та 1 одиниця; другий доданок — число 17, це 1 десяток і 7 одиниць. Десятки додаємо до десятків [5 д. + l д. = 6 д.]; одиниці додаємо до одиниць [1 + 7 = 8]. Одержали число, що містить 6 десятків і 8 оди­ниць, — це число 68.

Таким чином, діти доходять висновку:

При додаванні двоцифрових чисел десятки додають до де­сятків, а одиниці додають до одиниць.

Отже, виконуємо дії окремо з десятками й окремо з одини­цями — порозрядно, тому цей спосіб називають способом пороз­рядного додавання.

Ознайомлюємо учнів зі способом по­розрядного віднімання двоцифрових чисел без переходу через розряд, ставлячи про­блемне запитання: «Чи можна так само міркувати при відніманні двоцифрових чисел?».

Зменшуване — число 75, це 7 де­сятків та 5 одиниць, від’ємник — 43, це 4 десятки та 3 одиниці. Десятки віднімає­мо від десятків [7 д. - 4 д. = 3 д.], а одиниці віднімаємо від одиниць [5 - 3 = 2]; одержали число, яке містить 3 десятки і 2 одиниці — це число 32.

Таким чином, доходимо висновку:

При відніманні двоцифрових чисел десятки віднімають від десятків, а одиниці віднімають від одиниць.

Отже, виконуємо дії окремо з десятками й окремо з одини­цями — порозрядно, тому цей спосіб називають способом порозрядного віднімання.

Можна порівняти міркування при додаванні та при відні­манні:

При додаванні/відніманні двоцифрових чисел окремо виконують дії з десятками й окремо — з одиницями, а одержані результа­ти додають.

У результаті аналізу власної діяльності школярі формулю­ють ООД:

Додавання і віднімання двоцифрових чисел

1. Замінюю кожне число сумою десятків і одиниць.

2. Додаю/Віднімаю десятки.

3. Додаю/Віднімаю oдиниці.

4. Додаю одержані числа.

Коментар. Перший доданок — число 32 — замінюємо су­мою розрядних доданків: 30 + 2; другий доданок 54 замінюємо сумою розрядних доданків: 50 + 4; замість 32 пишемо суму 30 і 2, а число 54 додаємо так — спочатку додаємо 50, а потім ще додає­мо 4; десятки додаємо до десятків: 30 + 50 = 80; одиниці додаємо до одиниць: 2 + 4 = 6; додаємо одержані числа: 80 + 6 = 86.

Коментар. Зменшуване 86 замінюємо сумою розрядних до­данків: 80 + 6; від’ємник 55 замінюємо сумою розрядних доданків: 50 + 5; замість 86 пишемо суму 80 і 6, а 55 віднімаємо так: спочат­ку віднімаємо одну частину — 50, а потім віднімаємо іншу части­ну — 5; віднімаємо десятки від десятків: 80 - 50 = 30; віднімаємо одиниці від одиниць: 6 - 5 = 1; додаємо одержані числа: 30 + 1 = 31.

У процесі формування навички порозрядного додавання та віднімання поступово міркування та запис розв’язання скорочу­ються:

Коментар. 32 — це 30 + 2, 47 — це 40 + 7; додаємо десятки до десятків: 30 + 40 = 70, запишемо це; додаємо одиниці до оди­ниць: 2 + 7 = 9, запишемо це; додаємо одержані числа: 70 + 9 = 79.

67 — це 60 + 7; 45 — це 40 + 5; віднімаємо десятки від десят­ків: 60-40 = 20, запишемо це; віднімаємо одиниці від одиниць: 7 - 5 = 2, запишемо це; додаємо одержані числа: 20 + 2 = 22.

Після того як учні засвоїли всі складові операції і здатні по­яснювати їх виконання, дія переходить до наступного етапу, коли учень пропускає допоміжні операції і фіксує лише основні:

Коментар. 44 + 35 — десятки додаємо до десятків: 40 + 30 = 70, буде 7 десятків, пишемо в числі 7 десятків; одиниці додаємо до одиниць: 4 + 5 = 9, буде 9 одиниць, пишемо на місці одиниць 9; маємо 79.

58 - 36 — десятки віднімаємо від десятків: 5 д. - 3 д. = 2 д., буде 2 десятки, пишемо на місці десятків; одиниці віднімаємо від оди­ниць: 8 - 6 = 2, буде 2 одиниці, пишемо на місці одиниць; маємо 22.

Додавання та віднімання частинами

Підготовча робота полягає в актуалізації способів додавання і віднімання одноцифрового числа та круглих десятків; способу додавання і віднімання частинами для чисел першої п’ятірки.

Ознайомлення зі способом додавання і віднімання частина­ми для двоцифрових чисел здійснюється під час порівняння пар записів:

Знаходимо значення першого виразу і встановлюємо, що воно може допомогти знайти значення другого виразу. Аналізую­чи виконувані дії, встановлюємо, як можна міркувати при дода­ванні і відніманні двоцифрових чисел, формулюємо ООД:

Додавання і віднімання двоцифрових чисел частинами

1. Замінюю другий доданок/від’ємник сумою десятків і одиниць.

2. Додаю/Віднімаю десятки.

3. Додаю/Віднімаю одиниці.

Коментар. Другий доданок 25 подаємо у вигляді суми роз­рядних доданків: 20 + 5; до 34 будемо додавати 25 не відразу, а частинами — спочатку додамо 20, а потім 5; 34 + 20 = 54; до одер­жаного результату 54 додамо 5, буде 59.

Від’ємник 26 подаємо у вигляді суми розрядних доданків: 20 + 6; від 47 будемо віднімати 26 не відразу, а частинами — спо­чатку віднімемо 20, а потім віднімемо 6; 47 - 20 = 27; від одержа­ного результату 27 віднімемо 6, буде 21.

Корисно порівняти способи порозрядного додавання та від­німання зі способами обчислення частинами.

При порозрядному обчисленні ми кожне число замінюємо сумою розрядних доданків, а при обчисленні частинами замінює­мо лише другий доданок або від’ємник сумою розрядних доданків.

Обчисливши двома способами, ми одержали однакові ре­зультати. Розв’язання іншим способом — це непряма перевірка правильності.

При додаванні і відніманні частинами можна міркувати ско­рочено. Прокоментуйте розв’язання.

Коментар. Другий доданок 41 — це 40 + 1; до 56 додаємо 40, буде 96; до 96 додаємо 1, буде 97.

Від’ємник 54 — це 50 + 4; від 87 віднімаємо 50, буде 37; від 37 віднімаємо 4, одержуємо 33...

Додавання зручним способом

Перед ознайомленням слід актуалізувати застосування пере­ставного закону додавання у випадках додавання більшого числа до меншого: 4 + 5 = 5 + 4 = 9.

Переставний закон додавання застосовується не лише у ви­падках додавання більшого числа до меншого, а й для раціоналі­зації обчислень у випадку кількох доданків. Наприклад:

Аналізуючи розв’язання, звертаємо увагу на те, що чис­ла 4 і 6, 2і8, 7 і 3 складають число 10, а 10 легко додавати до будь-якого числа. Таким чином, щоб раціоналізувати обчислення суми, треба вибирати такі пари чисел, які в сумі дають 10.

Переставний закон додавання формулюється ще й так:

Числа можна додавати в будь-якому порядку.

На етапі первинного закріплення пропонуємо учням засто­сувати переставний закон додавання для раціоналізації обчислен­ня сум:

1 + 6 + 9    20 + 7 + 3 + 50

Коментар. 1 + 6 + 9 — серед доданків є пара чисел, яка в сумі дає 10 — це 1 і 9, тому переставимо доданки так: 1 + 9 + 6 = 10 + 6 = 16.

20 + 7 + 3 + 50 — серед доданків є пара чисел, яка в сумі дає 10 — це7 і 3,є також пара круглих чисел — їх також легко дода­вати; тому зробимо дві пари 7 і 3, 20 і 50: 20 + 50 + 7 + 3 = 70 + 10 = 80.

Таким чином, ми розглянули прийоми обчислення дво­цифрових чисел без переходу через розряд: порозрядне додаван­ня і віднімання та обчислення частинами; акцентували увагу на раціоналізації обчислень. Доцільність подання цього навчального матеріалу без контролю результатів у 1 класі ґрунтується на пси­хологічних вимогах формування вмінь та навичок, зокрема на по­требі в розтягненні цього процесу.

Якщо вчитель у 1 класі приділив увагу формуванню при­йомів додавання та віднімання в межах 100 без переходу через розряд, то в 2 класі він має узагальнити та систематизувати ро­зуміння учнів про прийоми обчислення. Розглянемо методику роботи із узагальнення і систематизації прийомів додавання та віднімання без переходу через розряд у межах 100 у 2 класі.

У процесі роботи з узагальнення та систематизації знань після порівняння виконуваних дій при додаванні та відніманні частинами й порозрядному додаванні і відніманні пропонуємо ви­конувати обчислення двома способами. Поки діти не знайомі із пе­ревіркою арифметичних дій додавання і віднімання, розв’язання другим способом є непрямим свідченням про правильність або не­правильність розв’язку.

Метою цього етапу є не лише розуміння учнями прийомів обчислення, а й набуття ними обчислювальної навички. Щодо по- розрядного додавання та віднімання, то цьому прийому в 1 класі приділяється більше уваги, але й додаванню і відніманню части­нами слід спеціально вчити учнів.

Формування цього прийому відбувається поетапно. Після того, як учня засвоїли суть прийому, вільно пояснюють викону­вані операції, дія починає скорочуватися — учні називають лише основні операції і фіксують їх у скороченому записі. На цьому ета­пі учням можна пропонувати картки з друкованою основою.

Після проведеної роботи діти обирають для себе найзручні­ший спосіб обчислення і в наступних завданнях усі міркування здійснюють про себе, а записують лише відповідь.