Нова українська школа: методика навчання математики у 3-4 класах закладів загальної середньої освіти на засадах інтегративного і компетентнісного підходів - С. О. Скворцова, О. В. Онопрієнко 2020

2.1.1. Методика вивчення табличного множення і ділення
2.1. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами в 3 класі
Розділ 2. Методика навчання нумерації чисел та арифметичних дій із числами

Наочний і дидактичний матеріал:

· набірне полотно «Таблиця множення»;

· таблиця множення (таблиця Піфагора);

· шаблон таблиці Піфагора;

· тренажери для вивчення таблиць множення і ділення.

У 2 класі учні опанували тему «Табличне множення та ділення», разом з учителем склали всі таблиці множення та ділення і навчилися застосовувати в обчисленнях знання таблиць множення та ділення чисел 2 і 3. Зазначимо, що в решті випадків табличного множення і ділення учні могли користуватися таблицями.

У 3 класі ставиться мета набуття учнями обчислювальної навички табличного множення і ділення.

Зазначимо, що перед розглядом табличного множення і ділення в 3 класі доцільно здійснити узагальнення та систематизацію знань і вмінь учнів із нумерації чисел у межах 100, суті арифметичних дій додавання та віднімання, а також прийомів додавання та віднімання. Детальніше див. за посиланням.

З метою формування в третьокласників обчислювальної навички табличного множення і ділення доцільно узагальнити і систематизувати знання учнів щодо складання таблиць множення і ділення та відтворення табличних результатів. Також, використовуючи залежність значення добутку від зміни одного з множників, з пропедевтичною метою можна ознайомити школярів із послідовним множенням.

Таблиці множення можуть бути складені за сталим першим множником (тоді при заміні множення додаванням в усіх випадках таблиці одержимо суми однакових чисел) або за сталим другим множником (у цьому випадку при заміні множення додаванням одержимо суми з однаковою кількістю доданків). Традиційно таблиці множення складаються за сталим першим множником, змінюється другий множник.

Нагадаємо, що таблиці множення складаються на підставі суті арифметичної дії множення, а відтворення табличних результатів може бути здійснено кількома способами:

1) на підставі конкретного змісту дії множення: 2 • 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8;

2) на підставі переставної властивості дії множення: 3 • 2 = 2 • 3 = 6;

3) на підставі попереднього значення: 3 • 7 = 3 • 6 + 3 = 18 + 3 = 21;

4) на підставі наступного значення: 3 • 9 = 3 • 10 - 3 = 30 - 3 = 27;

5) способом групування: 2 • 8 = 2 • 4 + 2 • 4 = 8 + 8 = 16;

6) способом послідовного множення: 2 • 8 = (2 • 4) • 2 = 8 • 2 = 16.

Ці способи є також способами запам’ятовування табличних результатів. Відтворюючи табличні результати різними способами, ми тим самим працюємо над їх запам’ятовуванням: кожний учень відшукує зручний для себе спосіб відновлення результату «важкого» випадку з таблиці множення.

УЗАГАЛЬНЕННЯ СПОСОБІВ СКЛАДАННЯ ТАБЛИЦЬ МНОЖЕННЯ ЧИСЕЛ 2 ТА 3

На етапі актуалізації слід повторити суть арифметичних дій множення і ділення, назви компонентів і результатів цих дій, математичні вирази «добуток» і «частка».

Пропонуємо учням, використовуючи набірне полотно «Таблиця множення», скласти таблиці множення чисел 2 і 3 способом на підставі конкретного змісту дії множення (способом заміни арифметичної дії множення додаванням). Далі переходимо до зіставлення складених таблиць.

Пропонуємо порівняти таблиці множення чисел 2 і 3 і визначити, чим вони схожі. Учні помічають, що в кожній із таблиць добутки містять однаковий перший множник (числа 2 і 3 відповідно), який позначає однаковий доданок у сумах.

2 • 1 = 2

2 • 2 = 2 + 2 = 4

2 • 3 = 2 + 2 + 2 = 6

2 • 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

2 • 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

2 • 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

2 • 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 • 8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16

2 • 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18

2 • 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20

3 • 1 = 3

3 • 2 = 3 + 3 = 6

3 • 3 = 3 + 3 + 3 = 9

3 • 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

3 • 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

3 • 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

3 • 7 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21

3 • 8 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24

3 • 9 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27

3 • 10 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 30

Слід зазначити, що під час узагальнення таблиць множення є можливість повторити вирази зі змінною, знаходження значень виразів зі змінною при певному значенні змінної.

З цією метою пропонуємо учням визначити, що спільне в усіх випадках таблиці множення числа 2. Учні з’ясовують, що в усіх випадках перший множник — число 2. Після цього пропонуємо замінити другий множник буквою і записати вираз зі змінною [2 • a].

Потім пропонуємо визначити, що спільне в усіх випадках таблиці множення числа 3 [в усіх виразах перший множник — число 3]; замінити другий множник буквою і записати вираз зі змінною [3 • a].

Запитуємо, яких значень може набувати змінна a, і пропонуємо знайти значення записаних виразів зі змінною при a = 2, використовуючи суть арифметичної дії множення. Учні з’ясовують, чим схожі отримані рівності [у добутках однаковий другий множник — число 2; це означає, що якщо ми замінимо множення додаванням, то в сумах одержимо однакову кількість доданків — два доданки]; чим визначається ця загальна властивість [загальна властивість визначається даним за умовою однаковим другим множником, який вказує на те, скільки разів потрібно додати однакові доданки]; чим відрізняються отримані рівності [отримані рівності відрізняються першими множниками].

Після цього пропонуємо знайти значення виразів зі змінною при a = 3; порівняти отримані рівності. Далі — знайти значення виразів зі змінною при a = 4, a = 5, a = 6, a = 7, a = 8, a = 9; порівняти попарно отримані рівності.

Для того щоб учні усвідомили і користувалися в подальшому способами відтворення табличних результатів на підставі попереднього або наступного значення таблиці множення, доцільно дослідити кожну таблицю множення окремо і з’ясувати, на скільки кожний наступний результат більший за попередній, і навпаки. Обов’язково слід визначити причину цієї відмінності.

З цією метою пропонуємо учням порівняти добутки з таблиці множення числа 2; з’ясувати, на скільки відрізняється кожний наступний результат від попереднього; чому це відбувається.

Потім пропонуємо порівняти добутки з таблиці множення числа 3; з’ясувати, на скільки відрізняється кожний наступний результат від попереднього; чому це відбувається.

З’ясовуємо, чому в кожній таблиці наступний результат більший за попередній: «На скільки більший кожний наступний результат у таблиці множення числа 2? А в таблиці множення числа 3? числа 4? числа 5?.. Чому саме на ці числа?» [Тому що це перші множники, а перші множники визначають однакові доданки. У кожному наступному виразі на один такий доданок більше, тому і результат більший на це ж число.]

З’ясовуємо, на скільки кожний попередній результат менший від наступного. [У таблиці множення числа 2 кожний попередній результат менший від наступного на 2, тому що в попередній сумі на один доданок — число 2 — менше. У таблиці множення числа 3 — на 3; у таблиці множення числа 4 — на 4...] Це і є «секрет» усіх таблиць множення!

Для закріплення отриманих знань пропонуємо учням відповісти на запитання, як застосувати попереднє значення для відновлення певного результату з таблиці множення числа 2; числа 3. Просимо розказати таблиці множення чисел 2 і 3 зверху вниз, використовуючи попереднє значення. Запитуємо, як застосувати наступне значення для відновлення певного результату з таблиці множення числа 2; числа 3. Просимо розказати таблиці множення чисел 2 і 3 знизу вверх, використовуючи наступне значення. (Слід пам’ятати, що 2 • 10 = 20, а 3 • 10 = 30.)

З метою запам’ятовування результатів таблиць множення корисними є вправи на визначення закономірності та продовження ряду чисел; на виключення зайвого числа, яке не задовольняє визначену закономірність. Наприклад, такі.

1. Продовжте ряди чисел:

4, 6, 8, ...;

6, 9, 12, ... .

2. Продовжте ряди чисел:

27, 24, 21, ...;

18, 16, 14, ... .

Також, узагальнюючи знання таблиць множення та ділення, слід звернути увагу на спосіб відтворення табличних результатів на підставі переставної властивості дії множення.

Для цього запитуємо в учнів, який закон множення вони знають; просимо сформулювати переставний закон множення; навести приклад, для якого випадку з таблиці множення числа 3 зручно застосувати переставний закон [3 • 2 = 2 • 3 = 6].

З метою ознайомлення з різними способами міркування при відтворенні результатів таблиць множення слід ознайомити учнів зі способом групування.

Для цього запитуємо в учнів, чи легко їм запам’ятовуються перші два добутки з таблиць множення. Повідомляємо, що, знаючи ці добутки, вони зможуть дізнатися й усі інші добутки таблиць множення.

Пропонуємо учням виконати завдання.

3. Знайдіть добуток чисел 2 і 4; 3 і 4.

Запитуємо в учнів, скільки в цих сумах двійок; трійок. Пропонуємо згрупувати їх по дві. Запитуємо, чому дорівнює сума двох двійок; двох трійок. Просимо подумати, як легко знайти ці добутки, чи потрібно додавати двійки; трійки.

Аналогічно міркуємо для решти випадків.

Зазначимо, що від способу групування можна перейти до способу послідовного множення, який буде активно використовуватися в позатабличних випадках множення на кругле число.

Методику дослідження таблиці множення числа 5 див. за посиланням.

Отже, при відтворенні результатів таблиць множення учні можуть застосовувати такі способи:

1) спосіб на основі конкретного змісту арифметичної дії множення (множення можна замінити сумою однакових доданків);

2) на основі переставної властивості арифметичної дії множення (деякі добутки ми можемо не обчислювати, а, помінявши місцями множники, одержимо вже відомий добуток);

3) на основі знання попереднього чи наступного значення (у таблицях множення кожний наступний результат більший за попередній на визначене число, рівне першому множнику; кожний попередній результат менший від наступного на стільки ж одиниць);

4) спосіб групування доданків;

5) спосіб послідовного множення.

При узагальненні і систематизації таблиць множення є можливість здійснити пропедевтику ознак подільності на 2, 3, 5, 9.

Зокрема, досліджуючи результати таблиці множення числа 2, учні дізнаються, що числа, які діляться на 2, є парними. Звертаємо увагу учнів на цифри, які є останніми в записі результатів таблиці множення числа 2: 0, 2, 4, 6, 8 — це парні числа. Отже, числа, які закінчуються цифрами 0, 2, 4, 6, 8 (парними цифрами), є парними числами. Таким чином здійснюється пропедевтика ознаки подільності на 2.

На 2 діляться ті й тільки ті числа, які закінчуються парною цифрою.

Досліджуючи результати таблиці множення числа 5, дізнаємося, що числа, які є результатами множення числа 5, закінчуються цифрами 0 або 5. З’ясовуємо, у яких випадках маємо наприкінці цифру 0; цифру 5. Таким чином відбувається пропедевтика ознаки подільності на 5.

На 5 діляться ті й тільки ті числа, які закінчуються цифрою 0 або 5.

Цей висновок учні можуть використовувати для самоконтролю: якщо в результаті множення числа 5 чи на 5 одержали число, яке не закінчується 0 або 5, то допущено помилку.

Досліджуючи результати таблиці множення числа 3, пропонуємо учням знайти суму цифр, якими записуються двоцифрові добутки. Учні одержують числа, які повторюються, — 3, 6, 9; ці числа також є добутками таблиці множення числа 3, тобто ці числа діляться на 3. Отже, якщо сума цифр є числом, яке ділиться на 3, то й саме число ділиться на 3. Цей висновок є підставою для здійснення учнями самоперевірки — якщо в результаті множення на 3 одержано двоцифрове число, сума цифр якого не становить 3, 6 або 9, то допущено помилку. Таким чином здійснюємо пропедевтику ознаки подільності на 3.

На 3 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 3.

Аналогічно працюємо над результатами з таблиці множення числа 9. Знаходимо суму цифр, якими записано двоцифрові результати. Сума цифр усіх результатів дорівнює 9. Отже, в учнів є засіб перевірки одержаних при множенні з числом 9 результатів — якщо сума цифр двоцифрових результатів не дорівнює 9, то допущено помилку. Число 9 є результатом множення чисел 9 і 1, воно, очевидно, ділиться на 9. Таким чином відбувається пропедевтика ознаки подільності на 9.

На 9 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Сума цифр у двоцифрових добутках таблиці множення числа 9 дорівнює 9. Але виникає запитання щодо закономірності у визначенні цифри десятків. Якщо зіставити другий множник із таблиці множення числа 9 та кількість десятків у добутку, то бачимо, що кількість десятків на 1 менша за другий множник. Знаючи кількість десятків і розуміючи, що сума цифр має дорівнювати 9, легко встановити кількість одиниць у добутку.

Також із метою запам’ятовування результатів таблиць множення і пропедевтики вивчення піднесення числа до квадрата доцільно звернути увагу на результати множення однакових чисел.

Для пропедевтики розкладання чисел на прості множники, яке буде вивчатися в базовій школі, уже в початковій школі можна пропонувати завдання на подання числа у вигляді добутку двох чисел на підставі знання таблиць множення.

Отже, при відтворенні результатів таблиць множення учні можуть використовувати різні способи: або замінювати множення додаванням, або переставляти множники, або використовувати попереднє чи наступне значення таблиці, або спосіб групування, або спосіб послідовного множення, або ознаки подільності на 2, 5, 3, 9. Усі ці знання учні можуть застосувати при аналізі, а потім і при самостійному заповненні таблиці Піфагора.

УЗАГАЛЬНЕННЯ СПОСОБІВ СКЛАДАННЯ ТАБЛИЦЬ ДІЛЕННЯ

Таблиці ділення складаються на підставі взаємозв’язку арифметичних дій множення і ділення: якщо добуток двох чисел поділити на один множник, то отримаємо інший множник. Отже, з кожної рівності на множення можна скласти по дві рівності на ділення. Таблиці ділення можна складати за сталим дільником або за сталою часткою. Традиційно таблиці ділення складаються за сталим дільником.

Таблиці ділення не запам’ятовуються, а при встановленні табличних результатів міркування відбувається на підставі означення арифметичної дії ділення та знання відповідного випадку таблиці множення. Приклад складання таблиці ділення з числом 5 див. за посиланням.

Нагадаємо означення арифметичної дії ділення.

Число a розділити на число b — це означає знайти таке число c, яке в добутку з дільником b дає число a: оскільки c • b = a